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高三数学第二轮复习专题5分类讨论思想


专题 5 分类讨论思想
太仓高级中学 钱 华 一、填空题: 填空题: 1. 设集合 A={x||x|≤4}, B={x||x-3|≤a}, A ? B , 若 则实数 a 的取值范围是________. 解析:①当 a<0 时,B= ? ,符合题意;

?3 ? a ≥ ?4 ,解得 0≤a≤1, ②当 a≥0 时,B≠ ? ,B={x|3-a≤x≤3+a},由 A ? B 得 ? ?3 + a ≤ 4
综上所述 a≤1.

? 2 x + a, x < 1 2.已知实数 a≠0,函数 f ( x) = ? ,若 f(1-a)=f(1+a),则 a 的值为_______ ? ? x ? 2a , x ≥ 1
3 解析:①a>0 时,1-a<1,1+a>1,则可得 2(1-a)+a=-(1+a)+2a,解得 a=- , 2 与 a>0 矛盾,舍去; 3 ②a<0 时,1-a>1,1+a<1,则-(1-a)+2a=2(1+a)+a,解得 a=- ; 4 3 所以 a=- . 4 3.已知定义在闭区间[0,3]上的函数 f(x)=kx2-2kx 的最大值为 3,那么实数 k 的取值集合 为________. 解析:f(x)=kx2-2kx=k(x-1)2-k, ①当 k>0 时,二次函数开口向上,当 x=3 时,f(x)有最大值,即 f(3)=3k=3,解之得 k =1; ②当 k<0 时,二次函数开口向下,当 x=1 时,f(x)有最大值,即 f(1)=-k=3,解之得 k =-3; ③当 k=0 时,显然不成立. ∴{1,-3} 3 4.已知双曲线的渐近线方程为 y=± x,则双曲线的离心率为 . 4 2 2 2 b 3 b c -a 9 25 5 解析:当双曲线焦点,在 x 轴上时, = ,∴ 2= 2 =e2-1= ,∴e2= ,∴e= ; a 4 a a 16 16 4 2 2 b 4 b2 c -a 16 当双曲线焦点在 y 轴上时, = ,∴ 2= 2 =e2-1= , a 3 a a 9 25 5 ∴e2= ,∴e= . 9 3 5.若函数 f(x)=a|x-b|+2 在[0,+∞)上为增函数,则实数 a、b 的取值范围是______. 解析:①当 a>0 时,需 x-b 恒为非负数,即 a>0,b≤0,

②当 a<0 时,需 x-b 恒为非正数. 又∵x∈[0,+∞),∴不成立. 综上所述,由①②得 a>0 且 b≤0. 3 9 6.已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a3= ,S3= ,则 a1 的值为________. 2 2 3 9 3 解析 当 q=1 时,S3=3a1=3a3=3× = ,符合题意,所以 a1= ; 2 2 2 a1(1-q3) 9 3 3 当 q≠1 时,S3= =a1(1+q+q2)= ,又 a3=a1q2= 得 a1= 2,代入上式, 2 2 2q 1-q 9 1 1 1 1 3 2 得 2(1+q+q )= ,即 2+ -2=0,解得 =-2 或 =1(舍去). 2q 2 q q q q 1 3 因为 q=- ,所以 a1= =6, 1 2 2×(- )2 2 3 综上可得 a1= 或 6. 2 7.若直线 y=2a 与函数 y=|ax-1|(a>0 且 a≠1)的图象有两个公共点,则 a 的取值范围 是__________. 解析 分 0<a<1 与 a>1 两种情况讨论,画出图象,

?0<a<1 1 由图象知 a 应满足的条件是? ?0<a< . 2 ?0<2a<1

8.已知圆 x2+y2=4,则经过点 P(2,4),且与圆相切的直线方程为__________. 解析:①当斜率存在时,设直线方程为 y-4=k(x-2),即 kx-y-2k+4=0,若直线与圆

| ?2k + 4 |
相切,则

k +1
2

= 2 ,解得 k=4,所以切线方程是 3x-4y+10=0;

3

②当斜率不存在时,易得切线方程是 x=2.

