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广东省江门市普通高中2015届高三上学期调考数学试卷(文科)


广东省江门市普通高中 2015 届高三上学期调考数学试卷 (文科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1. (5 分)设 A={x|x ﹣4x﹣5=0},B={1,2,3,4,5},则 A∩B=() A.{1} B.{5} C.{1,5} D.? 2. (5 分)sin A. =() B. C. D.
2

3. (5 分)已知 i 是虚数单位,若复数 Z=a+bi(a,b∈R)在复平面内对应的点位于第四象限, 则复数 Z?i 在复平面内对应的点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4. (5 分)双曲线 16x ﹣9y =144 的离心率 e=() A. B. C. D.
2 2

5. (5 分)将正弦曲线 y=sinx 上所有的点横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,所得曲线 对应的函数的最小正周期 T=() A.π B . 2π C.4π D.

6. (5 分)已知{an}是等比数列,a1=1,a3=2,则 a2=() A. B. C. 或 D.以上都不对

7. (5 分)函数 f(x)=1﹣

在其定义域上是() B. 单调递增的减函数 D.偶函数且在(0,+∞)上单调递减
2 2

A.单调递增的奇函数 C. 偶函数且在(0,+∞)上单调递增

8. (5 分)直线 l 经过点 P(﹣3,4)且与圆 x +y =25 相切,则直线 l 的方程是() A.y﹣4=﹣ (x+3) B.y﹣4= (x+3) C.y+4=﹣ (x﹣3) D.y+4= (x﹣3)

9. (5 分)某三棱锥的三视图如图所示,这个三棱锥最长棱的棱长是()

A.1

B.

C.

D.2

10. (5 分)已知函数 f(x)=

,其中 e 是自然对数的底数,若直线 y=2 与函

数 y=f(x)的图象有三个交点,则常数 a 的取值范围是() A. (﹣∞,2) B. (﹣∞,2] C. (2e ,+∞) 若存在,求常数 a 的值或取值范围;若不存在,请说明理由.
﹣2

D. ,f(x)≤3 恒成立?

广东省江门市普通高中 2015 届高三上学期调考数学试卷 (文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 2 1. (5 分)设 A={x|x ﹣4x﹣5=0},B={1,2,3,4,5},则 A∩B=() A.{1} B.{5} C.{1,5} D.? 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 根据集合的基本运算即可得到结论. 解答: 解:A={x|x ﹣4x﹣5=0}={﹣1,5}, 则 A∩B={5}, 故选:B 点评: 本题主要考查集合的基本运算,求出集合 A 是解决本题的关键. 2. (5 分)sin A. =() B. C. D.
2

考点: 运用诱导公式化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: 直接利用诱导公式化简求值即可. 解答: 解:sin =sin(4π﹣ )═sin = .

故选:B. 点评: 本题考查三角函数的化简求值 ,着重考查诱导公式的应用,基本知识的考查. 3. (5 分)已知 i 是虚数单位,若复数 Z=a+bi(a,b∈R)在复平面内对应的点位于第四象限, 则复数 Z?i 在复平面内对应的点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 由复数代数形式的乘法运算化简 Z?i,然后根据实部和虚部的符号得答案. 解答: 解:∵复数 Z=a+bi(a,b∈R)在复平面内对应的点位于第四象限, ∴a>0,b<0, 则 Z?i=(a+bi)i=﹣b+ai, ∴﹣b>0,a>0, ∴复数 Z?i 在复平面内对应的点位于第一象限. 故选:A. 点评: 本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题. 4. (5 分)双曲线 16x ﹣9y =144 的离心率 e=() A. B. C. D.
2 2

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由双曲线 16x ﹣9y =144 化为 即可得出. 解答: 解:双曲线 16x ﹣9y =144 化为 ∴a =9,b =16,∴a=3, 离心率 e= = . 故选:D. 点评: 本题考查了双曲线的标准方程及其性质,属于基础题.
2 2 2 2 2 2

, 可得 a =9, b =16, a=3,

2

2

=5,



=5,

5. (5 分)将正弦曲线 y=sinx 上所有的点横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,所得曲线 对应的函数的最小正周期 T=() A.π B . 2π C.4π D.

