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浙江省绍兴市第一中学2015届高三模拟考试数学(理)试题


绍兴一中 2015 年高三数学理科模拟卷
本卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。考试时间为 120 分钟,试卷总分为 150 分。请考生将所有试 题的答案涂、写在答题纸上。 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每个小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1. 已知全集为 U ? R ,集合 M ? {x x2 ? 2 x ? 3 ?

0} , N ? {y y ? x2 ?1} ,则 M ? (CU N ) 为 ( B ) B. {x ?1 ? x ? 1} C. {x 1 ? x ? 3} D. {x 1 ? x ? 3}

A. {x ?1 ? x ? 1}

解析: M ? {x ?1 ? x ? 3} , N ? {y y ? 1} ,则 M ? (CU N ) ? {x ?1 ? x ? 1} 2. 已知 p : x ? 1 , q : A.充分不必要条件

1 ? 1 ,则 ? p 是 q 成立的 x
B.必要不充分条件

( A

)

C.充要条件 D.既非充分也非必要条件

?x ? y ? 2 ? 0 ? 3.实数 x , y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 2 ? 0 ,若 z ? y ? ax 取得最大值的最优解不唯一,则实 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 数 a 的值为 ( D ) 1 1 A. 或 ?1 B. 2 或 C. 2 或 1 D. 2 或 ?1 2 2 x2 y 2 ? P, 4.过双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 左焦点 F 1 ,倾斜角为 30 的直线交双曲线右支于点 a b 若线段 PF1 的中点在 y 轴上,则此双曲线的离心率为( D )
A.

3 3

B.

5

C.3

D.

3
)

2 5. 若 函 数 f ( x) ? ax ? b | x | ?c(a ? 0) 有 四 个 单 调 区 间 , 则 实 数 a, b, c 满 足 ( C

(A) b 2 ? 4ac ? 0, a ? 0

(B) b ? 4ac ? 0
2

(C) ?

b ?0 2a

(D) ?

b ?0 2a

p p 1 6.已知函数 y ? 2sin( x ? )cos( x ? ) 与直线 y ? 相交,若在 y 轴右侧的交点自左向右依次记 2 2 2 ??????? ? 为 M 1 , M 2 , M 3 , ? ,则 M 1 M 13 等于(A )
A. 6? B. 7? C. 12? A P B l D. 13?

7. 如图,已知直线 l ? 平面 ? ,垂足为 O ,在 △ ABC 中, BC ? 2, AC ? 2, AB ? 2 2 ,点 P 是边 AC 上的动点.

?
N

O C

该三角形在空间按以下条件作自由移动:(1) A ? l , (2) C ? ? .则 OP ? PB 的最大值为 (A) 2 . (B) 2 2 .

??? ? ??? ?

( C (C) 1 ? 5 .

) (D)

10 .

8. 已知数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 25?n ,数列 ?bn ? 的通项公式为 bn ? n ? k , 设 cn ? ? ( C

?bn , an ? bn , * 若在数列 ?cn ? 中, c5 ? cn 对任意 n ? N 恒成立,则实数 k 的取值范围是 ?an , an ? bn ,
) B. ? 4 ? k ? ? 3 C. ? 5 ? k ? ?3 D. k ? ? 4

A. ? 5 ? k ? ?4

第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共 7 小题,前 4 小题每题 6 分,后 3 小题每题 4 分,共 36 分。 ? ?? 9. 已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? cos 2 x ,则 f ? x ? 在 x ? ? 0, ? 时的值域是 .; [?1, 2] 又若将函 ? 2? 数 y ? f ? x ? 的图象向左平移 a ? a ? 0? 个单位长度得到的图象恰好关于直线 x ? ? 对称,则 4 实数 a 的最小值为 . ? 8 , 100 cm3