1 1 1 1 9. 若函数 f ( x ) = ( a ? 1) x 3 + ax 2 ? x + 在其定义域内有极值点, a 的取值为 则 3 2 4 5 1 解析 即 f(x)=(a-1)x2+ax- =0 有解, 4 ①当 a-1=0 时,满足题意;
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特特特特特 特特 特特 特特 特特 王王王王 新新 王王 王王 新新
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②当 a-1≠0 时,只需Δ=a2-(a-1)>0,解得

?2 ? 5 ?2 + 5 ; <a< 2 2 ?2 ? 5 ?2 + 5 综上所述,a 的取值范围是 或 a=1. <a< 2 2

2 10.如图所示,有两个相同的直三棱柱,高为 ,底面三角形的三边长分别为 3a、4a、5a(a a >0).用它们拼成一个三棱柱或四棱柱,在所有可能的情形中,全面积最小的是一个四棱 柱,则 a 的取值范围是________.

解析:先考查拼成三棱柱(如图(1)所示)全面积:

1 4 S1=2× ×4a×3a+(3a+4a+5a)× =12a2+48; 2 a 再考查拼成四棱柱(如图(2)所示)全面积: 2 ①若 AC=5a, AB=4a, BC=3a, 则该四棱柱的全面积为 S2=2×4a×3a+2(3a+4a)× =24a2 a +28; 2 ②若 AC=4a, AB=3a, BC=5a, 则该四棱柱的全面积为 S2=2×4a×3a+2(3a+5a)× =24a2 a +32; 2 ③若 AC=3a, AB=5a, BC=4a, 则该四棱柱的全面积为 S2=2×4a×3a+2(4a+5a)× =24a2 a +36; 又在所有可能的情形中,全面积最小的是一个四棱柱,从而知 24a2+28<12a2+48?12a2 15 <20?0<a< . 3 15? 即 a 的取值范围是?0, . 3 ? ? π π 11.若函数 f(x)=a+bcosx+csinx 的图象经过点(0,1)和( ,1)两点,且 x∈[0, ]时, 2 2 |f(x)|≤2 恒成立,则实数 a 的取值范围是_______. 解析:由 f(0)=a+b=1,f( + 2(1-a)sin(x+

π )=a+c=1,得 b=c=1-a,f(x)=a+(1-a)(sinx+cosx)=a 2

π π π 3π 2 π ),∵ ≤ x + ≤ ,∴ ≤ sin( x + ) ≤ 1 , 4 4 4 4 2 4

①当 a≤1 时, 1≤f(x)≤a+ 2(1-a), ∵|f(x)|≤2, ∴只要 a+ 2(1-a)≤2 解得 a≥- 2,

∴- 2≤a≤1; ②当 a>1 时, a+ 2(1-a)≤f(x)≤1, ∴只要 a+ 2(1-a)≥-2, 解得 a≤4 +3 2, ∴1<a≤4+3 2,综合①,②知实数 a 的取值范围为[- 2,4+3 2]. 12.函数 f(x)=mx2+(m-3)x+1 的图象与 x 轴的交点至少有一个在原点的右侧,则实数 m 的取值范围是__________ 1 解析:①当 m=0 时,f(x)=1-3x,其图象与 x 轴的交点为( ,0),满足题意; 3

?m > 0, ? ≥ 0 ? ②当 m>0 时,由题意得 ? m ? 3 ,解得 0<m≤1; ?? 2m > 0 ? ?m < 0, ? ≥ 0 ? ,解得 m<0; ③当 m<0 时,由题意得 ? 1 ?m < 0 ?
所以 m 的取值范围是 m≤1 13.设 0<b<1+a,若关于 x 的不等式(x-b)2>(ax)2 的解集中的整数恰好有 3 个,则实数 a 的取值范围是________ 解析:原不等式化为[(1-a)x-b][(1+a)x-b]>0,①当 a≤1 时,易得不合题意; b b b ②当 a>1 时, - <x< , 由题意 0< <1, 要使不等式解集中恰好有 3 个整数, a-1 a+1 a+1 b 则-3≤- <-2,整理得 2a-2<b≤3a-3,结合题意 b<1+a,有 2a-2<1+a, a-1 ∴a<3,从而有 1<a<3. 14.数列 {an} 的通项 an = n 2 (cos 2

nπ nπ ? sin 2 ) ,其前 n 项和为 Sn,则 Sn=_________. 3 3 nπ nπ 2 nπ nπ nπ 解析:因为 cos 2 ? sin 2 = cos ,所以{ cos 2 ? sin 2 }是以 3 为周期的数列, 3 3 3 3 3 因此,在数列求和时应分三类进行讨论:
①当 n = 3k (k ∈ N*) ,时, S3k = (a1 + a2 + a3 ) + (a4 + a5 + a6 ) + L + ( a3k ? 2 + a3k ?1 + a3k )

