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第一届至第六届周培源大学生力学竞赛初赛试题及答案


第六届周培源全国大学生力学竞赛样题

第 6 届周培源全国大学生力学竞赛初赛(样题)
时间 3 小时,满分 120 分

一、奇怪的独木桥(25 分) 一位游客在某处发现有座独木桥,上面写着:禁止独自一人过桥。他发现当地居民的确 都是成双结队并且好像以某种相互配合的方式过桥。 他觉得很奇

怪, 为什么 2 个人可以过桥 而 1 个人却不能。等周围没有其它人时他想独自试试,结果没走到半程,就把独木桥压断了 而掉入水中。 根据事后他的调查,小河宽 4 米,独木桥长 6 米,如图 1 所示横跨在小河上(支撑点可 以认为是铰链约束) 。独木桥采用当地的轻质木材做成,等截面,允许最大弯矩为

[ M ] = 600N ? m 。
为方便假设每人的体重均为 800N,而独木桥的重量不计。请你分析一下: (1)本问题与力学中的什么内容有关系? (2)如果一个人想过桥,最多能走多远? (3)当地居民过桥时两人需要进行配合,你认为两人应如何配合才能安全过桥?

图 1 奇怪的独木桥

二、模特儿与新型舞台(35 分) 有位模特儿在一种新型舞台上练习走台步。 该舞台类似长方形桌子, 长为 2a , 宽为 a , 有 6 条等长的桌腿(图 2) 。每条桌腿都与水平地面有接触开关,如果接触处有压力就会使 对应的一盏灯亮起来。该模特儿发现,站到舞台不同的位置会有不同数目的灯亮起来,如图 2,她站在舞台右上角附近时,左下角的灯就不亮。 如果把模特儿的重量认为是集中载荷,把舞台认为是刚体且不计质量,则 (1)本问题与力学中的什么内容有关系?
1

第六届周培源全国大学生力学竞赛样题

(2)如果模特儿站在舞台的正中央,会有几盏灯亮起来? (3)模特儿在不同区域时会有不同数目的灯亮起来,请在长方形舞台上确定各区域的 边界并画出示意图,然后在该区域内写上亮灯的数目(提示,亮灯的数目有可能为 6、5、4、 3、2、1) 。

a a a
图 2 模特儿的新舞台

a

三、魔术师的表演(25 分) 魔术师要表演一个节目。其中一个道具是边长为 a 的不透明立方体箱子,质量为 M 1 ; 另一个道具是长为 L 的均质刚性板 AB ,质量为 M 2 ,可绕光滑的 A 铰转动;最后一个道具 是半径为 R 的刚性球,质量为 M 3 ,放在刚性的水平面上。魔术师首先把刚性板 AB 水平放 置在圆球上,板和圆球都可以保持平衡,且圆心 O 和接触点 B 的连线与垂线夹角为 ? 。然 后魔术师又把箱子固定在 AB 板的中间位置,系统仍可以保持平衡,如图 3 所示。 魔术师用魔棒轻轻向右推了一下圆球,竟然轻易地就把圆球推开了。更令人惊讶的是, 当圆球离开 AB 板后, AB 板及其箱子仍能在水平位置保持平衡。

A

B

?
o

图 3 魔术师的箱子

2

第六届周培源全国大学生力学竞赛样题

(1)为什么在 AB 板上加很重的箱子不会把圆球挤压出去,而魔术师用很小的力却可 以推开圆球?这其中涉及了什么力学内容? (2)根据上述介绍,你能否求出 AB 板与圆球之间的摩擦系数要满足什么关系? (3) AB 板只在 A 处受支撑却仍能在水平位置保持平衡。魔术师让观众来检查,证明 排除了看不见的支撑或悬挂等情况。 你认为这可能吗? 这时平板有且只有 A 点与地面接触, 请指出其中可能涉及的奥秘,并分析其中可能涉及的参数。