10.已知某几何体的三视图 (单位: cm) 如图所示, 则该几何体的体积是 表面积是 。 124? 2 34

【解析】 解析:如图所示,原几何体为:一个长宽高分别为 6,3,6 的长方体砍去一个三 棱锥,底面为直角边分别为 3,4 直角三角形,高为 4.因此该几何体的体积=3×6×6﹣ =108﹣8=100.表面积为. 124? 2 34 11. 已知双曲线与椭圆 曲线方程为

x2 y2 ? ? 1 有相同的焦点,且以 x ? 2 y ? 0 为其一条渐近线,则双 9 3 x2 y2 ? 1 ,过其中一个焦点且长为 4 的弦有 3 条 4 2
2 ? ?? x , x ? 0 ,则 f ? f ?? 2?? = 2 ? x ? 2 x , x ? 0 ?

12.已知函数 f ( x) ? ?

0 ;不等式 f ( f ( x)) ? 3 的解

集为______. (??, 3] _

13. △ABC 外接圆的半径为 1, 圆心为 O, 且A B A ? C 值是 。1

?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?

?? ?? ? ? ? ? ? A O2 A B |, | ? O A 3 | C ,| AC B

则?



解:因为 AB ? AC ? 2 AO ,所以 O 为 BC 的中点,又 O 为外心,所以三角形为直角三角 形,所以 OA=1,AB= 3 ,可得 CA=1,所以 CA ? CB =1 14. 已 知 数 列 ?a n ?, ?bn ? 都 是 公 差 为 1 的 等 差 数 列 , 其 首项 分 别 为 a1 , b1 , 且 a1 ? b1 ? 5,

a1 , b1 ? N , 设 cn ? abn (n ? N ), 则数列 ?cn ? 的前 10 项和等于______.

15.



f 为 R? ? R? 的 函 数 , 对 任 意 x ? R ? , f (3x) ? 3 f ( x) , 且 ? 1 x |? 2 ? | x ,, 1 A ?? {a | f3(a) ? f (2015), a ? R} , 则 集 合 A 中 的 最 小 元 素 是

f ( x? )

______.415 三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16(15 分).在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 (1)求 cos C 的值; (2)若 b ? 3 3 ,求△ABC 的面积. 解: (1)因为 A ? B ? C ? p , A ? 3C ? p , 所以 B ? 2C .
b 2 3 ? , A ? 3C ? p . c 3

2 3 2sin C cos C b c b sin B ? , ? , , ? 3 sin C sin B sin C c sin C 3 化简得, cos C ? . . . . . . . . . . . . . . .6分 3

又由正弦定理,得

(2)因为 C ? ? 0, p ? ,所以 sin C ? 1 ? cos 2 C ? 1 ? 所以 sin B ? sin 2C ? 2sin C cos C ? 2 ? 因为 B ? 2C ,

1 6 ? . 3 3

6 3 2 2 ? ? . 3 3 3

1 1 所以 cos B ? cos 2C ? 2cos2 C ? 1 ? 2 ? ? 1 ? ? . 3 3

sin A ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C ?

因为 A ? B ? C ? p , 以

2 2 3 1 6 6 ? ? (? ) ? ? . . . . . . . . . . .6分 3 3 3 3 9

因为

b 2 3 9 ? , b ? 3 3 ,所以 c ? . c 3 2

1 1 9 6 9 2 ? 所以△ABC 的面积 S ? bc sin A ? ? 3 3 ? ? . . . . . . . . . . . . . . .3分 2 2 2 9 4

17(15 分)如图,长方体 ABCD-A1B1C1D1 的 AA1=1,底面 ABCD 的周长为 4。 ⑴ 当长方体 ABCD-A1B1C1D1 的体积最大时,求二面角 B-A1C-D 的值; ⑵ 线段 A1C 上是否存在一点 P,使得 A1C ? 平面 BPD,若有,求出 P 点 的位置,没有请说明理由. .解:法一: ⑴根据题意,长方体体积为

