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2014年高考数学试卷分析卷一


2014 年全国高考数学(理科)分析 (全国卷一) --------高二数学备课组
一. 全国考纲与山东考试说明对照
通过认真比对 2014 高考考试大纲——理科数学(新课标)与 2014 年普通高等学校招生全国 统一考试山东卷考试说明,发现: (一)全国考纲与山东考试说明在对学生的考查要求上完全一致。 两者都强调: (1)对数学基础知识的考查 (2)对数学思想方法的考查 (3)对数学能力的考 查, (4)对应用意识的考查 (5)对创新意识的考查。 其中, 在对知识要求的考查上均分为了解, 理解,掌握三个层次。在对能力要求的考查上均考查空间想象能力、抽象概括能力、推理论 证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识七种能力 (二)在考查范围上略有不同 山东卷没有选考内容,在考试范围上为《课程标准》的必修内容和选修系列 2 的内容; 以及选修 4-5 中的部分内容:不等式的选讲部分中的不等式的基本性质和证明的基本方法。 仅要求(1)理解绝对值的几何意义,并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式: ①|ax+b|≤|a|+|b|. ②|a-b|≤|a-c|+|c-b|. (2)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:|ax+b|≤c;|ax+b|≥c;|x-a|+|x-b| ≥c. (3)了解证明不等式的基本方法:比较法,综合法,分析法,反证法,放缩法。 全国卷包括必考内容和选考内容两部分,必考内容均为《课程标准》的必修内容和选修 系列 2 的内容;选考内容为《课程标准》的选修系列 4 的"几何证明选讲"、"坐标系与参数方 程"、"不等式选讲"等 3 个专题。其中选考内容与要求 1.几何证明选讲 (1)了解平行线截割定理,会证明并应用直角三角形射影定理。 ⑵会证明并应用圆周角定理,圆的切线的判定地理及性质定理。 ⑶会证明并应用相交弦定理,圆内接四边形的性质定理与判定定理,切割线定理。 ⑷了解平行投影的含义, 通过援助与平面的位置关系了解平行投影;会证平面与圆柱面的 截线是椭圆(特殊情形是 圆)。 (5)了解下面定理。 定理:在空间中,取直线 l 为轴,直线 l’与 l 相较于 O,其夹角为α ,l’围绕 l 旋转 得到以 O 为顶点,l’为母线的圆锥面,任取平面π ,若它与轴 l 交角为β (π 与 l 平行,记 β =0),则: ① β >α ,平面π 与圆锥的交线为圆锥, ② β =α ,平面π 与圆锥的交线为抛物线 ③β <α 平面π 与圆锥的交线为双曲线。 (6)会利用丹迪林(Dandelin)双球(如下面所示,这两个球位于圆锥内部,一个位于平面 π 的上方,一个位于平面π 的下方,并且与平面π 及圆锥面均相切,其切点分别为 F,E)正面 上述定理①的情形:当时α >β 时,平面π 与圆锥的相交线为椭圆。

(图中上,下两球与圆锥切面相切的切点分别为 B 和 C,线段 BC 与平面π 相交于 A)
1

(7)会证明以下结果: ①在(6)中,一个丹迪林球与圆锥的交线为一个圆,并与圆锥的 底面平行,记这个圆所 在平面为π ’. ②如果平面π 与平面π 的交线为 m,在(5)①中椭圆上任取一点 A,该丹迪林球与平面π 的切点为 F,则点 A 到点 F 的距离与点 A 到直线 m 的距离比是小于 1 的常熟 e(称点 F 为这个 椭圆的焦点直线 m 为椭圆的准线,常数 e 为离心率)。 (8)了解定理(5)③中的证明,了解当β 无线接近α 时,平面π 的极限结果。 2.坐标系与参数方程 (1)坐标系 ①理解坐标系的作用。 ②了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况。 ③能在极坐标系中用极坐标白哦是点的位置,理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示 点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的 互化。 ④ 能在极坐标系中给出简单图形的方程, 通过比较这些图形在极坐标和平面直角坐标系 中的方程,理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义。 ⑤了解柱坐标,球坐标系中表示空间中点的位置的方法, 并与空间直角坐标系中表示点的 位置的方法相比较,了解它们的区别。 ⑵参数方程 ② 了解参数方程,了解参数的意义。 能选择适当的参数写出直线,圆和圆锥曲线的参数方程。 ③了解平摆线,渐开线的生成过程,并能推导出它们的参数方程。 ④了解其他摆线的生成过程,了解摆线在实际中的应用,了解摆线在表示行星运动轨道 中的作用。 3.不等式选讲 (1)理解绝对值的几何意义,并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式: ①|ax+b|≤|a|+|b|. ②|a-b|≤|a-c|+|c-b|. ③会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式: |ax+b|≤c;|ax+b|≥c;|x-a|+|x-b| ≥c. (2)了解下列柯西不等式的几种不同形式,理解它们的几何意义,并会证明。 ①柯西不等式的向量形式: ② ③ (此不等式通常称为平面三角不等式。)

(3)会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形: (4)会用向量递归方法讨论排序不等式。 (5)了解数学归纳法的原理及其使用范围,会用数学归纳法证明一些简单问题。 (6)会用数学归纳法证明贝努利不等式 (x>-1,x≠0,n 为大于 1 的正整数),

了解当 n 为大于 1 的实数时贝努利不等式也成立。 (7)会用上述不等式证明一些简单问题,能够利用平均值不等式,柯西不等式求一些特定 函数的极值。 (8)了解证明不等式的基本方法:比较法,综合法,分析法,反证法,放缩法。
2