12 + 22 4 2 + 52 (3k ? 2) 2 + (3k ? 1) 2 + 32 ) + (? + 62 ) + L + (? + (3k ) 2 ) 2 2 2 13 31 18k ? 5 k (9k + 4) = + +L+ = ; 2 2 2 2 k (4 ? 9k ) ②当 n = 3k ? 1(k ∈ N*) 时, S3k ?1 = S3k ? a3k = ; 2

= (?

③当 n = 3k ? 2(k ∈ N*) 时, 3k ? 2 = S3k ?1 ? a3k ?1 = S

k (4 ? 9k ) (3k ? 1) 2 1 3k ? 2 1 + = ?k =? ? 2 2 2 3 6

n 1 ? ? ?3?6 ? ? (n + 1)(1 ? 3n) 综上所述, Sn = ? 6 ? ? n(3n + 4) ? 6 ?

(n = 3k ? 2) (n = 3k ? 1) ( k ∈ N* ). (n = 3k )

解答题: 二、解答题: 15.设 A={x|-2≤x≤a},B={y|y=2x+3,且 x∈A},C={z|z=x2,且 x∈A},若 C?B, 求实数 a 的取值范围. 解 ∵y=2x+3 在[-2,a]上是增函数,∴-1≤y≤2a+3,即 B={y|-1≤y≤2a+3}.

作出 z=x2 的图象,该函数定义域右端点 x=a 有三种不同的位置情况如下: ①当-2≤a<0 时,a2≤z≤4,即 C={z|a2≤z≤4},要使 C?B,由图 1 可知,则必须 2a 1 +3≥4,得 a≥ ,这与-2≤a<0 矛盾. 2

②当 0≤a≤2 时,0≤z≤4,即 C={z|0≤z≤4},要使 C?B,由图 2 可知, ?2a+3≥4, ? 1 必须? 解得 ≤a≤2; 2 ? ?0≤a≤2, ③当 a>2 时,0≤z≤a2,即 C={z|0≤z≤a2},要使 C?B,由图 3 可知, ?a2≤2a+3, ? 必须且只需? 解得 2<a≤3; ? ?a>2, ④当 a<-2 时,A= ? ,此时 B=C= ? ,则 C?B 成立. 1 综上所述,a 的取值范围是(-∞,-2)∪[ ,3]. 2 2 16.已知函数 f ( x) = x | x - a | ,a∈R. (1)当 a≤0 时,求证函数 f ( x) 在(-∞,+∞)上是增函数; (2)当 a=3 时,求函数 f ( x) 在区间[0,b](b>0)上的最大值. 解: (1)∵a≤0,∴x2-a≥0,∴f(x)=x(x2-a)=x3-ax,f ′(x)=3x2-a,

∵f ′(x)≥0 对 x∈R 成立, ∴函数 f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.
?3x-x3,当- 3<x< 3, ? (2)解:当 a=3 时,f(x)=x|x2-3|=? 3 ?x -3x,当x≤- 3,或x≥ 3. ?

(i)当 x<- 3,或 x> 3时,f ′(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1)>0. (ii)当- 3<x< 3时,f ′(x)=3-3x2=-3(x-1)(x+1). 当-1<x<1 时,f′(x)>0; 当- 3<x<-1,或 1<x< 3时,f′(x)<0. 所以 f(x)的单调递增区间是(-∞,- 3],[-1,1],[ 3,+∞); f(x)的单调递减区间是[- 3,-1],[1, 3]. 由区间的定义可知,b>0. ①若 0<b≤1 时,则[0,b]?[-1,1],因此函数 f(x)在[0,b]上是增函数, ∴当 x=b 时,f(x)有最大值 f(b) =3b-b3. ②若 1<b≤ 3时,f(x)=3x-x3 在[0,1]上单调递增,在[1,b]上单调递减,因此,在 x=1 时取到极大值 f(1) =2,并且该极大值就是函数 f(x)在区间[0,b]上的最大值. ∴当 x=1 时,f(x)有最大值 2. ③若 b> 3时,当 x∈[0, 3]时,f(x)=3x-x3 在[0,1]上单调递增,在[1, 3]上单调递 减,因此,在 x=1 时取到极大值 f(1)=2,在 x∈[ 3,b]时,f(x)=x3-3x 在[ 3,b]上单 调递增,在 x=b 时,f(x)有最大值 f(b)=b3-3b. b b(b (b+1)2(b-2)≤0, (i) f(1)≥f(b), 2≥b3-3b, 3-b-2b-2≤0, 2-1)-2(b+1)≤0, 当 即 b≤2. ∴当 3<b≤2 时,在 x=1 时,f(x)取到最大值 f(1)=2. (ii)当 f(1)<f(b),解得 b>2, ∴当 b>2 时,f(x)在 x=b 时,取到最大值 f(b)=b3-3b.