? t ? 2?t ? V ? t ? 2 ? t ? ?1 ? t ? 2 ? t ? ? ? ? ? 1 ……2 分 ? 2 ? 当且仅当 t ? 2 ? t ,即 t ? 1 时体积 V 有最大值为 1
所以当长方体 ABCD-A1B1C1D1 的体积最大时,底面四边 形 ABCD 为正方形 ……4 分

2

A1 B1 M A C1

D

D

C B 作 BM ? A1C 于 M,连接 DM,BD ……………5 分 因为四边形 ABCD 为正方形,所以 ?A1 BC 与 ?A1DC 全等,故 DM ? A1C,所以 ?BMD 即为所求二面角的平面角 ……6 分 因为 BC ? 平面 AA1B1B,所以 ?A1 BC 为直角三角形

6 A1B ? BC 2 6 ,同理可得, DM ? ? ? 3 AC 3 3 1 6 6 ? ?2 1 在 ? BMD 中,根据余弦定理有: cos ?BMD ? 9 9 ………………8 分 ?? 2 6 6 2? ? 3 3
又A ? 3 ,所以 BM ? 1B ? 2, AC 1

因为 ?BMD ? ? 0?,180?? ,所以 ?BMD ? 120? 即此时二面角 B-A1C-D 的值是 120? . ……………………………………………………9 分 ⑵ 若线段 A1C 上存在一点 P,使得 A1C ? 平面 BPD,则 A1C ? BD ………………10 分 又 A1A ? 平面 ABCD,所以 A1A ? BD,所以 BD ? 平面 A1AC 所以 BD ? AC 否则不存在 由⑴知,所求点 P 即为 BM ? A1C 的垂足 M ……………………………………………………………………12 分 底面四边形 ABCD 为正方形, 即只有 ABCD 为正方形时, 线段 A1C 上存在点 P 满足要求,

A1B 2 2 2 3 此时, A1P ? ? ? AC 3 3 1
法二:

……………………………………………………15 分

根据题意可知,AA1, AB,AD 两两垂直,以 AB 为 x 轴,AD 为 y 轴,AA1 为 z 轴建立如 图所示的空间直角坐标系: ⑴长方体体积为 V ? t ? 2 ? t ? ?1 ? t ? 2 ? t ? ? ?

? t ? 2?t ? ? ? 1 ………………………2 分 ? 2 ?
…………………………………3 分 ……4 分

2

当且仅当 t ? 2 ? t ,即 t ? 1 时体积 V 有最大值为 1

所以当长方体 ABCD-A1B1C1D1 的体积最大时,底面四边形 ABCD 为正方形

???? ??? ? 则 A1 ? 0,0,1? , B ?1,0,0 ? , C ?1,1,0 ? , A1B ? ?1,0, ?1? , BC ? ? 0,1,0 ? , ?? ?x ? z ? 0 z 设平面 A1BC 的法向量 m ? ? x, y, z ? ,则 ? y ? 0 A ? 1 ?? B 1 取 x ? z ? 1 ,得: m ? ?1,0,1? ………………6 分 ? 同理可得平面 A1CD 的法向量 n ? ? 0,1,1? ……7 分 ?? ? ?? ? m?n 1 所以, cos m, n ? ?? ? ? ………………8 分 O(A) m?n 2
又二面角 B-A1C-D 为钝角,故值是 120? .…………9 分 B

D1 C1

D y C

x

(也可以通过证明 B1A ? 平面 A1BC 写出平面 A1BC 的法向量) 求,不妨 A ,可得 P 1P ? ? AC 1

⑵ 根据题意有 B ?t,0,0? , C ?t,2 ? t,0? , D ? 0,2 ? t,0? ,若线段 A1C 上存在一点 P 满足要

? ? 2 ? t ? ,1 ? ? ? ??t,??? ??? ? ? BP ? ? ?t ? t , ? ? 2 ? t ? ,1 ? ? ? , BD ? ? ?t , 2 ? t ,0 ? ??? ? ???? 2 ? ? BP ? ? A1C ? 0 ?t ? ?t ? t ? ? ? ? 2 ? t ? ? ?1 ? ? ? ? 0 即: ? …………………………12 分 ? ???? ? ??? 2 2 BD ? A C ? 0 ? ? t ? 2 ? t ? 0 ? ? ? ? 1 ?
2 3

????