除此以外, 其余必考内容中的必修部分与选修 2 系列内容与要求上完全一样, 一个字都 不差。 二、全国卷(卷一)理科与山东卷理科试题结构形式及考点对照 从整体结构看,全国卷(卷一) (理科)一卷 12 个选择题;二卷非选择题为 4 道填空题 和 5 道必做题和三道三选一解答题。其中选做题要求:三题中任选一题作答。注意:只能做 所选定的题目。如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将 所选题号后的 方框涂黑。山东卷理科一卷 10 个选择题;二卷非选择题为 5 道填空题和 6 道 必做题。 从分值上看,全国卷(卷一)理科选择题每题 5 分;填空题每题 5 分和 5 道必做题每题 12 分和三选一解答题 10 分。山东卷选择题每题 5 分;填空题每题 5 分和前四个解答题每题 12 分,最后两个解答题分别是 13 分和 14 分。 从解答题上来看,山东解答题标准的六大块:三角函数、立体几何、数列、概率统计、 解析几何、函数与导数。而全国高考题解答题 2014 年是数列(理科前两年都是三角) 、概率 与统计、立体几何、解析几何、函数与导数,三选一包括几何证明选讲、坐标系与参数方程、 不等式选讲。发现:概率与统计、立体几何、解析几何、函数与导数,三选一包括几何证明 选讲、坐标系与参数方程、不等式选讲,每年必考。而三角与数列的解答题交替出现。2014 年数列只考了一个解答题,而 2013 及 2012 年只考了小题,解答题是三角。 三、全国卷(卷一)试卷结构与难度 为方便查阅,我们备课组齐心协力把这近三年的全国高考题做了一个大致统计,尤其是 对 2014 年的全国卷做了一个仔细的分析,结果如下: (一) 、三年来理科高考都考了什么? 2012 年新课标卷 题号 2013 年新课标Ⅰ卷 2014 年新课标Ⅰ卷 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 集合 计数原理 复数 椭圆的离心率 等比数列 程序框图 三视图 双曲线、抛物线 三角函数的单调性 函数的图像 球的切接问题 反函数、函数图象 平面向量 线性规划 古典概率 数列 解三角形 分段函数 集合 复数 抽样方法 双曲线 程序框图 球的切接问题 等差数列 三视图 二项式定理 椭圆的中点弦问题 分段函数 数列与解三角形结合 平面向量 数列 三角函数 函数最值 解三角形
3

集合 复数 函数奇偶性 双曲线 排列组合、概率 函数图像 程序框图 三角恒等变换 线性规划、命题 抛物线定义 函数导数、零点 三视图 二项式定理 推理与证明 平面向量 解三角形 数列(含参)

立体几何线线垂直,求线面 频率分布直方图、 正态

角 19 20 21 22 23 24 立体几何二面角 圆,抛物线 函数的单调性与最值 三角形相似的判定 极坐标、参数方程 绝对值不等式 求概率,分布列及数学期望 轨迹方程,直线与椭圆关系 函数、导数与不等式 几何证明直线与圆相切 极坐标与参数方程 绝对值不等式

分布、 二项分布求期望 立体几何二面角 直线与椭圆 函数、导数与不等式 几何证明圆内接四边 形 参数方程 基本不等式

(二) 、试卷题目特点 1、平稳过渡、先易后难 试题总的来说过渡比较平稳,由易到难,逐步递进,符合学生做题习惯。 2、立足基础、覆盖面广 在全面考查的前提下,高中数学的六大主干知识仍然是支撑整份试卷的主体内容,尤其 是解答题,涉及内容均是高中数学的重点内容。另外,考试内容体现了新课标要求,算法与 框图、三视图、统计、概率和分布列、推理与证明等均在试卷中都有所体现。 3、淡化计算、强调应用 如:14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A,B,C 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市; 乙说:我没去过 C 城市; 丙说:我们三人去过同一个城市. 由此可判断乙去过的城市为 . 在该题中“没有公式,没有原理,没有运算,只考查推理能力。数学是培养理性思维的重要途 径,通过平时学习的各种方法,进行大量的练习,最终是要让学生掌握逻辑推理的能力、理 性思维的方法, 因此今年的数学高考试题中, 加大了逻辑推理能力所占的比例, 题目占到 50% 以上。逐渐转变以往靠老师给总结的结论来解题的命题方式。 计算并不是不重要,而是要把 计算同逻辑推理结合起来,即使要计算也首先要通过逻辑推理之后再计算。这种通过所学知 识、获得解决问题的方法并能就解决生活实际中可能遇到的问题,体现了高考改革的方向。 (三)试题分析 通过对比三年全国卷卷一(理科)发现: 客观题:考试内容基本没有什么变化,集合、复数、程序框图、圆锥曲线、函数图像与 性质、三视图、排列组合、不等式线性规划、常用逻辑用语等板块均有所涉及。 1—5 题:集合、复数、函数性质、圆锥曲线标准方程、排列组合非常注重基础,完全是常规 的方法和不变的题型,属于送分题目。 7、10、11、12 题:涉及程序框图、圆锥曲线、函数性质、三视图等内容,难度也不大。 10 题,圆锥曲线题更注重了几何层次的考查。12 题,考查三视图,完全没有 2013 年那种没有 思路、无从下手的感觉,比较容易拿分。 主观题 填空题主要考查了二项式定理、推理与证明、向量和三角函数。让人感觉一新的是 14 题,而其他三道题都是常规性题目,没什么难度。向量问题的考查也是侧重了几何方法,没 有出现数量积的有关问题。解答题考点较往年有了比较大的变化,主要是 17 题:由考查三角 函数转向考查数列,18 题:由考查常规分布列转向考查正态分布。17 题,考查数列对学生来 说并不可怕,但让学生紧张的是数列问题还带参数,尤其出现在解答题的第一道大题的位置,
4

应该很好地检测了一下学生的心脏承受能力,跟前面的选择填空完全不一个风格,我估计这 道题的平均分应该没有往年高。 四、逐题分析 2014 高考全国卷(理科) (卷Ⅰ) 1.已知集合 A ? ? x x 2 ? 2 x ? 3 ? 0? , B ? ? x ? 2 ? x ? 2? ,则 A B ? A. ??2, ?1? B. ? ?1, 2? C. ??1,1? D. ?1, 2 ?