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 直接利用函数图象中变换的伸缩变换求出函数的解析式, 进一步利用函数的周期公 式求出结果. 解答: 解:正弦曲线 y=sinx 上所有的点横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变, 得到:f(x)=sin x 则:

故选:C 点评 : 函数图象变换中的伸缩变换,正弦函数的周期公式的应用.属于基础题型. 6. (5 分)已知{an}是等比数列,a1=1,a3=2,则 a2=() A. B. C. 或 D.以上都不对

考点: 等比数列. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 利用等比数列的性质求解. 解答: 解:∵{an}是等比数列,a1=1,a3=2, ∴a2= = . 故选:C. 点评: 本题考查数列的第 2 项的求法,虽基础题,解题时要认真审题,注意等比数列的性 质的合理运用. 7. (5 分)函数 f(x)=1﹣ 在其定义域上是() B. 单调递增的减函数 D.偶函数且在(0,+∞)上单调递减

A.单调递增的奇函数 C. 偶函数且在(0,+∞)上单调递增

考点: 函数单调性的判断与证明. 专题: 函数的性质及应用;导数的综合应用. 分析: 求 f′(x) ,并容易判断 f′(x)>0,所以 f(x)在定义域 R 上为增函数,B 为减函 数,C,D 是说在(0,+∞)上单调递增,应该在 R 上单调递增,所以只能选 A. 解答: 解:函数 f(x)的定义域为 R,f′(x)= ∴f(x)在 R 上为增函数; ;

∴只有 A 正确. 故选 A. 点评: 考查通过判断导数符号判断函数单调性的方法,以及函数定义域的概念及求法. 8. (5 分)直线 l 经过点 P (﹣3,4)且与圆 x +y =25 相切,则直线 l 的方程是() A.y﹣4=﹣ (x+3) B.y﹣4= (x+3) C.y+4=﹣ (x﹣3) D.y+4= (x﹣3)
2 2

考点: 圆的切线方程. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 显然已知点在圆上,设过已知点与圆相切的直线方程的斜率为 k,利用点到直线的 距离公式,由直线与圆相切时,圆心到直线的距离等于圆的半径列出关于 k 的方程,求出方 程的解得到 k 的值,由 k 的值及已知点的坐标写出切线方程即可. 2 2 解答: 解:显然点(﹣3,4)在圆 x +y =25 上, 设切线方程的斜率为 k,则切线方程为 y﹣4=k(x+3) ,即 kx﹣y+3k﹣4=0, ∴圆心(0,0)到直线的距离 d= =5,解得 k= ,

则切线方程为 y﹣4= (x+3) . 故选:B. 点评: 此题考查了直线与圆的位置关系, 涉及的知识有直线的点斜式方程, 点到直线的距 离公式以及直线的一般式方程,若直线与圆相切,圆心到直线的距离等于圆的半径,熟练掌 握此性质是解本题的关键. 9. (5 分)某三棱锥的三视图如图所示,这个三棱锥最长棱的棱长是()

A.1

B.

C.

D.2

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由三视图可知:原三棱锥为 P﹣ABC.其中 PA⊥底面 ABC,AC⊥CB, PA=AC=BC=1.可得这个三棱锥最长棱的棱长是 PB. 解答: 解:由三视图可知:原三棱锥为 P﹣ABC. 其中 PA⊥底面 ABC,AC⊥CB,PA=AC=BC=1.

∴这个三棱锥最长棱的棱长是 PB= 故选:C.

=



点评: 本题考查了三视图的有关知识、三棱锥的有关计算,属于基础题.