四、出人意料的交线(35 分) 系统由三根不计半径的细杆构成, 初始时刻 CD 杆沿 z 轴;OB 设 Oxyz 是固定坐标系。 杆长为 a ,沿 x 轴正方向; AB 杆长为 l ,开始时先与 z 轴平行,绕 x 轴负方向转动 β 角后, 把这三根杆件焊成一个整体,如图 4 所示。 假设在 yz 平面内有一张纸存在,为了能让系统持续地绕 z 轴以匀角速度 ω 转动,需要 。 在纸上挖出某种形状的空隙让 AB 杆通过(这里只考虑 AB 杆) (1)如果 a = 0 ,求空隙的函数表达式 Γ 0 ,并画出示意图。 (2)如果 a > 0 ,求空隙的函数表达式 Γ a ,并画出示意图。 Γ 0 与 Γ a 有何关系? (3)当 a > 0 时,设 P 点是 AB 杆与 yz 平面的交点,当 P 点位于 AB 杆中点且 yP > 0

l = 4m , ω = 1rad/s , β=1 时, 如果要求 P 点的速度和加速度, 你如何考虑?取 a = 1m , 6 π,
速度和加速度是多少?

z C A

β
O B x D
图 4 初始时刻的系统位置

y

3

第六届周培源全国大学生力学竞赛样题

第 6 届周培源全国大学生力学竞赛初赛样题解答
一、奇怪的独木桥 (1)本问题与力学中的什么内容有关系? 关键词:梁的弯曲、弯矩。

(2)如果一个人想过桥,最多能走多远? 该问题简化为下图,设人从 B 向 A 走去,载荷 P 与 B 点距离为 x ,AB 间的距离为 L 。

P A

x B

易求出支座 B 点的约束力为

RB = P( L ? x) / L
则 AB 间最大弯矩为

M ( x) = P ( L ? x) x / L
根据允许最大弯矩为 [ M ] = 600N ? m ,有

P ( L ? x) x / L ≤ [ M ]
代入数据,解出

x ≤ 1, x ≥ 3
即一个人最远可以向前走 1 米(另一解略去) 。

(3)当地居民过桥时两人需要进行配合,你认为两人应如何配合才能安全过桥?

P A B

P

x2

M2

x1

M1
4

第六届周培源全国大学生力学竞赛样题

若两人同时上桥,一人在右侧外伸段距右端支座为 x1 处,另一个人在桥上,行至离左 端支座 x 2 处,其弯矩如图所示。这时支座的反力为

R A = P(L ? x1 ? x2 ) / L , RB = P ( L + x1 + x2 ) / L
弯矩极大值为

M 1 = Px1 ,

M 2 = P(L ? x1 ? x 2 )x 2 L

欲要安全通过,要求 M 1 ≤ [M ] , M 2 ≤ [M ] ,代如数据得
2 x2 ? (4 ? x1 )x 2 + 3 ≥ 0

欲使上式恒成立,则需

(4 ? x1 )2 ? 12 ≤ 0
解得

0.536 ≤ x1 ≤ 7.46
考虑到 M 1 ≤ [M ] ,得

x1 ≤ 0.75m
所以当一个人立于右侧外伸段离右支座的距离为 (0.536 ? 0.75)m 之间时,另一人可安 全通过独木桥。通过独木桥的人再立于左外伸段离左支座距离为 (0.536 ? 0.75)m 之间,另 一个人亦可安全通过。 (本题改写自:周道祥, 《力学与实践》小问题第 120 题,1986,No.3)