解析: A ? ? x x 2 ? 2 x ? 3 ? 0? ? ? x ? x ? 3?? x ? 1? ? 0? ? ? x x ? ?1或x ? 3?,
又B ? ? x ? 2 ? x ? 2? , A B ? ??2, ?1? ,故选 A

考查内容:本题考查了一元二次不等式的解法、集合中交的运算。属于基础题。

?1+i ? 2. 2 ?1-i ?
3

?
3

A. 1 ? i
2

B. 1 ? i

C. ? 1 ? i

D. ?1 ? i

?1+i ? ? ?1+i ? ?1+i ? ? 2i ?1+i ? ? ?1 ? i ,故选 D 解析: 2 2 ?2i ?1-i ? ?1-i ?
考查内容:本题考查了复数的乘法与除法运算,i2 的运算。属于基础题。 3.设函数 f ? x ? , g ? x ? 的定义域都为 R,且 f ? x ? 是奇函数, g ? x ? 是偶函数,则下列结论中正 确的是 A. f ? x ? g ? x ? 是偶函数 C. f ? x ? g ? x ? 是奇函数 B. f ? x ? g ? x ? 是奇函数 D. f ? x ? g ? x ? 是奇函数

解析: f ? x ? 是奇函数, g ? x ? 是偶函数,则 f ? x ? g ? x ? 是奇函数,排除 A

f ? x ? 是奇函数, f ? x ? 是偶函数, g ? x ? 是偶函数,则 f ? x ? g ? x ? 是偶函数,排除 B f ? x ? 是奇函数, g ? x ? 是偶函数,则 f ? x ? g ? x ? 是奇函数,C 正确 f ? x ? 是奇函数, g ? x ? 是偶函数, f ? x ? g ? x ? 是奇函数,则 f ? x ? g ? x ? 是偶函数,排除 D,故
选C 考查内容:本题考查函数奇偶性的判定,及奇偶函数的性质。属于基础题。 4.已知 F 为双曲线 C : x2 ? my2 ? 3m ? m ? 0? 的一个焦点,则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为 A. 3 B. 3 C. 3m D. 3m

解析:双曲线的焦点到渐近线的距离为虚半轴长 b,故距离 3 ,选 A 考查内容:本题考查了双曲线的标准方程及简单的几何性质,包括焦点坐标、渐近线方程的 求法,以及点到直线的距离公式。 5.4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公 益活动的概率为
5

1 3 5 7 B. C. D. 8 8 8 8 解析:周六没有同学的方法数为 1,周日没有同学的方法数为 1,所以

A.

P

周六、周
O M A

24 ? 2 7 日都有同学参加公益活动的概率为 P ? 4 ? ,故选 D 2 8

考查内容:本题考查了乘法原理,排列组合、古典概型。或其对立事件的概率。 6.如图,圆 O 的半径为 1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角 x 的始边为射线 OA,终边 为射线 OP,过点 P 作直线 OA 的垂线,垂足为 M,将点 M 到直线 OP 的距离表示为 x 的函 数 f ? x ? ,则 y ? f ? x ? 在 ? 0, ? ? 的图像大致为

解 析 : 由 已 知 O P ? 1 , P M? s i n x , O M ?
f

, co sx又

1 1 f ? x ? ? OP ? OM MP , 所 以 2 2

1 s i,故选 n x 2 C 2 考查内容:任意角三角函数的定义、正弦的二倍角公式、正弦函数的性质与图像,以及学生 的识图能力.

? x? ? s i n x

co? x s

7.执行右面的程序框图,若输入的 a, b, k 分别为 1,2,3,则输出的 M ? A.
20 3

B.

7 2

C.

16 5

D.

15 8

3 3 解析:当 n ? 2 时, M ? , a ? 2, b ? ; 2 2 8 3 8 15 8 15 当 n ? 3 时, M ? , a ? , b ? ;当 n ? 4 时, M ? , a ? , b ? ; 3 2 3 8 3 8 15 此时运算终止, M ? ,故选 D 8 考查内容:本题考查循环结构的程序框图,其中里面的参数较多,多次赋值语句的运用,看 是简单,学生稍不留心就容易做错。

1 ? sin ? ? ?? ? ?? 8.设 ? ? ? 0, ? , ? ? ? 0, ? , 且 tan ? ? ,则 cos ? ? 2? ? 2?

A. 3? ? ? ?

?
2

B. 3? ? ? ?

?
2

C. 2? ? ? ?

?
2

D. 2? ? ? ?

?
2

解析: 由 tan ? ?

1 ? sin ? sin ? 1 ? sin ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? ? cos ? sin ? 得 cos ? cos ? cos ?
6

? 即 sin ?? ? ? ? ? cos? , 所 以 s i n in? ?? ? ?? ? s ? ? ?2
?

? ? ?? ? ?? ? , ? ? 0 ,? ? , 由 已 知 ? ?? 0 , ? ? 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? , ? ? 2 2? ?