10. (5 分)已知函数 f(x)=

,其中 e 是自然对数的底数,若直线 y=2 与函

数 y=f(x)的图象有三个交点,则常数 a 的取值范围是() A. (﹣∞,2) B. ( ﹣∞,2] C. (2e ,+∞)
﹣2

D.

解答: 解:由约束条件

作出可行域如图,

联立

,得 C(2,2) , ,由图可知, 过 C(2,2)时 z 有最小值,为 z=2﹣2×2=﹣2.

化 z=x﹣2y 为 当直线

故答案为:﹣2. 点评: 本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题. 13. (5 分)已知定义在区间(﹣π,0)上的函数 f(x)=xsinx+cosx,则 f(x)的单调递减 区间是(﹣ .

考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 先对原函数求导数,然后令导数小于 0,即可得到减区间,注意和(﹣π,0)取交 集. 解答: 解:由题意 f′(x)=xcosx. 要求原函数的减区间,只需 f′(x)<0, 而 x∈(﹣π,0) ,所以只需 cosx>0, 结合 y=cosx 的图象可知,区间(﹣ 故答案为 . )即为所求.

点评: 本题考查了利用导数研究函数的单调性, 此题在解不等式时, 充分利用了余弦函数 的图象.体现了数形结合的思想. (二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 14. (5 分)如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 α 上,且棱 AB 所在的直线 与棱 CD 所在的直线互相平行,正方体的六个面所在的平面与直线 CE、EF 相交的平面个数 分别记为 m,n,那么 m=4;n=4.

考点: 平面 的基本性质及推论. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 判断 CE 与 EF 与正方体表面的关系,即可推出正方体的六个面所在的平面与直线 CE,EF 相交的平面个数分别记为 m,n. 解答: 解:由题意可知直线 CE 与正方体的上底面平行在正方体的下底面上,与正方体的 四个侧面不平行,所以 m=4, 直线 EF 与正方体的左右两个侧面平行, 与正方体的上下底面相交, 前后侧面相交, 所以 n=4. 故答案为:4,4. 点评: 本题考查直线与平面的位置关系,基本知识的应用,考查空间想象能力.

15.若函数 f(x)满足条件:①?x∈R,f(x)>0;②?x1,x2∈R,f(x1+x2)=f(x1)f (x2) ;③f(2)<1.则: (1)f(x)= ; (写出一个满足条件的函数即可)

(2)根据(1)所填函数 f(x) ,f(﹣1)=2. 考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据题意,得出 f(x)是指数函数,且底数 a 满足 0<a<1;写出 f(x)的一个解 析式即可. 解答: 解: (1)根据题意,f(x)应为指数函数,且底数 a 满足 0<a<1; 不妨令 f(x)= ;

(2)当 f(x)=

时,f(﹣1)=

=2.

故答案为:

、2.

点 评: 本题考查了指数函数的性质的应用问题,答题的灵活性很大,是较好的题目,给的 参考答案是 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (12 分)已知函数 f(x)=Asin(x+ (1)求 A 的值; (2)若 f(α)=﹣ ,α 是第二象限角,求 cosα. ) ,x∈R,且 f(0)=1.

考点: y=Asin(ωx+φ)中参数的物理意义;同角三角函数间的基本关系. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)由函数 f(x)的解析式以及 f(0)=1,求得 A 的值. (2)由(1)得 表示,利用两角差的余弦展开求出值; 解答: 解: (1)依题意, …(3 分) , (2)由(1)得, 由 得, …(4 分) …(5 分) …(6 分) …(2 分) , ,求出 ,将 α 用

∵α 是第二象限角,

∴ ∴ ∴ ∵由 ∴ ∴ ∴ 是第三象限角,

, …(7 分) , 是第二或第三象限角 ,

…(9 分) = …(12 分)

点评: 本题考查三角函数的恒等变换,同角三角函数的关系式,两角差的余弦公式,属于 中档题. 17. (14 分)如图,AB 是⊙O 的直径,PA 垂直于⊙O 所在的平面,C 是圆周上不同于 A、 B 的一点. (1)求证:平面 PAC⊥平面 PBC; (2)若 PA=AB=2,∠ABC=30°,求三棱锥 P﹣ABC 的体积.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;平面与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)设⊙O 所在的平面为 α,证明 PA⊥BC,AC⊥BC,然后证明 BC⊥平面 PAC, 利用直线与平面垂直的判定定理证明平面 PAC⊥平面 PBC. (2 列出三棱锥 P﹣ABC 的体积 求出底面面积,棱锥的高,即可得到结果.

