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第二章 数列 章末检测(人教A版必修五)


第二章 数列 章末检测 A(人教 A 版必修五)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.{an}是首项为 1,公差为 3 的等差数列,如果 an=2 011,则序号 n 等于( ) A.667 B.668 C.669 D.671 答案 D 解析 由 2 011=1+3(n-1)解得 n=671. 2.已知等差数列{an}中,a7+a9=1

6,a4=1,则 a12 的值是( ) A.15 B.30 C.31 D.64 答案 A 解析 在等差数列{an}中,a7+a9=a4+a12, ∴a12=16-1=15. 3.等比数列{an}中,a2=9,a5=243,则{an}的前 4 项和为( ) A.81 B.120 C.168 D.192 答案 B 解析 由 a5=a2q3 得 q=3. a2 ∴a1= =3, q a1?1-q4? 3?1-34? S4= = =120. 1-q 1-3 4. 等差数列{an}中, a1+a2+a3=-24, a18+a19+a20=78, 则此数列前 20 项和等于( ) A.160 B.180 C.200 D.220 答案 B 解析 ∵(a1+a2+a3)+(a18+a19+a20) =(a1+a20)+(a2+a19)+(a3+a18) =3(a1+a20)=-24+78=54, ∴a1+a20=18. 20?a1+a20? ∴S20= =180. 2 1 5.数列{an}中,an=3n-7 (n∈N+),数列{bn}满足 b1= ,bn-1=27bn(n≥2 且 n∈N+), 3 若 an+logkbn 为常数,则满足条件的 k 值( ) 1 A.唯一存在,且为 B.唯一存在,且为 3 3 C.存在且不唯一 D.不一定存在 答案 B 解析 依题意, ? 1 ?n-1=1· ?1?3n-3=?1?3n-2, bn=b1· ?27? ?3? 3 ?3? 1 ?3n-2 ∴an+logkbn=3n-7+logk? ?3? 1 =3n-7+(3n-2)logk 3 1 1 ? =? ?3+3logk3?n-7-2logk3, 1 ∵an+logkbn 是常数,∴3+3logk =0, 3 即 logk3=1,∴k=3. 6.等比数列{an}中,a2,a6 是方程 x2-34x+64=0 的两根,则 a4 等于( ) A.8 B.-8 C .± 8 D.以上都不对 答案 A

解析 ∵a2+a6=34,a2· a6=64,∴a2 4=64, 2 ∵a2>0,a6>0,∴a4=a2q >0,∴a4=8. 7.若{an}是等比数列,其公比是 q,且-a5,a4,a6 成等差数列,则 q 等于( ) A.1 或 2 B.1 或-2 C.-1 或 2 D.-1 或-2 答案 C 解析 依题意有 2a4=a6-a5, 即 2a4=a4q2-a4q,而 a4≠0, ∴q2-q-2=0,(q-2)(q+1)=0. ∴q=-1 或 q=2. 8.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S10∶S5=1∶2,则 S15∶S5 等于( ) A.3∶4 B.2∶3 C.1∶2 D.1∶3 答案 A 10 S10 1-q 1 1 解析 显然等比数列{an}的公比 q≠1,则由 = =1+q5= ?q5=- , S5 1-q5 2 2 ?-1?3 15 1-?q5?3 1-? 2? 3 S15 1-q 故 = = = = . S5 1-q5 1 4 1-q5 - ? 1-? ? 2? a1+a3+a9 9.已知等差数列{an}的公差 d≠0 且 a1,a3,a9 成等比数列,则 等于( ) a2+a4+a10 15 12 13 15 A. B. C. D. 14 13 16 16 答案 C 解析 因为 a2 a9,所以(a1+2d)2=a1· (a1+8d).所以 a1=d. 3=a1· a1+a3+a9 3a1+10d 13 所以 = = . a2+a4+a10 3a1+13d 16 10.已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,以 Sn 表示{an}的前 n 项 和,则使得 Sn 达到最大值的 n 是( ) A.21 B.20 C.19 D.18 答案 B 解析 ∵(a2-a1)+(a4-a3)+(a6-a5)=3d, ∴99-105=3d.∴d=-2. 又∵a1+a3+a5=3a1+6d=105,∴a1=39. n?n-1? ∴Sn=na1+ d=-n2+40n=-(n-20)2+400. 2 ∴当 n=20 时,Sn 有最大值. 11.设{an}是任意等比数列,它的前 n 项和,前 2n 项和与前 3n 项和分别为 X,Y,Z, 则下列等式中恒成立的是( ) A.X+Z=2Y B.Y(Y-X)=Z(Z-X) C.Y2=XZ D.Y(Y-X)=X(Z-X) 答案 D 解析 由题意知 Sn=X,S2n=Y,S3n=Z. 又∵{an}是等比数列, ∴Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 为等比数列, 即 X,Y-X,Z-Y 为等比数列, ∴(Y-X)2=X· (Z-Y), 即 Y2-2XY+X2=ZX-XY, ∴Y2-XY=ZX-X2, 即 Y(Y-X)=X(Z-X). 1 2 1 2 3 1 2 3 4 5 12.已知数列 1, , , , , , , , , ,?,则 是数列中的( ) 2 1 3 2 1 4 3 2 1 6