,所 以

?
2

?? ?? ?

?
2

,0 ?

?
2

?? ?

?
2

,

y ? sin x



上 单 调 递 增 , 所 以

,故选 C 2 2 考查内容:本题主要考察三角函数恒等变换,其中考到了切化弦,两角差的正弦公式,以及 诱导公式,给值求角。考查.难度中等.

? ?? ?

?

? ? , 2? ? ? ?

?

? x ? y ? 1, 9.不等式组 ? 的解集记为 D,有下面四个命题 ?x ? 2 y ? 4

p1 : ?? x, y ? ? D, x ? 2 y ? ?2, p2 : ?? x, y ? ? D, x ? 2 y ? 2, p3 : ?? x, y ? ? D, x ? 2 y ? 3, p4 : ?? x, y ? ? D, x ? 2 y ? ?1, 其中的真命题是
A. p2 , p3 B. p1 , p2 C.

p1 , p4

D. p1 , p3

解析:令 x ? 2 y ? m ? x ? y ? ? n ? x ? 2 y ? ? ? m ? n? x ? ? m ? 2n? y ,所以
4 ? m? ? ?m ? n ? 1 4 1 ? 3 ,解得 ? ,所以 x ? 2 y ? ? x ? y ? ? ? x ? 2 y ? ? 0 ,因而可以判断 p1 , p2 为真,故选 ? 3 3 ? m ? 2n ? 2 ?n ? ? 1 ? 3 ?

B 考查内容:本题与简易逻辑相结合,考查线性规划。情景比较新颖,考到了可行域、全称命 题与特称命题,但不算难。 10.已知抛物线 C : y 2 ? 8x 的焦点为 F ,准线为 l , P 是 l 上一点, Q 是直线 PF 与 C 的一个交点,若

FP ? 4FQ ,则 QF ?
A.
7 2

B. 3

C.

5 2

D. 2

解 析 : 由 已 知 xP ? ?2, xF ? 2, 又 FP ? 4FQ , 则
?4 ? 4 ? xQ ? 2 ? ,? xQ ? 1 ,过 Q 作 QD 垂直于 l,垂足为 D,所以 QF ? QD ? 3 ,故选 B

考查内容:主要考查抛物线的定义,抛物线的性质,以及平面几何图形分析处理能力, 11.已知函数 f ? x ? ? ax3 ? 3x2 ?1 ,若 f ? x ? 存在唯一的零点 x0 ,且 x0 ? 0 ,则 a 的取值范围是 A. ? 2, ??? B. ?1, ?? ? C.

? ??, ?2?

D. ? ??, ?1?

解析:当 a ? 0 时, f ? x ? ? ?3x2 ? 1有两个零点,不满足条件
7

2? 2? ? ? 当 a ? 0 时, f ' ? x ? ? 3ax 2 ? 6 x ? 3ax ? x ? ? ,令 f ' ? x ? ? 0 ? 3ax ? x ? ? ? 0 , a? a? ? ?

解 得 x ? 0或x ?

2 2? ? ?2 ? , 当 a ? 0 时 , f ? x ? ? ax3 ? 3x2 ?1 在 ? ??, ? 和 ? 0, ?? ? 递减, ? , 0 ? 递增 , a a? ? ?a ?

4 ?2? f ? ? = ? 2 ? 1 为极小值, f ? 0? =1 为极大值,若 f ? x ? 存在唯一的零点 x0 ,且 x0 ? 0 ,只需 a ?a? 4 ?2? f ? ? = ? 2 ? 1 ? 0,即为 a ? ?2 a ?a?





a?0





f ? x ? ? ax3 ? 3x2 ?1



? ??, 0 ? 和? ?

2 ? ? 2? , ?? ? 递增, ? 0, ? 递减 , f ? 0? =1 为极大值, ?a ? ? a?

4 ?2? f ? ? = ? 2 ? 1 为极小值,不可能有 a ?a?

满足条件的极值,故选 C 考查内容:本题考查函数零点的定义、导数在函数中的应用,借助求导求极值得出函数的图 像特征,进而求出符合条件的参数范围。本题考查了数形结合。分类讨论的数学思想。 12.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的 个条棱中,最长的棱的长度为
A .6 2 B .6

C. 4 2

D .4

解析: 几何体为如图所示的一个三棱锥 P ? ABC , 底面ABC 腰三角形, AB ? BC, A C ? 4, 顶点B到AC的距离为4,面

为等

P B

A

PAC ? 面ABC , 且三角形 PAC 为以A为直角的等腰直角三角形, 所以

棱 PB 最长,长度为6,故选B 考查内容:考查三视图的识图能力,以及正方体的作用。在<课程标准>中明 确 强 调 了长方体的作用. 以长方体为依托是解决问题的有效手段. 本题考查了学 生的识 C 图能力及空间想象能力。 启示:对于同一个几何体,由于放置的位置不同(尤其是常规几何体的非常规放法) ,其三视 图也不相同;平时应加强学生对同一几何体通过摆放位置的不同对同一几何体的三视图进行 练习,便于明确几何体的结构特征. 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两个部分。第(13)题-第(21)题为必考题,每个考生都必须作答。 第(22)题-第(24)题为选考题,考生根据要求作答。 二.填空题:本大题共四小题,每小题5分。 13. ( x ? y)( x ? y)8 的展开式中 x 2 y 7 的系数为 .(用数字填写答案)

1 解析: ( x ? y)( x ? y)8 ? x( x ? y)8 ? y( x ? y)8 ,故展开式中 x 2 y 2 的系数为 C8 ? C82 ? 8 ? 28 ? ?20

