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圆锥曲线的参数方程(一)


圆锥曲线的参数 方程( 方程(一)

1. 椭圆的参数方程 以原点为圆心, 例1. 以原点为圆心 分别 以 a, b (a > b > 0) 为半径 作两个圆, 作两个圆 点 B 是大圆 与小圆的交点, 半径 OA 与小圆的交点 过点 A 作 AN⊥Ox, 垂足 ⊥ 为N, 过点 B 作 BM⊥AN, 垂足为 求 垂足为M, ⊥ 当半径 OA 绕点 O 旋转 的轨迹参数方程. 时点 M 的轨迹参数方程

y A B O M N x

分析: 分析 点 M 的横坐标与点 A 的横坐标相 的纵坐标相同. 同, 点 M 的纵坐标与点 B 的纵坐标相同 A, B 的坐标可以通过引进参数建立联系 的坐标可以通过引进参数建立联系.

设 ∠AOx = φ , M ( x , y ), 则 A(a cos φ , a sin φ ), B(b cos φ , b sin φ ) y ?x = acosφ A 因而? B ? y = bsinφ M 的轨迹参数方程 此即 M 的轨迹参数方程 O N x 2 2 x y 消参数得 2 + 2 = 1.
a b

? x = a cos? 1. 方程 ? 是椭圆的参数方程. ? y = bsin?

思考:若记∠ 思考:若记∠AOx=φ, a, b 分别是 θ 2. 椭圆的参数方程中 常数 ∠MOx=θ, 椭圆的参数方程中, 那么φ 何时可以相等? 椭圆的长半轴长和短半轴长, 那么φ与θ何时可以相等? 何时可以相等 椭圆的长半轴长和短半轴长 a>b. y 3. φ 称为离心角规定 , A φ ∈[0,2π ). B M 4. M(a cosφ, bsinφ), O N x 其中φ = ∠AOx, 而非φ = ∠MOx.

练习 1. 把下列普通方程化为参数方程 把下列普通方程化为参数方程:
x y y 2 (1) + = 1 (2) x + =1 4 9 16
2 2 2

2. 把下列参数方程化为普通方程
? x = 3cosφ (1) ? ? y = 5 sin φ ? x = 8cosφ (2) ? ? y = 10 sin φ

? x = 2cosθ 3.已知椭圆的参数方程为 ? (θ ? y = sin θ 4 是参数 ), 则此椭圆的长轴长为 ____, 短轴 (± 3,0) ± 2 长为____, 焦点坐标为 _________, 离心率 为______. 3/2

x y 例3.已知椭圆 + = 1 有一内接矩形 100 64 ABCD, 求矩形 ABCD 的最大面积 .

2

2

y D O C B A

Smax =160
x

如图, 例2. 如图 在椭圆 x2 + 8y2 = 8 上求一点 P, 使 P 到直线 l: x – y + 4 = 0的距离最 的距离最 y 小.
8 1 2 P(? , ), dmin = 3 3 2

O P

x

小结: 借助椭圆的参数方程, 小结 借助椭圆的参数方程 可以将椭圆 上的任意一点的坐标用三角函数表示, 上的任意一点的坐标用三角函数表示 利用三角知识加以解决. 利用三角知识加以解决

练习
x y 1.已知 A, B 两点是椭圆 + = 1 与坐 9 4 标轴正半轴的两个交点 , 在第一象限的 椭圆弧上求一点 P, 使四边形 OAPB 的面 积最大 .
2 2

A O

P B

3 2 P( , 2) 2

x y 2. 动点P( x, y) 在曲线 + , = 1上变化 9 4 . 求2x + 3 y 的最大值和最小值

2

2

最大值6 2, 最小值? 6 2.
3.θ 取一切实数时 连接A(4sinθ , 6cosθ ) , 和B(?4cosθ , 6sinθ ) 两点的线段的中点 轨迹是( B ).

A. 圆 B. 椭圆

C. 直线

D. 线段


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