A.第 48 项 B.第 49 项 C.第 50 项 D.第 51 项 答案 C 解析 将数列分为第 1 组一个,第 2 组二个,?,第 n 组 n 个, 1 2 n 1? ?1 2? ?1 2 3? ,?, ?, , , , , ,?,?n, 即? , 1? ?1? ?2 1? ?3 2 1? ? n-1 5 则第 n 组中每个数分子分母的和为 n+1,则 为第 10 组中的第 5 个,其项数为(1+2+ 6 3+?+9)+5=50. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13. 2-1 与 2+1 的等比中项是________. 答案 ± 1 14.已知在等差数列{an}中,首项为 23,公差是整数,从第七项开始为负项,则公差为 ______. 答案 -4 ? ?a6=23+5d≥0 23 23 解析 由? ,解得- ≤d<- , 5 6 ?a7=23+6d<0 ? ∵d∈Z,∴d=-4. 15.“嫦娥奔月,举国欢庆”,据科学计算,运载“神六”的“长征二号”系列火箭, 在点火第一秒钟通过的路程为 2 km, 以后每秒钟通过的路程都增加 2 km, 在达到离地面 240 km 的高度时,火箭与飞船分离,则这一过程大约需要的时间是________秒. 答案 15 解析 设每一秒钟通过的路程依次为 a1,a2,a3,?,an,则数列{an}是首项 a1=2,公 n?n-1?d 差 d=2 的等差数列, 由求和公式得 na1+ =240, 即 2n+n(n-1)=240, 解得 n=15. 2 16.等比数列{an}的公比为 q,其前 n 项的积为 Tn,并且满足条件 a1>1,a99a100-1>0, a99-1 <0.给出下列结论:①0<q<1;②a99a101-1<0;③T100 的值是 Tn 中最大的;④使 Tn>1 a100-1 成立的最大自然数 n 等于 198.其中正确的结论是________.(填写所有正确的序号) 答案 ①②④ ?a -1??a100-1?<0 ? ? 99 ?a99>1 解析 ①中,?a99a100>1 ?? ?0<a100<1 ? ?a1>1 a100 ?q= ∈(0,1),∴①正确. a99 2 ?a99a101=a100 ? ②中,? ?a99a101<1,∴②正确. ?0<a100<1 ? ? ?T100=T99a100 ③中,? ?T100<T99,∴③错误. ? ?0<a100<1 ④中,T198=a1a2?a198 =(a1a198)(a2a197)?(a99a100) =(a99a100)99>1, T199=a1a2?a198a199=(a1a199)?(a99a101)· a100 =a199100<1,∴④正确. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分) 17.(12 分)已知{an}为等差数列,且 a3=-6,a6=0. (1)求{an}的通项公式; (2)若等比数列{bn}满足 b1=-8,b2=a1+a2+a3,求{bn}的前 n 项和公式. 解 (1)设等差数列{an}的公差为 d.

因为 a3=-6,a6=0, ?a1+2d=-6, ? 所以? ? ?a1+5d=0. 解得 a1=-10,d=2. 所以 an=-10+(n-1)×2=2n-12. (2)设等比数列{bn}的公比为 q. 因为 b2=a1+a2+a3=-24,b1=-8, 所以-8q=-24,q=3. 所以数列{bn}的前 n 项和公式为 b1?1-qn? Sn= =4(1-3n). 1-q 18.(12 分)已知等差数列{an}中,a3a7=-16,a4+a6=0,求{an}的前 n 项和 Sn. 解 设{an}的公差为 d,则 ??a1+2d??a1+6d?=-16, ?
? ?a1+3d+a1+5d=0, ?
2 2 ? ?a1+8da1+12d =-16, 即? ?a1=-4d. ?