考查内容:本题考查二项式定理。通项及组合数公式 14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A,B,C 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市;
8

乙说:我没去过 C 城市; 丙说:我们三人去过同一个城市. 由此可判断乙去过的城市为 . 解析:乙没去过 C 城市,甲没去过 B 城市,但去过的城市比乙多,所以甲去过 A,C,三人 都去过同一个城市,一定是 A,所以填 A 考查内容:在该题中“没有公式,没有原理,没有运算,只考查学生的逻辑推理能力。 1 15.已知 A,B,C 是圆 O 上的三点,若 AO ? ( AB ? AC ) ,则 AB 与 AC 的夹角为 . 2 A 1 解析: AO ? ( AB ? AC ) ,如图所示,O 为 BC 中点,即 2 B ? BC 为圆 O 的直径,所以 AB 与 AC 的夹角为 O C 2 考查内容:考查向量的加法运算,与圆内接三角形问题,难 度较小 16.已知 a, b, c 分别为 ?ABC 的三个内角 A, B, C 的对边, a =2,且
(2 ? b)(sin A ? sin B) ? (c ? b)sin C ,则 ?ABC 面积的最大值为

.

解析: 因为 a =2, (2 ? b)(sin A ? sin B) ? (c ? b)sin C ? (2 ? b)(a ? b) ? (c ? b)c ? 2a ? b2 ? c2 ? bc ,
b2 ? c 2 ? a 2 1 ? ? ? A? 所以 2a ? b ? c ? bc ? b ? c ? a ? bc ? cos A ? 2bc 2 3
2 2 2 2 2

1 3 ?ABC 面积 S ? bc sin A ? bc ,而 2 4
b2 ? c2 ? a2 ? bc ? b2 ? c2 ? bc ? a2 ? b2 ? c2 ? bc ? 4 ? bc ? 4

1 3 S ? bc sin A ? bc ? 3 2 4

考查内容:考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用,以及基本不等式在求最值当中的 应用.。难度中等。 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分)已知数列{ an }的前 n 项和为 Sn , a1 =1, an ? 0 , an an?1 ? ? Sn ?1,其中 ? 为常数.(Ⅰ)证明: an?2 ? an ? ? ; (Ⅱ)是否存在 ? ,使得{ an }为等差数列?并说明理由.
? ?an an ?1 ? ? Sn ? 1, ① 解析: (Ⅰ)证明:当 n ? 2 时, ? ,①-②得 ? ?an ?1an ? ? Sn ?1 ? 1 ②

an an?1 ? an?1an ? ? ? Sn ? Sn?1 ? ? an ? an?1 ? an?1 ? ? ?an , an ? 0?an?1 ? an?1 ? ?,,即an?2 ? an ? ?
(Ⅱ)存在,证明如下:假设存在 ? ,使得{ an }为等差数列,则有 2a2 ? a1 +a3 ,而 a1 =1,

a2 ? ? ?1, a3 ? 1 ? ? ,所以 2 ? ? ?1? ? 2 ? ? ? ? ? 4 ,此时{ an }为首项是 1,公差为 4 的等差数
9



考查内容: 1.考查数列递推公式的应用;2.等差数列的定义以及相关的公式和性质。较难。 18. (本小题满分 12 分)从某企业的某种产品中抽取 500 件,测量这些产品的一项质量指标值, 由测量结果得如下频率分布直方图:

(Ⅰ)求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 x 和样本方差 s 2 (同一组数据用该区间的中点值 作代表) ; (Ⅱ) 由频率分布直方图可以认为, 这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 N (?, ? 2 ) , 其中 ?

10

近似为样本平均数 x , ? 2 近似为样本方差 s 2 . (i)利用该正态分布,求 P(187.8 ? Z ? 212.2) ; (ii)某用户从该企业购买了 100 件这种产品,记 X 表示这 100 件产品中质量指标值位于区 间(187.8,212.2)的产品件数,利用(i)的结果,求 EX . 附: 150 ≈12.2. 若 Z ~ N (?, ? 2 ) ,则 P(? ? ? ? Z ? ? ? ? ) =0.6826, P(? ? 2? ? Z ? ? ? 2? ) =0.9544. 解析: (Ⅰ) x ? 0.02 ?170 ? 0.09 ?180 ? 0.22 ?190 ? 0.33 ? 200 ? 0.24 ? 210 ? 0.08 ? 220 ? 0.02 ? 230 ? 200
s 2 ? 0.02 ? ?170 ? 200 ? ? 0.09 ? ?180 ? 200 ? ? 0.22 ? ?190 ? 200 ?
2 2 2 2 2 2 2

?0.33 ? ? 200 ? 200 ? ? 0.24 ? ? 210 ? 200 ? ? 0.08 ? ? 220 ? 200 ? ? 0.02 ? ? 230 ? 200 ? ? 150

(Ⅱ)(i)由(Ⅰ)知, ? 2 = s 2 =150,所以 ? ? 150 ? 12.2 ,
P(187.8 ? Z ? 212.2) ? P(200 ? 12.2 ? Z ? 200 ? 12.2) ? 0.6826

(ii)100 件产品中质量指标值为于区间(187.8,212.2)的产品件数 X 服从二项分布

B ?100,0.6826? ,所以 EX ? 100 ? 0.6826 ? 68.26
考查内容:考查如何由频率分布直方图求样本平均数和方差;正态分布中的 3σ 原则;以及 二项分布求期望.难度稍大. 19. (本小题满分 12 分)如图三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧面 BB1C1C 为菱形, AB ? B1C . (Ⅰ) 证明: AC ? AB1 ; (Ⅱ)若 AC ? AB1 , ?CBB1 ? 60o ,AB=BC,求二面角

