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高中数学选修2-3(人教A版)第一章计数原理1.4知识点总结含同步练习及答案


高中数学选修2-3(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第一章计数原理 1.4 计数模型(补充)

一、学习任务 掌握计数的几种模型,并能处理一些简单的实际问题. 二、知识清单
数字组成模型 染色模型 条件排列模型 计数杂题 分组分配模型

三、知识讲解
1.数字组成模型 描述: 与顺序相关的数字问题,通常

是计算满足某些特征的数字的个数. 常见特征比如各个数位的数字不同、四位数、奇数、比某数大的数、某个数位满足某种条件的数 等等,其中各个数位数字可以相同的问题通常借助乘法原理分步解决,各个数位数字不相同通常 是与排列相关的问题. 例题: 由 0 、1 、2 、3 、4 这五个数字可组成多少个无重复数字的五位数? 4 1 4 解:首位不能是 0 ,有 C1 4 种,后四位数有 A 4 种排列,所以这五个数可以组成 C4 A 4 = 96 个无重复的五位数. 用数字 2 、3 组成四位数,且数字 2 、3 至少都出现一次,这样的四位数共有______个(用数字 作答). 解:14 因为四位数的每个数位上都有两种可能性,其中四个数字全是 2 或 3 的情况不合题意,所以符 合题意的四位数有 2 4 ? 2 = 14 个. 从 0 ,2 中选一个数字,从 1 、3 、5 中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个 数为( ) A.24       B.18      C.12       D.6 解:B 当选 0 时,先从 1 、3 、5 中选 2 个数字有 C2 3 种方法,然后从选中的 2 个数字中选 1 个 1 1 排在末位有 C2 种方法,剩余 1 个数字排在首位,共有 C2 3 C2 = 6 种方法; 当选 2 时,先从 1 、3 、5 中选 2 个数字有 C2 3 种方法,然后从选中的 2 个数字中选 1 个 1 1 2 排在末位有 C2 种方法,其余 2 个数字全排列,共有 C2 3 C2 A 2 = 12 种方法. 依分类加法计数原理知共有 6 + 12 = 18 个奇数. 用 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 这 6 个数字,可以组成______个大于 3000 且小于 5421 的

不重复的四位数. 解:175 分四类: ①千位数字为 3 ,4 之一时,百十个位数只要不重复即可,有 2A 3 5 = 120(个); 1 2 ②千位数字为 5 ,百位数字为 0 ,1 ,2 ,3 之一时,共有 A 4 A 4 = 48 (个); 1 ③千位数字是 5 ,百位数字是 4 ,十位数字是 0 ,1 之一时,共有 A 1 2 A 3 = 6 (个); ④最后还有 5420 也满足条件. 所以,所求四位数共有 120 + 48 + 6 + 1 = 175(个).

2.条件排列模型 描述: 计算满足某些限制条件的排列的个数,常见的如相邻问题、不相邻问题、某位置不能排某人、某 人只能或不能排在某些位置的问题等等. 例题: 3 名男生,4 名女生,按照不同的要求排队,求不同的排队方案的方法种数. (1)全体站成一排,其中甲只能在中间或两端; (2)全体站成一排,男生必须排在一起; (3)全体站成一排,甲、乙不能相邻. 6 解:(1)先考虑甲的位置,有 A 1 3 种方法,再考虑其余 6 人的位置,有 A 6 种方法.故有 6 A1 3 A 6 = 2160 种方法; (2)(捆绑法)男生必须站在一起,即把 3 名男生进行全排列,有 A 3 3 种排法,与 4 名女生 3 5 组成 5 个元素全排列,故有 A 3 A 5 = 720 种不同的排法; (3)(插空法)甲、乙不能相邻,先把剩余的 5 名同学全排列,有 A 5 5 种排法,然后将甲、乙 2 5 2 分别插到 6 个空中,有 A 6 种排法,故有 A 5 A 6 = 3600 种不同的排法. 有甲、乙、丙在内的 6 个人排成一排照相,其中甲和乙必须相邻,丙不排在两头,则这样的排 法共有______种. 解:144 甲和乙必须相邻,可将甲、乙捆绑,看成一个元素,与丙除外的另三个元素构成四个元素,自由 排列,有 A 4 4 种方法;丙不排在两头,可对丙插空,插四个元素生成的中间的三个空中的任何一 1 4 1 2 个,有 A 3 种方法;最后甲、乙两人的排法有 A 2 2 种方法.综上,总共有 A 4 A 3 A 2 = 144 种 排法. ) 6 把椅子摆成一排,3 人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为( A.144 B.120 C.72 D.24 解:D “不相邻”应该用“插空法”,三个空椅子,形成 4 个空,三个坐人的椅子插入空中,因为人 不同,所以需排序,所以有 A 3 4 = 24 种不同坐法. 某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课,如果第一节不排体育, 最后一节不排数学,那么共有多少种不同课程的排法? 5 解:法一:6 门课程总的排法是 A 6 6 种,其中不符合要求的可分为:体育排在第一节有 A 5 种