二、模特儿与新型舞台 (1)本问题与力学中的什么内容有关系? 关键词:受力平衡,变形的协调条件。

(2)如果模特儿站在舞台的正中央,会有几盏灯亮起来? 利用对称性及反证法。设坐标系及各灯的标号如下。由于结构与载荷对称,如果 1 灯不 亮,则根据左右(y 轴)对称,3 灯也不会亮。又根据上下(x 轴)对称,4 灯和 6 灯不亮。 所以 1、3、4、6 灯的状态总是相同的,而 2 与 5 灯的状态也相同。 灯亮表示对应的桌腿受压,长度变短,而灯不亮表示对应的桌腿不受压,长度不变。如 果假设有部分灯亮,另一部分灯不亮,就会引起矛盾。因此六盏灯全亮。

5

第六届周培源全国大学生力学竞赛样题

y 4 5 6

o

x

1

2

3

(3)模特儿在不同区域时会有不同数目的灯亮起来,请在长方形舞台上确定各区域的 边界并画出示意图,然后在该区域内写上亮灯的数目(提示,亮灯的数目有可能为 6、5、4、 3、2、1) 。

y 4 C 5 六 H o 6 E G 四 三 五 D 四 B A(x,y) 1 2 I 3 F x

设模特儿重量为 P,所在 A 点的坐标为 ( x, y ) 。由于灯亮等同于对应的桌腿是否受压, 下面就分析桌腿的受力。 (a)设六条腿的受力分别是 N i (i = 1, L ,6) ,有平衡方程

∑N
i =1

6

i

=P

(1)

(N 1 + N 4 )a + Px = (N 3 + N 6 )a
(N1 + N 2 + N 3 ) a + Py = (N 4 + N 5 + N 6 ) a
2
由刚性桌面变形协调条件,可得三个方程,比如可以列出

(2) (3)

2

N2 + N6 = N3 + N5 N1 + N 5 = N 2 + N 4 N 4 + N 6 = 2N5
6

(4) (5) (6)

第六届周培源全国大学生力学竞赛样题

解上述六个方程,由于桌腿不能提供拉力,令 N i > 0(i = 1,L , 6) ,得到不等式

3 x ± 4 y < 2a
得到解的区域为菱形 BCHI(不含边界) ,其中 B 点坐标为 ?

?2 ? a, 0 ? 。 ?3 ?

下面设模特儿位于桌面第一象,限讨论其他几种情形。 舍去方程(5), 求得 N 3 ≥ 0, N 5 ≥ 0, N 6 ≥ 0 (b) 五腿受力, 设腿 1 不受力, 令 N1 = 0 , 均自然满足,根据 N 2 > 0, N 4 > 0 得

?3 x + y + 2 a > 0 ?2 x ? 6 y + 3a > 0
这两个不等式,加上 BC,即得五腿受力区为三角形 BCD(包含 BC,但不包含边界 BD 和 CD) ,其中 D 点坐标为 ?

?3 1 ? a, a ? 。 ?4 4 ?

(c)四腿受力有两种情况,第一种情况是 2、3、5、6 腿受力。舍去方程(5)、(6),并 令 N1 = N 4 = 0 ,再令 N 2 > 0 ,得

?x ? y + a > 0
即知三角形 BDF 为四腿(2,3,5,6)受力区(包含 BD,但不包含边界 DF) ,其中 F 点的坐 标为 ( a, 0 ) 。 四腿受力的第二种情况是 3、4、5、6 受力。舍去方程(4)、(5),且令 N1 = N 2 = 0 ,令

N 4 > 0 ,得
?6 x ? 2 y + 5a > 0
即知三角形 CDE 为四腿(3,4,5,6)受力区(包含 CD,但不包含边界 DE) ,其中 E 点的坐标为

?2 1 ? ? a, a ? 。 ?3 2 ?
(d)剩下的四边形 DEGF 为三腿(3,5,6)受力区。另外对于桌子的边界,CE 表示亮三盏 灯的区域(不含 E 点) 。 (e)如果要两盏灯亮,则是不稳定平衡。在第一象限内,两盏灯亮对应的区域是 EG 和 GF 边表示亮两盏灯的区域(不含 G 点) 。
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第六届周培源全国大学生力学竞赛样题