解答: 解: (1)证明:设⊙O 所在的平面为 α, 依题意,PA⊥α,BC?α,∴PA⊥BC…(2 分) ∵AB 是⊙O 的直径,C 是圆周上不同于 A、B 的一点,∴AC⊥BC…(3 分) ∵PA∩AC=A,∴BC⊥平面 PAC…(5 分) ∵BC?平面 PBC,∴平面 PAC⊥平面 PBC…(7 分)

(2)∵PA⊥α,∴三棱锥 P﹣ABC 的体积 ∵AB=2,∠ABC=30°,AC⊥BC,∴AC=1,BC= …(13 分) …(14 分)

…(9 分) …(11 分)

点评: 本题考查直线与平面垂直的判定定理, 平面与平面垂直的判定定理的应用, 几何体 的体积的求法,考查空间想象能力以及计算能力. 18. (14 分)设数列{an}、{bn}满足:an=(﹣1) (n +1) ,bn=an+an+1,n∈N . (1)求 a1 的值; (2)求数列{bn}的通项公式; (3)求数列{an}的前 100 项和 S100 的值. 考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)直接利用条件求出 a1 的值; (2)利用条件直接求解数列{bn}的通项公式; n 2 * (3)利用 an=(﹣1) (n +1) ,bn=an+an+1,n∈N .推出数列{an}的前 100 项和 S100 的表 达式,利用等差数列求和即可. n 2 解答: 解: (1)∵an=(﹣1) (n +1) , ∴
n 2 n 2 *

…(2 分)
*

(2)∵an=(﹣1) (n +1) ,bn=an+an+1,n∈N . ∴ =(﹣1) …(5 分) , n+1 =(﹣1) (2n+1)…(6 分) (3)由已知,S100=b1+b3+b5+…b99…(8 分) =3+7+11+…+199…(10 分) = …(13 分) ,
n+1

…(3 分)

=5050…(14 分) 点评: 本 题考查数列的递推关系式的应用,数列的通项公式以及数列求和,考查计算能 力. 19. (12 分)某单位建造一间背面靠墙的房子,俯视图如图.地面面积为 12m ,房屋正面 每平方米的造价为 1200 元,房屋侧面每平方米的造价为 800 元,屋顶的造价共 5200 元.如 果墙高为 3m,且不计房屋背面和地面的造价.问怎样设计房屋能使总造价最低?最低总造 价是多少?
2

考点: 函数模型的选择与应用;函数的值域. 专题: 计算题;应用题. 分析: 由已知中地面面积为 12m , ,我们可得
2

,根据房屋正面每平方米的

造价为 1200 元,房屋侧面每平方米的造价为 800 元,屋顶的造价共 5200 元.根据墙高为 3m,我们可以构造房屋总造价的函数解析式,利用基本不等式即可求出函数的最小值,进 而得到答案. 解答: 解:设总造价为 Z 元,则 ∴Z=3y×1200+6x×800+5200 = …(3 分)

=34000 …(6 分) 当 时,即 x=3 时,Z 有最小值 34000,此时 y=4

答:长 4m,宽 3m.最低总造价为 34000 元…(8 分) 点评: 本题考查的知识点是函数模型的选择与应用, 函数的值域, 其中根据已知条件构造 房屋总造价的函数解析式,将实际问题转化为函数的最值问题是解答本题的关键. 20. (14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的焦点为 F1(﹣4,0) 、F2(4,0) ,且 经 过点 P(3,1) . (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若点 M 在椭圆 C 上,且 ,求 λ 的值.