排法,数学排在最后一节有 A 5 5 种排法,但这两种方法,都包括体育在第一节,数学排在最后一 4 5 4 节,这种情况有 A 4 种排法,因此符合条件的排法应是:A 6 6 ? 2A 5 + A 4 = 504 种. 4 法二:① 体育、数学即不排在第一节也不排在最后一节,这种情况有 A 2 4 ? A 4 种排法;② 数学
1

?

4

排在第一节但体育不排在最后一节,有 种排法;③ 体育排在最后一节但数学不排在第 1 4 一节,有 A 4 ? A 4 种排法;④ 数学排在第一节,体育排在最后一节,有 A 4 4 种排法.这四类排 2 4 1 4 1 4 法并列,不重复也不遗漏,故总的排法有:A 4 ? A 4 + A 4 ? A 4 + A 4 ? A 4 + A 4 4 = 504 种.

A1 4

? A4 4

4

?

4

3.分组分配模型 描述: 将某些相同或不同的元素分配给一些人,满足某些特定的条件的一类问题。相同元素的问题比如 名额分配问题,不同元素的分组问题中,典型的有平均分组问题,通常分组问题是无序的,所以 在遇到平均分组时需要考虑去除顺序;分配问题通常是与顺序相关的,所以可以考虑直接分配, 或者先分组再分配. 例题: 将 4 名大学生分配到 3 个乡镇去当村官,每个乡镇至少一名,则不同的分配方案有______种. (用数字作答) 解:36 分两步完成: 第一步,将 4 名大学生按 2 ,1 ,1 分成三组,其分法有 C2 4 种;第二步,将分好的三组分配 3 2 到 3 个乡镇,有 A 3 种.所以,满足条件的分配方案有 C4 A 3 3 = 36 种. 按下列要求分配 6 本不同的书,各有多少种不同的分配方式? (1)分成三份,1 份 1 本,1 份 2 本,1 份 3 本; (2)甲、乙、丙三人中,一人得 1 本,一人得 2 本,一人得 3 本; (3)平均分成三份,每份 2 本; (4)平均分配给甲、乙、丙三人,每人 2 本; (5)分成三份,1 份 4 本,另外两份每份 1 本; (6)甲、乙、丙三人中,一人得 4 本,另外两人每人得 1 本; 解:(1)无序不均匀分组问题. 2 先选 1 本有 C1 6 种选法,再从余下的 5 本中选 2 本有 C5 种选法,最后余下 3 本全选有 3 种选法.故共有 1 2 3 C3 C6 C5 C3 = 60 (种). (2)有序不均匀分组问题. 由甲、乙、丙是不同的三人,在第(1)问基础上,还应考虑再分配,共有 2 3 3 C1 6 C5 C3 A 3 = 360(种) (3)无序均匀分组问题. 2 2 先分三组,则应是 C2 6 C4 C2 种方法,但是这里出现了重复.不妨记 6 本书为 A 、B 、C 、 D 、E、F ,若第一步取了 AB ,第二步取了 CD ,第三步取了 EF ,记该种分法为 2 2 (AB, CD, EF ),则 C2 6 C4 C2 种分法中还有 (AB, EF , CD)、(CD, AB, EF )、 3 (CD, EF , AB)、(EF , CD, AB)、(EF , AB, CD),共 A 3 3 种情况,而这 A 3 种情况仅是

AB 、CD 、EF 的顺序不同,因此只能作为一种分法,故分组方法有
(4)有序均匀分组问题. 在第(3)问基础上再分配给 3 个人,共有分配方式 (5)无序部分均匀分组问题. 共有
1 1 C4 6 C2 C1 2 2 C2 6 C4 C2

2 2 C2 6 C4 C2

A3 3

= 15 种.

A3 3

2 2 2 ? A3 3 = C6 C4 C2 = 90 (种).

(6)有序部分均匀分组问题.

A2 2

= 15 (种).

在第(5)问基础上再分配给 3 人,共有分配方式

1 1 C4 6 C2 C1

A2 2

? A3 3 = 90 (种) .

将组成篮球队的 10 个名额分配给 7 所学校,每校至少 1 名,问名额的分配方式共有多少种? 解:问题等价于将排成一行的 10 个相同元素分成 7 份的方法数,相当于在 10 个相同元素的 9 个间隔(除去两端)中插入 6 块隔板隔成 7 份,共有 C6 9 = 84 种. 故名额分配方式有 84 种.