A ? A1B1 ? C1 的余弦值.
解析: (Ⅰ) 证明: 侧面 BB1C1C 为菱形,令 BC1

B1C ? O ? BC1 ? B1C 又 AB ? B1C ,

AB BC1 ? B ? B1C ? 面ABC1
为等腰三角形,所以 AC ? AB1 (Ⅱ)

AO ? 面ABC1 ? AO ? B1C ,又 O 为 B1C 中点,所以三角形 ACB1

AC ? AB1 , ?CBB1 ? 60o ,AB=BC,令 AC ? 1 ? B1C ? 2 ? BC ? AB ? 2 ,
z A A1

2 6 , BO ? ,? AO 2 ? BO 2 ? AB 2 ? AO ? BO, 又由已知可求 AO ? 2 2
C

AO ? B1C, B1C

BO ? O ? AO ? 面BB1C1C
x

C1 O B1 y

B

11

如图所示建立空间直角坐标系 O ? xyz
? ? 3? 3 ? ? 3 ? A? ? 0, 0, 3 ? ? , B ?1, 0, 0 ? , B1 ? ? 0, 3 , 0 ? ?,C ? ? 0, ? 3 , 0 ? ? , ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 3? 3? 3 ? ? AB1 ? ? 0, , ? , A B ? AB ? 1, 0, ? B C ? BC ? ? 1, ? ,0? , ? ? ? ? 1 1 1 1 ? 3 ? ? 3 ? 3 ? 3 ? ? ? ? ? ? ?

设 n ? ? x, y, z ? 为平面 AA1B1 的一个法向量,则

?n ? ? ? ?n

? 3 3 y? z ? 0, ? AB1 ? 0, ? 3 3 即? , 所以可取n ? 1, 3, 3 A1B1 ? 0 ? 3 x? z?0 ? 3 ?

?

?
? ?

? ?m B1C1 ? 0, 同理可取m ? 1, ? 3, 3 设 m ? ? a, b, c ? 为平面 A1B1C1 的一个法向量,则 ? ? ?m A1B1 ? 0

则 cos ? n, m ??

nm n m

?

1 1 ,所以二面角 A ? A1B1 ? C1 的余弦值为 7 7

考查内容:以斜三棱柱为载体证明线段相等,求二面角的余弦值。属于常规题目。 20. (本小题满分 12 分) 已知点 A (0,-2) ,椭圆 E :
x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , 2 a b 2

F 是椭圆 E 的右焦点,直线 AF 的斜率为

2 3 , O 为坐标原点. 3

(Ⅰ)求 E 的方程; (Ⅱ)设过点 A 的直线 l 与 E 相交于 P, Q 两点,当 ?OPQ 的面积最大时,求 l 的方程.

?c 3 , ? ? ? x2 ?a ?a ? 2 2 解析: (Ⅰ)由已知得 ? 解得 ? ? 椭圆E的方程: ? y 2 ? 1 4 ? ?c ? 3 ?2 ? 2 3 ? 3 ?c
(Ⅱ)当直线 l 垂直于 x 轴时, ?OPQ 不存在
x2 令直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 与 ? y 2 ? 1联立消去 y 有: ? 4k 2 ? 1? x 2 ? 16kx ? 12 ? 0 4
? ? ? ?16k ? ? 4 ? ? 4k 2 ? 1? ?12 ? 64k 2 ? 48 ? 0 ? k 2 ?
2

3 4

12

令 P ? x1 , y1 ? , Q ? x2 , y2 ?

16k ? x1 ? x2 ? 2 , ? ? 4k ? 1 ? 12 ?x x ? 1 2 ? 4k 2 ? 1 ?

2 PQ ? ?1 ? k ? ?? x1 ? x2 ? ? 4 x1 x2 ? ? ? ? 2

?? 16k ?2 48 ? ?1 ? k ? ?? ? ? 2 ? 2 ? ?? 4k ? 1 ? 4k ? 1? ?
2

4 1 ? k 2 4k 2 ? 3 2 整理得 PQ ? ,令点 O 到直线 l 的距离为 d,则 d ? 2 4k ? 1 k 2 ?1
所以 ?OPQ 的面积 S ? k ? ?

1 4 4k 2 ? 3 ,令 4k 2 ? 3 ? t ? t ? 0 ? PQ d ? 2 2 4k ? 1

? ? 4 4k 2 ? 3 4t 4 7 S ?k ? ? ? ? ? 1 当且仅当 t ? 2, 即 k ? ? 时取到 ? ? ? ? 4k 2 ? 1 t2 ? 4 t ? 4 2 ? ? t

此时直线 l 的方程为 y ?

7 7 x?2 x?2 或 y ? ? 2 2

命题立意: 本题考查了椭圆的标准方程和几何性质以及直线与曲线相交的问题,考查了运算推理能力和 转化求解的应用意识,难度较大. 21. (本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? ae x ln x ?
be x ?1 ,曲线 y ? f ( x) 在点(1, f (1) )处的切线 x

为 y ? e( x ? 1) ? 2 . (Ⅰ)求 a , b ; (Ⅱ)证明: f ( x) ? 1 .
x ?1 ? ? 1 ? be ? x ? 1? 1 ? b ? x ? 1? ? ? 21.解析:(Ⅰ) f '( x) ? ae x ? ln x ? ? ? ? e x ?1 ?ae ? ln x ? ? ? ? 2 x? x x? x2 ? ? ? ?