?3b-b ,0<b≤1 ? 综上所述,函数 y=f(x)在区间[0,b]上的最大值为 ymax=?2,1<b≤2, ?b3-3b,b>2. ?
17.已知数列{an}满足 a1=5,a2=5, an +1 = an + 6an ?1 (n ∈ N* , n ≥ 2) ,若数列{an+1+λan} 是等比数列.

3

(1)求数列{an}的通项公式; 1 1 4 (2)求证:当 k 为奇数时, + < k +1 ; ak ak +1 3 (3)求证:

1 1 1 1 + + L + < ( n ∈ N* ) . a1 a2 an 2 an +1 + λ an an + 6an ?1 + λ an (1 + λ ) an + 6an ?1 = = an + λ an ?1 an + λ an ?1 an + λ an ?1

解: (1)∵数列{an+1+λan}是等比数列,∴

6 an ?1 6 1+ λ = (1 + λ ) ? 为常数,∴ λ = ,解得 λ = 2 或 λ = ?3 . an + λ an ?1 1+ λ an +
当 λ = 2 时, 数列{an+1+2an}是首项为 15, 公比为 3 的等比数列, an +1 + 2an = 15 × 3n ?1 ①, 则 当 λ = ?3 时 , 数 列 {an+1 - 3an} 是 首 项 为 - 10 , 公 比 为 - 2 的 等 比 数 列 , 则

an +1 ? 3an = (?10) × (?2) n ?1 ②,∴①-②得: an = 3n ? (?2) n ;

3 4k [8 ? 7 ? ( )k ] 1 1 4 1 1 4 2 (2)当 k 为奇数时, + ? = + ? = < 0, ak ak +1 3k +1 3k + 2k 3k +1 ? 2k +1 3k +1 3k +1 ? (3k + 2k )(3k +1 ? 2k +1 ) 1 1 4 ∴ + < k +1 ; ak ak +1 3 1 1 4 1 1 (3)由(2)知 k 为奇数时, + < k +1 = k + k +1 , ak ak +1 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ①当 n 为偶数时, + + L + < + 2 + L + n = (1 ? n ) < ; a1 a2 an 3 3 3 2 3 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 < + 2 + L+ n+1 = (1 ? n+1 ) < ; ②当 n 为奇数时, + + L+ < + +L+ + a1 a2 an a1 a2 an an+1 3 3 3 2 3 2 1 1 1 1 ∴ + + L + < ( n ∈ N* ) . a1 a2 an 2
18.已知 f1 ( x) = | 3x - 1|, f 2 ( x) = | a ?3x

? f ( x), f1 ( x) ≤ f 2 ( x) 9 | (a > 0), x  R ,且 f ( x) = ? 1 . ? f 2 ( x), f1 ( x) > f 2 ( x)

(1)当 a = 1 时,求 f ( x) 在 x = 1 处的切线方程; (2)当 2 ≤ a < 9 时,设 f ( x) = f 2 ( x) 所对应的自变量取值区间的长度为 l (闭区间 [ m, n] 的 长度定义为 n - m ),试求 l 的最大值; (3)是否存在这样的 a ,使得当 x ∈ [2, +∞) 时, f ( x) = f 2 ( x) ?若存在,求出 a 的取值范围; 若不存在,请说明理由.

