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【恒心】2014年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题及详尽参考答案(纯Word版)【全国首发】


2014 年全国高中数学联赛广西赛区预赛试卷 时间 120 分钟,满分 120 分 (2014 年 5 月 18 日 上午:8:00——10:00) 一、填空题: 本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分. (请把答填于第 页答题区 ) ......2 . .... ?? ? 1. 已知 ? 为锐角, 且有 2 tan?? ? ? ? ? 3 cos? ? ? ? ?

5 ? 0 , tan?? ? ? ? ? 6 sin?? ? ? ? ? 1 ? 0 , ?2 ? 座号 则 sin ? 的值是__________. 2. 函数 y ? 3 x ? 1 ? 8 ? 2x 的最大值是_________. 3. 函数 y ? 2| x| 的图象与函数 y ? x2 的图象围成的面积大小为_______(平方单位). 4. 从前 2014 个正整数构成的集 M ? ?1,2, ,2014? 中取出一个 k 元子集 A ,使得 A 中任两 姓名 班别 数之和不能被这两数之差整除,则 k 的最大值为_______. 5. 三棱锥 P ? ABC 中,顶点 P 在平面 ABC 的射影为 O ,满足 OA ? OB ? OC ? 0 , A 点 在侧面 PBC 上的射影 H 是 ?PBC 的垂心,PA ? 6 , 则此三棱锥体积的最大值为________. 6. 用红黄蓝三种颜色给如右图所示的六连圆涂色,若每种颜 色只能涂两个圆,且相邻两个圆所涂颜色不能相同,则不同的 涂色方案共有________种(用数字作答). F1 和 F2 分别是双曲 7. 如右图, x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点, A a2 b2 学校 和 B 是以 O 为圆心,以 O F1 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点, 且△ F2 AB 是等边三角形,则双曲线的离心率为________. 8. 已知对每一个实数 x 和 y 函数 f ( x) 满足 f ( x) ? f ( y) ? f ( x ? y) ? xy .若 f (1) ? m , 则满 足 f (n) ? 2014的正整数对 (m, n) 共有_________个. 1 总分 一、填空题答题区(每小题 8 分,满分 64 分) 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分. 9. (本小题满分 16 分) 已知方程 x 2 ? ax ? b ? 0 的两个不等实根 x1 、 x2 满足 1 3 1 3 2 x1 ? x2 ? x12 ? x2 2 ? 3 3 x1 2 ? 1 x2 ? 3 3 x1 3 x26 ?7 2 ( a? )b ?0 . 求 a2 ? b2 ? ab ? 3a 的值. 2 10. (本小题满分 20 分) 如图,已知 L、K 分别是 ?ABC 的边 AB 、AC 的中点, ?ABC 的内切圆 I 分别与边 BC 、CA 切于点 D、E .求证: KL、DE 的交点在 ?ABC 的角平分线上. 3 11. (本小题满分 20 分) 在数列 {an } 中, a1 ? 1,3an an?1 ? an ? an?1 ? 0(n ? 2) . (1)求数列 {an } 的通项; (2)若 ? an ? 1 ? ? 对任意 n ? 2 的整数恒成立,求实数 ? 的取值范围; an ?1 2 (3)设数列 bn ? an , {bn } 的前 n 项和为 T

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