?a1=-8, ?a1=8, ? ? 解得? 或? ? ? ?d=2, ?d=-2. 因此 Sn=-8n+n(n-1)=n(n-9), 或 Sn=8n-n(n-1)=-n(n-9). 19.(12 分)已知数列{log2(an-1)} (n∈N*)为等差数列,且 a1=3,a3=9. (1)求数列{an}的通项公式; 1 1 1 (2)证明: + +?+ <1. a2-a1 a3-a2 an+1-an (1)解 设等差数列{log2(an-1)}的公差为 d. 由 a1=3,a3=9, 得 log2(9-1)=log2(3-1)+2d,则 d=1. 所以 log2(an-1)=1+(n-1)×1=n, 即 an=2n+1. 1 1 1 (2)证明 因为 = n+1 n= n, 2 an+1-an 2 -2 1 1 1 所以 + +?+ a2-a1 a3-a2 an+1-an 1 1 1 1 = 1+ 2+ 3+?+ n 2 2 2 2 1 1 1 - × 2 2n 2 1 = =1- n<1. 1 2 1- 2 20.(12 分)在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+2n. an (1)设 bn= n-1.证明:数列{bn}是等差数列; 2 (2)求数列{an}的前 n 项和. (1)证明 由已知 an+1=2an+2n, an+1 2an+2n an 得 bn+1= n = = n-1+1=bn+1. 2 2n 2 ∴bn+1-bn=1,又 b1=a1=1. ∴{bn}是首项为 1,公差为 1 的等差数列.

an - 2n 1. - =b =n.∴an=n· 2n 1 n - ∴Sn=1+2· 21+3· 22+?+n· 2n 1 - 两边乘以 2 得:2Sn=1· 21+2· 22+?+(n-1)· 2n 1+n· 2n, 1 2 n-1 n 两式相减得:-Sn=1+2 +2 +?+2 -n· 2 =2n-1-n· 2n=(1-n)2n-1, ∴Sn=(n-1)· 2n+1. (2)解 由(1)知,bn=n, 1 21.(12 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=1,an+1= Sn(n=1,2,3,?). 2 (1)求数列{an}的通项公式; 3 1 n (2)当 bn=log (3an+1)时,求证:数列{ }的前 n 项和 Tn= . 2 bnbn+1 1+n (1)解

?a =2S , 由已知? 1 ?a =2S
n+1 n n n-1

1

(n≥2),

3 得 an+1= an(n≥2). 2 3 ∴数列{an}是以 a2 为首项,以 为公比的等比数列. 2 1 1 1 又 a2= S1= a1= , 2 2 2 3 n-2 ∴an=a2×( ) (n≥2). 2 1, n=1, ? ? ∴an=?1 3 n-2 ?2×?2? , n≥2. ? 3 33 3 - bn=log (3an+1)=log [ ×( )n 1]=n. 2 22 2 1 1 1 1 ∴ = = - . bnbn+1 n?1+n? n 1+n 1 1 1 1 ∴Tn= + + +?+ b1b2 b2b3 b3b4 bnbn+1 1 1 1 1 1 1 1 1 =( - )+( - )+( - )+?+( - ) 1 2 2 3 3 4 n 1+n 1 n =1- = . 1+n 1+n (2)证明 1 22. (14 分)已知数列{an}的各项均为正数, 对任意 n∈N*, 它的前 n 项和 Sn 满足 Sn= (an 6 +1)(an+2),并且 a2,a4,a9 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; + (2)设 bn=(-1)n 1anan+1,Tn 为数列{bn}的前 n 项和,求 T2n. 1 解 (1)∵对任意 n∈N*,有 Sn= (an+1)(an+2), ① 6 1 ∴当 n=1 时,有 S1=a1= (a1+1)(a1+2), 6 解得 a1=1 或 2. 1 当 n≥2 时,有 Sn-1= (an-1+1)(an-1+2). ② 6 ①-②并整理得(an+an-1)(an-an-1-3)=0. 而数列{an}的各项均为正数,∴an-an-1=3. 当 a1=1 时,an=1+3(n-1)=3n-2,

此时 a2 4=a2a9 成立; 当 a1=2 时,an=2+3(n-1)=3n-1, 此时 a2 4=a2a9 不成立,舍去. ∴an=3n-2,n∈N*. (2)T2n=b1+b2+?+b2n =a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+?-a2na2n+1 =a2(a1-a3)+a4(a3-a5)+?+a2n(a2n-1-a2n+1) =-6a2-6a4-?-6a2n =-6(a2+a4+?+a2n) n?4+6n-2? 2 =-6× =-18n -6n. 2


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