(f)一盏灯亮对应的区域是 G 点。 最后根据 x 轴和 y 轴的对称性,即可作出整个桌面的亮灯数目区域图。 (本题改写自:陈嘉, 《力学与实践》小问题第 29 题,1982,No.3;秦寿珪, 《力学与 实践》小问题第 100 题,1985,No.4)

三、魔术师的表演 (1)为什么在 AB 板上加很重的箱子圆球不会被挤压出去,而魔术师用很小的力却可 以推开圆球?这其中涉及了什么力学内容? 关键词:摩擦,自锁。 当 AB 板压在圆球上时,圆球在自重,地面反力和 B 处反力作用下平衡。这时圆球处 于摩擦自锁,再增加箱子不破坏圆球的平衡条件。但是魔术师用水平力推圆球时,这时圆球 从受三个力变为受四个力。 如果摩擦力已达最大值, 水平力虽然很小, 仍可破坏圆球的平衡。

(2)根据上述介绍,你能否求出 AB 杆与圆球之间的摩擦系数要满足什么关系? 利用三力平衡条件,圆球受力如图。

RB
B

?
o

C
利用几何法,有 ∠OBC =
1 2

RC

? ,由于 RB 要在摩擦角 θ 内,有

μ = tan θ ≥ tan ( 1 2?)
由于魔术师用很小的水平力就可以破坏圆球的平衡,所以 RB 要在摩擦角的边缘,因此

μ = tan ( 1 2?)
(3) AB 板只在 A 处受支撑却仍能在水平位置保持平衡。魔术师让观众来检查,证明 这时平板有且只有 A 点与地面接触, 排除了看不见的支撑或悬挂等情况。 你认为这可能吗? 请指出其中可能涉及的奥秘,并分析其中可能涉及的参数。 系统只有 A 铰而平衡,这从静力学角度是难以想象的,但是从动力学角度就可以实现。 其中一种可能是:箱子中有一个转子,圆球离开时接通开关使圆轮加速转动。
8

第六届周培源全国大学生力学竞赛样题

设飞轮转动惯量为 J ,可在箱内电机驱动下以角加速度 ε 顺时针转动。为说明问题,暂 时设 B 处是铰链。

用动静法,飞轮上作用有力矩

M s = J oε
系统对 A 点取矩,有

(M1 + M 2 ) g ? 1 2 L ? M s ? NB ? L = 0
可以看出,如果

ε=

( M 1 + M 2 ) gL 2J

B 处的约束反力就为零(由于转子的转动与电流有关,而 ε 是常数,因此事先设计好电流
的大小即可) ,这时撤去 B 处的约束不影响 AB 板的平衡。 在表演魔术时,可以让 B 点与圆球接触时不通电,而圆球离开时通电。

四、出人意料的交线 (1)如果 a = 0 ,求空隙的函数表达式 Γ 0 ,并画出示意图。 容易看出, a = 0 时 AB 杆在一个圆锥上运动,圆锥与 yz 平面的交线为

y p = ± z p tan β ( Γ 0 ) z p ∈ [0, l cos β ]

(2)如果 a > 0 ,求空隙的函数表达式 Γ a ,并画出示意图。 Γ 0 与 Γ a 有何关系? 设 AB 与 yz 平面的交点是 P , BP 的长度为 ξ 。则根据几何关系, P 点的坐标为

z p = ξ cos β , y p = a 2 + ξ 2 sin 2 β
消去参变量 ξ ,有
2 2 2 y2 p ? z p tan β = a ( Γ a )

9

第六届周培源全国大学生力学竞赛样题

z p ∈ [0, l cos β ]
所以 P 点的轨迹是抛物线(的一部分) ,这也就是空隙的方程。而曲线 Γ 0 是 Γ a 的渐进线。

z P

A

β o C y x B

(3)当 a > 0 时,设 P 点是 AB 杆与 yz 平面的交点,当 P 点位于 AB 杆中点且 yP > 0 时,如果要求 P 点的速度和加速度,你如何考虑?如果取 a = 1m , L = 4m , β = 1 6 π,