4.染色模型 描述: 将某个几何图形(平面的或立体的)或平面区域染上某些特定的颜色,使得图形满足一定的条件 (如相邻区域颜色不同等等).这是排列组合中一种比较复杂的问题,需要结合不同的图形特点 进行讨论,通常可以先处理信息较多的点或图形,逐个点按顺序考虑,在需要讨论的时候进行分 类等等.也可以整体上讨论哪些内容会互相干扰,从整体上进行分类讨论. 例题: 如图,一个地区分为 5 个行政区域,现给地图着色,要求相邻地区不得使用同一颜色,现有 4 种颜色可供选择,则不同的着色方法共有______种.(以数字作答)

解:72 第一步染 1 区,有 4 种方法;第二步染 2 区,有 3 种方法;第三步染 3 区有 2 种方法; 第四步染 4 区,也有 2 种方法;第五步染 5 区,但第五区染色方法与第四步染色方法有关, 故将第四步分成 2 类:当 4 区与 2 区同色时,第四步有 1 种方法,此时第五步有 2 种方 法;当 4 区与 2 区不同色时,第四步有1 种,此时第五步是 1 种方法. 根据分步乘法计数原理和分类加法计数原理得,不同的染色方法共有 4 × 3 × 2 × (1 × 2 + 1 × 1) = 72 种. 如图,一环形花坛分成 A 、B 、C 、D 四块,现有 4 种不同的花供选种,要求在每块里种 1 种花,且相邻的 2 块种不同的花,则不同的排法共有( )

A.96种

D.48 解:若仅种 2 种花,则 A 、C 相同且 B 、D 相同,共有 A 2 4 = 12 种不同的选种方法;若种 3 3 种花,则 A 、C 相同或 B 、D 相同,共有 2A 4 = 48 种不同的选种方法;若种 4 种花, 则 A 、B 、C 、D 各不相同,共有 A 4 4 = 24 种不同的选种方法.由分类加法计数原理可得共有 12 + 48 + 24 = 84 种不同的选种方法.

B.84

C.60

5.计数杂题 描述: 不是以上类型的计数问题,类型不是很成体系,需要就题目本身的条件进行分析.

例题: 某城市一条道路上有 12 盏路灯,为了节约用电而又不影响正常的照明,可以熄灭其中三盏灯, 但两端路灯不能熄灭,也不能熄灭相邻的两盏灯,那么熄灭方法共有( ) 3 3 3 A.C8 种 B.A 8 种 C.C9 种 D.A 3 9 种 解:A “灭灯”不相邻,应采取“插空法”.将 3 盏熄灭的灯插到 8 (两端不能熄灭)个空里,有 C3 8 种. 袋中装有编号分别为 1 , 2 , 3 , 4 的 4 个白球和 4 个黑球,从中取出 3 个 球,则取出球的编号互不相同的取法有( ) A. 24 种 B. 28 种 C. 32 种 D. 种 36 解:从四个编号中任取三个编号,再对选出的每个编号的两个球中任选一个球即可,故共有取 3 法: C3 4 ? 2 = 32 (种).

四、课后作业

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1. 从 4 名男生和 3 名女生中任选 4 人参加座谈会,若这 4 人必须既有男生又有女生,则不同的选法共 有 ( A.140
答案: D

) 种.
B.120 C.35 D.34

2. 同室 4 人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿 1 张别人送出的贺年卡,则 4 张贺年卡不 同的分配方式有 ( A.23 种
答案: C

)
B.11 种 C.9 种 D.6 种

3. 由 1, 2, 3, 4, 5, 6 组成没有重复数字且 1, 3 都不与 5 相邻的六位偶数的个数是 ( A.72
答案: C 解析: 先选一个偶数字排个位,有

)

B.96

C.108

D.144

3 种选法. ①若 5 在十位或十万位,共有 24 种. ②若 5 排在百位、千位或万位,共有 12 种. 所以共计 3 × (24 + 12) = 108 种.
种不同的排法(用数字作答).

4. 6 人站一排,甲不站在排头,乙不站在排尾,共有
答案:

解析: "甲不站在排头,乙不站在排尾"的反面是:"甲站排头或乙站排尾".6人全排列有

504

5 站排头的 A 5 5 种,减去乙站排尾的 A 5 种,但是其中甲站排头且乙站排尾的排法多减了一次,故 6 5 4 再加上 A 4 4 种,因此排法数有 A 6 ? 2A 5 + A 4 = 504 种.

A6 6 种,减去甲

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