考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1) (方法一)设椭圆 C 的标准方程为 通过 c,求出 b,即可求出椭圆 C 的标准方程. (方法二)设椭圆 C 的标准方程为 (a>b>0) ,利用 c=4 得到 a =b +16,化简椭
2 2

(a>b>0) ,利用定义求出 a,

圆方程,利用点 P(3,1)在椭圆 C 上,即可求解 b,然后求出椭圆 C 的标准方程.

(2)利用向量关系求出点 M 的坐标,通过点 M 在椭圆 C 上,列出 20λ +4λ﹣7=0,求解即 可. 解答: 解: (1) (方法一)依题意,设椭圆 C 的标准方程为 分) 2a=|PF1|+|PF2|…(2 分) , = ∴ …(4 分) c=4…(5 分) , ∴b =a ﹣c =2…(6 分) 椭圆 C 的标准方程为 …(7 分)
2 2 2

2

(a>b>0)…(1



(方法二)依题意,设椭圆 C 的标准方程为 ∵c=4…(2 分) , ∴a =b +c =b +16, ∵点 P(3,1)在椭圆 C 上,∴
4 2 2 2 2 2 2 2

(a>b>0)…(1 分)

…(3 分) …(4 分

)b +6b ﹣16=0…(5 分) ,解得 b =2 或 b =﹣8(负值舍去)…(6 分) a =b +16=18,椭圆 C 的标准方程为 (2) (9 分) 点 M 的坐标为 ∵点 M 在椭圆 C 上,∴ 即 20λ +4λ﹣7=0…(12 分) ,解得
2 2 2

…(7 分)



…(10 分) …(11 分) 或 …(14 分)

点评: 本题考查椭圆方程的求法, 直线与椭圆的位置关系的应用, 考查转化思想以及计算 能力. 21. (14 分)已知函数 f(x)=ax +x +2x﹣1(a∈R) . (1)求曲线 y=f(x)在点(0,f(0) )处的切线方程; (2)是否存在常数 a,使得?x∈,f(x)≤3 恒成立?若存在,求常数 a 的值或取值范围;若 不存在,请说明理由.
3 2

考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)求出函数的导数,求出切线的斜率,切点坐标,即可求曲线 y=f(x)在点(0, f(0) )处的切线方程; (2)方法一:由 f(x)=ax +x +2x﹣1≤3,构造函数
3 2 3 2

,其中 x∈

求出新函数的导数,判断函数的单调性,转化 f(x)=ax +x +2x﹣1≤3,当 x∈(0,4]时, ,a 的取值范围为 ,当 x∈…(5 分) …(6 分) x g′(x) ﹣ g(x) ↘ …(9 分) (每行 1 分) 由上表可知,?x∈, …(11 分) 由 f(x)=ax +x +2x﹣1≤3,当 x∈(0,4]时, ,当 x∈[﹣2,0)时, (13 分) ∵ ,f(0)=﹣1≤3 恒成立,∴ …(14 分)
3 2

﹣ ↘

0 极小值

+ ↗

,a 的取值范围为 ,a 的取值范围为 …

(方法二)a≥0 时,f(4)=64a+23≥23 不符合题意…(5 分) a<0 时,解 f′(x)=3ax +2x+2=0 得
2



x (﹣∞,x1)x1 (x1,x2)x2 (x2,+∞) g′(x)﹣ 0 + 0 ﹣ g(x) ↘ 极小值↗ 极大值↘ …(8 分) , 由 …(10 分) ,

解得

…(11 分)

此时



…(12 分) ,即 ,﹣6≤x2≤2…(13 分)







,综上所述

…(14 分)

点评: 本题考查函数的导数的综合应用,切线方程的求法,构造法的应用,考查分析问题 解决问题的能力.


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