????

解得: t ? 1, ? ?

…………………………………………………………14 分

即只有当底面四边形是正方形时才有符合要求的点 P, 位置是线段 A1C 上 A 1P : PC ? 2 :1 处. ………………………………………………………15 分

18(15 分) 设数列 {an } ,{bn } ,已知 a1 ? 3, b1 ? 5 ,an ?1 ? (1)求数列 {bn ? an } 的通项公式; (2)求证:对任意 n ? N , an ? bn 为定值;
*

4 ? bn 4 ? an * ,bn ?1 ? , (n?N ) . 2 2

(3)设 Sn 为数列 {bn } 的前 n 项和,若对任意 n ? N ,都有 p ? (Sn ? 4n) ?[1 , 3] ,求实
*

数 p 的取值范围.

4 ? an 4 ? bn an ? bn 1 ? ? ? ? (bn ? an ) ,又 b1 ? a1 ? 2 2 2 2 2 1 1 n ?1 所以 {bn ? an } 是以 2 为首项, ? 为公比的等比数列。所以 bn ? an ? 2 ? (? ) 2 2 4 ? bn 4 ? an an ? bn ? ? ?4 (2) an ?1 ? bn ?1 ? 2 2 2 1 所 以 an ?1 ? bn ?1 ? 8 ? (an ? bn ? 8) , 又 a1 ? b1 ? 8 ? 0 , 所 以 an ? bn ? 8 ? 0 恒 成 立 , 即 2
试题解析: (1) bn ?1 ? an ?1 ?

an ? bn ? 8 为定值。
(3)由(1) (2)得: an ? bn ? 8 , bn ? an ? 2 ? (? )

1 2

n ?1

,所以得: bn ? 4 ? ( ? )

1 2

n ?1

(0,) 1 . 19(15 分)..已知三角形 ABC 的三个顶点都在椭圆 x2 ? y 2 ? 1 (a ? 1) 上,其中 A a

2

(1)若点 B,C 关于原点对称,且直线 AB,AC 的斜率乘积为 -

1 ,求椭圆方程; 4

(2)若三角形 ABC 是以 A 为直角顶点的直角三角形,该三角形的面积的最大值为 27 ,求实 8 数 a 的值. 解: (1)设 B(x0,y0),则 C(-x0,-y0)

K AB ? K AC

y ? 1 ? y0 ? 1 y ?1 1 1 ? 0 ? ?? 0 2 ?? 2 ?? x0 ? x0 a 4 x0
x2 ? y2 ? 1 4

2

所以椭圆方程为

(2)显然直线 AB 斜率存在。 设 AB 的方程为: y ? kx ? 1(k ? 0) ,则 AC 的方程为: y ? ? 1 x ? 1 , k y ? kx ? 1 , ? ? 2 2 2 2 ?2a 2 k , (1 ? a k ) x ? 2 a kx ? 0 由 ? x2 得 ,解得 x ? B ? y2 ? 1 1 ? a2 k 2 ? ? a2

a2 k , 用“ ? 1 ”替换“ k ”得 xC ? 2 k a2 ? k 2 2 a2 k ? 1 ? 1 , 故 AB ? 2a 2k 2 ? 1 ? k 2,AC ? 2 1? a k a2 ? k 2 k2

2a 4 k ? 1 2a 4 k (1 ? k 2 ) k 1 所以 S?ABC ? AB ? AC ? , ? 2 2 2 2 2 2 2 4 1 (1 ? a k )(a ? k ) a k ? ? a ?1 k2 2 3 2a 4 ≤ 2a (当且仅当 t ? a ? 1 ? 2 时等号成立) 令 t ? k ? 1 ≥2 ,则 S?ABC ? , 2 2 k a (a ? 1) a ?1 2 a t? t 3 a ? 27 得 (a ? 3)(8a2 ? 3a ? 9) ? 0 由 2 a ?1 8

?