? f (1) ? 2 ?a ? 1 因为曲线 y ? f ( x) 在点(1, f (1) )处的切线为 y ? e( x ? 1) ? 2 ,所以 ? , 代入有 ? ? f '(1) ? e ?b ? 2
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知 f ( x) ? e x ln x ?
2e x ?1 ,欲证 f ( x) ? 1 ,只需证 x

e x ln x ?

2 1 2 x 2e x ?1 ? 1 ,即证 ln x ? ? x ,即证 x ln x ? ? x ex e e e x

2 x 1? x 令 g ? x ? ? x ln x ? , h ? x ? ? x , g' ? x ? ? 1 ? ln x, h ' ? x ? ? x , e e e 1 1? x g' ? x ? ? 1 ? ln x ? 0, 解得x ? , h ' ? x ? ? x ? 0, 解得x ? 1 e e
13

1 1 1 当 0 ? x ? , g ' ? x ? ? 0, x ? , g ' ? x ? ? 0,? g ? x ?min ? e e e 1 0 ? x ? 1, h ' ? x ? ? 0, x ? 1, h ' ? x ? ? 0,? g ? x ?max ? e 2 x 所以 x ln x ? ? x 成立,所以 f ( x) ? 1 e e 命题立意: 知识:函数性质,导数的几何意义,函数的导数、不等式等;能力:运算求解能力,抽象概 括能力,推理论证能力,也考查了函数与方程,化归与转化等数 学思想, 难度较大. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,AB 的延长线与 DC 的延长线 交于点 E,且 CB=CE .(Ⅰ)证明:∠D=∠E; (Ⅱ)设 AD 不是⊙O 的直径,AD 的中点为 M,且 MB=MC,证明:△ADE 为等边三角形. 解析:.(Ⅰ)证明: 四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形, D

? ?D ? ?CBE, CB ? CE ??E ? ?CBE ??E ? ?D
M

(Ⅱ)证明:取 BC 中点 N ,连接 MN ,由 MB=MC 得
MN ? BC ?O在直线MN上 ,由 AD 的中点为 M 得
A

O C N B E

MN ? AD, ? AD / / BC ??CBE ? ?A ?CBE ? ?E ? ?D ??A ? ?E ? ?D △ADE 为等边三角形. 23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程

已知曲线 C :

?x ? 2 ? t x2 y 2 ? ? 1 ,直线 l : ? ( t 为参数). 4 9 ? y ? 2 ? 2t

(Ⅰ)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; (Ⅱ)过曲线 C 上任一点 P 作与 l 夹角为 30 o 的直线,交 l 于点 A ,求 | PA | 的最大值与最小值.

? x ? 2cos ? 解析:(Ⅰ)曲线 C 的参数方程为 ? ,直线 l 的普通方程为 2 x ? y ? 6 ? 0 ; ? y ? 3sin ?
(Ⅱ)令点 P 坐标为 ? 2cos? ,3sin ? ? ,点 P 到直线 l 的距离为 d

d?

4cos ? ? 3sin ? ? 6 5

?

5 5sin ?? ? ? ? ? 6 ? 4? ? tan ? ? ? 5 3? ?

| PA |?

d 22 5 2 5 ? 2d ,所以 | PA |max ? ? 2d ?max ? 2dmax ? ;| PA |min ? ? 2d ?min ? 2dmin ? sin 30? 5 5

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 1 1 若 a ? 0, b ? 0 ,且 ? ? ab . a b (Ⅰ) 求 a3 ? b3 的最小值;
14

(Ⅱ)是否存在 a , b ,使得 2a ? 3b ? 6 ?并说明理由. 解析:(Ⅰ)
1 1 ? ? ab ? ab ab ? a ? b, a b

a ? 0, b ? 0?ab ab ? a ? b ? 2 ab ? ab ? 2 ? ab ? 2
法一: a3 ? b3 ? 2 a3b3 ? 2 法二:
2 a3 ? b3 ? ? a ? b ? ? a 2 ? ab ? b 2 ? ? ? a ? b ? ?? a ? b ? ? 3ab ? ? ab ab ? ab ab ? ? ? ?

?

ab

?

3

?4 2

?

?

2

? 3ab ? ? ?

? ab ab ?? ab ? ? 3ab ? ? ?
3

令 ab ? t , a 3 ? b3 ? t 9 ? 3t 5 , 而 ? a 3 ? b3 ? ' ? 9t 8 ? 15t 4 =t 4 ? 9t 4 ? 15 ?,
t ? 2 ? ? a 3 ? b3 ? ' ? 0 ,所以 a3 ? b3 ? t 9 ? 3t 5 ? 4 2

(Ⅱ)不存在 a , b ,使得 2a ? 3b ? 6 因为 2a ? 3b ? 2 6ab ? 4 3 ? 6 ,所以不存在 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图, 四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形, AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E, 且 CB=CE .(Ⅰ)证明: ?D ? ?E ; (Ⅱ)设 AD 不是 O 的直径, AD 的中点为 M ,且 MB ? MC ,证明: ?ADE 为等边三角形.
D

M O A C

B

E

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程

?x ? 2 ? t x2 y 2 ? 1 ,直线 l : ? 已知曲线 C : ? ( t 为参数). 4 9 ? y ? 2 ? 2t
(1)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; (2)过曲线 C 上任一点 P 作与 l 夹角为 30 o 的直线,交 l 于点 A ,求 | PA | 的最大值与最小值。 24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 1 1 若 a ? 0, b ? 0 ,且 ? ? ab . a b (1)求 a3 ? b3 的最小值;
15