解:(1)当 a = 1 时, f 2 ( x) =| 3x ? 9 | . 因为当 x ∈ (0,log 3 5) 时, f1 ( x) = 3x ? 1 , f 2 ( x) = 9 ? 3x , 且 f1 ( x) ? f 2 ( x) = 2 ? 3x ? 10 < 2 ? 3log3 5 ? 10 = 2 ? 5 ? 10 = 0 , 所以当 x ∈ (0,log 3 5) 时, f ( x) = 3x ? 1 ,且 1∈ (0, log 3 5) 由于 f ′( x) = 3x ln 3 ,所以 k = f ′(1) = 3ln 3 ,又 f (1) = 2 , 故所求切线方程为 y ? 2 = (3ln 3)( x ? 1) , 即 (3ln 3) x ? y + 2 ? 3ln 3 = 0 (2)因为 2 ≤ a < 9 ,所以 0 < log 3 ① 当 x ≥ log 3

9 9 ≤ log 3 ,则 a 2

9 时,因为 a ? 3x ? 9 ≥ 0 , 3x ? 1 > 0 , a 8 , a ?1

所以由 f 2 ( x) ? f1 ( x) = (a ? 3x ? 9) ? (3x ? 1) = (a ? 1)3x ? 8 ≤ 0 ,解得 x ≤ log 3 从而当 log 3

9 8 ≤ x ≤ log 3 时, f ( x) = f 2 ( x) . a a ?1 9 ② 当 0 ≤ x < log 3 时,因为 a ? 3x ? 9 < 0 , 3x ? 1≥ 0 , a 10 , a +1

所以由 f 2 ( x) ? f1 ( x) = (9 ? a ? 3x ) ? (3x ? 1) = 10 ? (a + 1)3x ≤ 0 ,解得 x ≥ log 3 从而当 log 3

即“ | a ? 3x ? 9 |≤| 3x ? 1|= 3x ? 1 (*)对 x ∈ [ 2, +∞ ) 恒成立” , ① 当 a ≥ 1 时, log 3

10 9 ≤ x < log 3 时, f ( x) = f 2 ( x) , a +1 a ③当 x < 0 时,因为 f 2 ( x) ? f1 ( x) = (9 ? a ? 3x ) ? (1 ? 3x ) = 8 ? (a ? 1)3x > 0 , 从而 f ( x) = f 2 ( x) 一定不成立, 10 8 综上得,当且仅当 x ∈ [log 3 ,log 3 ] 时, f ( x) = f 2 ( x) , a +1 a ?1 8 10 4 2 故 l = log 3 ? log 3 = log 3 [ (1 + )] , a ?1 a +1 5 a ?1 12 从而当 a = 2 时, l 取得最大值为 log 3 . 5 (3)“当 x ∈ [ 2, +∞ ) 时, f ( x) = f 2 ( x) ”等价于“ f 2 ( x) ≤ f1 ( x) 对 x ∈ [ 2, +∞ ) 恒成立”,
log 3 9 ≤ 2 ,则当 x ≥ 2 时, a ? 3x ? 9 ≥ a ? 3 a ? 9 = 0 ,则(*)可化为 a 8 8 a ? 3x ? 9 ≤ 3x ? 1 ,即 a ≤ 1 + x ,而当 x ≥ 2 时, 1 + x > 1 , 3 3 9

所以 a ≤ 1 ,从而 a = 1 适合题意. 9 ② 当 0 < a < 1 时, log 3 > 2 . a 9 8 8 ⑴当 x > log 3 时,(*)可化为 a ? 3x ? 9 ≤ 3x ? 1 ,即 a ≤ 1 + x ,而 1 + x > 1 , a 3 3 所以 a ≤ 1 ,此时要求 0 < a < 1 ; 9 9 ⑵当 x = log 3 时,(*)可化为 0 ≤ 3x ? 1 = ? 1 , a a 所以 a ∈ R ,此时只要求 0 < a < 1 ; 9 10 10 1 ⑶当 2 ≤ x < log 3 时,(*)可化为 9 ? a ? 3x ≤ 3x ? 1 ,即 a ≥ x ? 1 ,而 x ? 1 ≤ , a 3 3 9 1 1 所以 a ≥ ,此时要求 ≤ a < 1 ; 9 9 1 由⑴⑵⑶,得 ≤ a < 1 符合题意要求. 9 1 综合①②知,满足题意的 a 存在,且 a 的取值范围是 ≤ a ≤ 1 . 9


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