?

?

?

2 解得 a ? 3,或 a ? 3 ? 297 (因为 a ? 3 ? 297 时, t ? a ? 1 ? 2 ,故舍去) ,所以 a ? 3 。 a 16 16

20(14 分).已知 f ( x) ? 2 x 2 ? tx ,且 | f ( x)| ?2 有且仅有两个不同的实根 ? 和 ? ( ? ? ? ). (1) 求实数 t 的取值范围; (2) 若 x1 、 x2 ? [? , ? ] 且 x1 ? x2 ,求证: 4x1 x2 ? t ( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 ; (3) 设 g ( x) ?

求 ? 的取值范围.

4x ? t ,对于任意 x1 、 x2 ? [? , ? ] 上恒有 |g ( x1 ) ? g ( x2 )| ? ?(2? -? ) 成立, x2 ? 1

解: 1) 根据 f ( x) ? 2 x 2 ? tx 图像 翻折后 顶点值 2)由韦达定理知 ? ? ? ?

t2 ? 2 ,得 ?4 ? t ? 4 ……….4 分 8

t , ?? ? ?1 ,不妨设 ? ? x1 ? x2 ? ? 2

解 1:由于 x1 、 x2 ? [? , ? ] ,故 ( x1 ? ? )( x2 ? ? ) ? 0 , x1 x2 ? (? x2 ? ? x1 ) ? ?? ? 0 即 4 x1 x2 ? 4(? x2 ? ? x1 ) ? 4 ? 0

4x1x2 ? t ( x1 ? x2 ) ? 4 ? 4(? x2 ? ? x1 ) ? t ( x1 ? x2 ) ? 4(? x2 ? ? x1 ) ? 2(? ? ? )( x1 ? x2 ) ? 2(? x2 ? ? x1 ) ? 2(? x1 ? ? x2 ) ? 2( x2 ? x1 )(? ? ? ) ? 0 ,
?2 ? 0 [? , ? ] , 且 2 x2 ? t x 函 数 开 口 朝 上 , 故



2 : x1 、 x2 ?

2x12 ? tx1 ? 2 ? 0, 2x22 ? tx2 ? 2 ? 0 ,两式相加,利用基本不等式

3) ? ?

?8 8 t ? t 2 ? 16 t ? t 2 ? 16 , g (? ) ? , ,所以 g (? ) ? ,? ? 4 4 t 2 ? 16 ? t t 2 ? 16 ? t

任取 x1 、 x2 ? [? , ? ] , x1 < x2 ,则 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? ?

4 x1 x2 ? t ( x1 ? x2 ) ? 4 ( x2 ? x1 ) ? 0 2 ( x12 ? 1)( x2 ? 1)

所以 g ( x) 在区间 [? , ? ] 上是增函数,故 |g ( x1 ) ? g ( x2 )| ? ?(2? -? ) 等价于

g (? ) ? g (? ) ?(这可以由上面的 g (? ) ? g ( ? ) ? ?

4?? ? t (? ? ? ) ? 4 ( ? ? ? ) 化入韦达定理 (? 2 ? 1)( ? 2 ? 1)

即可得 ? t 2 ? 16 )

8 t ? 16 ? t
2

?

8 t ? 16 ? t
2

? t 2 ? 16 ? ? (2? ? ? ),

又因为 2? ? ? ?

t ? 3 t 2 ? 16 ?0 4

所以

t 2 ? 16 4 t 2 ? 16 ?? ? ? 2? ? ? t ? 3 t 2 ? 16
2

4 t t ? 16 ?3

h(t ) ?

t t 2 ? 16
4 t t ? 16
2

在 ?4 ? t ? 4 时奇函数且递增所以 0 ? 3 ?

2 t 2 ? ? 3 ? 3? 2 2 t 2 ? 16

所以

?

4 3? 2 2

,所以 ? ?

?3

24 ? 4 2 17


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