(2)是否存在 a , b ,使得 2a ? 3b ? 6 ?并说明理由. 三选一试题没有太大变化,只是不等式选讲一改往年风格,没有考绝对值不等式,只考查了 基本不等式的应用.难度比往年稍大. 五、2015 年高考命题展望 (1)集合的考查重点是抽象思维能力,考查集合与集合之间的关系,将加强对集合的计 算与化简的考查,并有可能从有限集合向无限集合来发展,考查“充分与必要条件”、命题的 真伪,主要是对数学概念有准确的记忆和深层次的理解. (2)向量作为一项工具将广泛应用于高中各个学科当中.特别是与解析几何、函数、立体几 何的有机结合将成为一种趋势,向量将不再停留在问题的表述语言水平上,其综合性程度将 会逐渐增强.向量和平面几何结合的选择填空题将是高考命题的一个亮点. (3)函数的奇偶性和单调性向抽象函数拓展,函数与导数结合是高考的热门话题.函数的 图象要注意利用平移变换、伸缩变换、对称变换,注意函数图象的对称性、函数值的变化趋 势.对指数函数与对数函数的考查,大多是以基本函数的性质为依托,结合运算推理来解决, 能运用函数性质比较熟练地进行有关函数式的大小比较, 方程解的讨论等..因为三次函数的导 数是二次函数, 所以, 对于三次函数的命题是有可能的.其他新颖函数将是高考命题的设计点, 这是因为导数成为高考的热门话题.连续函数在闭区间上的最值定理极有可能在考题中出现. 另外,导数试题的三个层次 第一层次:导数的概念、求导的公式和求导的法则; 第二层次:导数的简单应用,包括求函数的极值、单调区间,证明函数的增减性等; 第三层次:综合考查,包括解决应用问题,将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的 单调性等结合在一起。 (4)近年对三角函数的变换的考查有逐步强化的趋势,主要表现在对三角函数的图象与性 质的考查上有所加强.大致可以分为如下几类问题:与三角函数单调性有关的问题,与三角函 数图象有关的问题,应用同角变换和诱导公式,求三角函数的值及化简,等式的证明问题, 与周期性和对称性有关的问题,三角形中的问题等. (5)数列是特殊的函数,而不等式是深刻认识函数与数列的重要工具,三者的综合求解题 对基础和能力实现了双重检验,三者的综合求证题所显示的代数推理是近年来数学高考命题 的新的热点.等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前 n 项和的公式,对基本的运算技能 要求比较高.Sn 与 an 之间的关系经常是考查的重点,需要灵活应用.递推数列是近年高考命题 的一个热点内容之一,常考常新. (6)不等式的重点考查有四种题型:解不等式,证明不等式,涉及不等式的应用和不等式 的综合性问题.突出不等式的知识在解决实际问题中的应用价值,借助不等式来考查学生的应 用意识.不等式的证明过程中的放缩法是历年高考命题的一个热点,放缩中的“度”的把握更能 显出解题的真功夫. (7)空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直的性质与判定、线面之间的 角与距离的计算作为立体几何考试的重点内容,尤其是以多面体和旋转体为载体的线面的位 置关系的论证.基本题型为:证明空间的线面平行或垂直;求空间角与距离.立体几何的线面关 系是重点考查内容,特别要注意的是,对一道试题可以用二种方法并用的训练,特别强调用 向量法解决问题.应知道,在立体几何里,垂直是热点,中点是常考,正方体是基本的模型. (8)直线以倾斜角、斜率、夹角、距离、平行与垂直、线性规划等有关的问题为基本问题; 对称问题(包括对称、直线对称)要熟记解答的具体方法;与圆的位置有关的问题,其常规 的解答方法是研究圆心到直线的距离.圆锥曲线主要考查的内容是圆锥曲线的概念和性质,直 线和圆锥曲线的位置关系等.坐标法是解析几何的基本方法.已知曲线的方程, 通过方程研究曲 线的有关性质;通过曲线满足的性质,探求曲线的轨迹方程.涉及圆锥曲线的参数的取值范围 问题是高考的常考常新话题.
16

(9)高中内容中的概率与统计,是大学统计学的基础,起着承上启下的作用,是每年高考 命题的热点.在解答题中,排列组合与概率是重点(等可能性事件、互斥事件、独立事件) , 理科多是分布列,数学期望.在选择填空题中,抽样方法是热点 六、备考建议: 1. 适当加强运算能力的训练。 ,尤其是要训练如何灵活选择较简运算途径解决繁杂计算的能 力。 2.用好课本例题、习题 复习时,考生要“回归”课本,浓缩所学的知识,夯实基础,熟练掌握解题的通性、通法, 提高解题速度。考生复习课本时,既要注意内容、符号表达上的统一,也要注意定义、定理、 公式等叙述上的规范。同时,许多高考试题在教材中都有原型,即由教材中的例题、习题引 申变化而来。因此,考生必须利用好课本,夯实基础知识。 3.抓主干知识,加强知识网络化和横向联系。 重视基本概念、基本公式、基本技能。 4.注重答题规范与细节。 ①数学符号及语言表示、计算过程、逻辑推理要严谨,防止结果不化简,语言表达不规 范等现象;②数学推理及计算过程要完整,应用题建模与还原过程要清晰,概率题要有公式 及必要文字叙述等;③减少不必要的笔误,合理安排卷面结构。要记住:好的习惯有利于高 考取得好成绩。 5、关注学生的空间想象能力 无论是前几年常考的空间几何体的外接球或内切球的问题, 还是今年考到的三视图与直观 图的转化问题,都要求考生具备一定的空间想象能力,而现在教学中过多的使用向量解决立 体几何问题无疑剥夺了学生空间想象能力培养权利,教师在教学中尤其是立体几何教学一开 始的时候应该加强几何法的使用力度,让学生得到充分的锻炼.

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