ω = 1rad/s ,速度和加速度是多少?
思路:采用点的复合运动关系,以 P 为动点, AB 杆为动系。相对运动沿 AB 杆,牵连 运动作定轴转动,绝对运动是在 yz 平面内的抛物线上运动。 当 P 为 AB 杆中点时,设 P 点的坐标为 ( xP , yP , z P ) , B 点的坐标为 ( xB , yB , z B ) ,

∠BOC = θ 。其中
1 ? 2 l sin β ? xP = 0 = sin θ ? xB = a sin θ ? ? yP ? ? ? 2 2 1 2 ? yP = a + 4 l sin β , ? yB = a cos θ , ? ?cos θ = a ?z = 0 ? 1 β z = l cos B ? P 2 ? ? ? yP ?

(i)速度分析, va = ve + vr 其中

10

第六届周培源全国大学生力学竞赛样题

ve = ω k × ( yP j + z P k ) = ?ω yP i
v r = ζ [ ( xB ? xP ) i + ( y B ? y P ) j + ( z B ? z P ) k ]
所以有

va = [ζ ( xB ? xP ) ? ω yP ]i + ζ ( yB ? yP ) j + ζ ( z B ? z P )k ]
由于 P 点在 yz 平面内运动,因此有

ζ =

ω yP
( xB ? xP )

, v a = ζ ( yB ? yP ) j + ζ ( z B ? z P ) k

(ii)加速度分析:

a a = ae + a r + ac
其中

a e = ? y Pω 2 j
a r = η [ ( xB ? xP ) i + ( y B ? y P ) j + ( z B ? z P ) k ] ac = 2ω k × ζ [ ( xB ? xP )i + ( yB ? yP ) j + ( z B ? z P )k ]
因此

aa = [η ( xB ? xP ) ? 2ωζ ( yB ? yP )]i + [η ( yB ? yP ) ? yPω 2 + 2ωζ ( xB ? xP )] j + η ( zB ? zP )]k
由于 P 点在 yz 平面内运动,因此有

η=

2ωζ ( yB ? yP ) 2ω 2 yP ( yB ? yP ) , = ( xB ? x P ) ( xB ? x P ) 2

aa = [η ( yB ? yP ) ? yPω 2 + 2ωζ ( xB ? xP )] j + η ( z B ? z P )]k
代入数据,有

ζ = 2, η = ?4
va = ? 2 j ? 2 3k aa = 3 2 j + 4 3k

11

第六届全国周培源大学生力学竞赛试题
出题学校:清华大学 满分:120 分 时间:3 小时

一、声东击西的射击手(30 分)
射击的最高境界,不仅是指哪打哪,还要知道往哪儿指。欢迎来到这个与众不 ,你需要把某个小球放在 同的射击场。在这里,共有 10 个小球 P i (号码从 0 到 9) 圆弧的适当位置上,然后静止释放小球即可。 假设系统在同一竖直平面内(如图所示) ,不考虑摩擦。圆弧 AB 的半径为 R ,

B 点与地面的高度为 H 。均质细杆 CD 的质量为 M ,长为 L = 0.5 H ,悬挂点 C 与 B 处于同一水平位置,BC 距离为 S 。 小球 P 不计半径, 小球 P i 质量均为 m , i与 CD 杆或地面碰撞的恢复因数均为 ei ,且满足 ei = i / 9 (i = 0,1, 2,… ,9) 。 (1)为使小球 P 1 击中杆上 D 点,试确定静止释放时的 θ ,距离 S 有何限制? (2)假设某小球击中 CD 杆上的 E 点,为使 E 点尽可能远离 D 点,试确定该 小球的号码及静止释放时的 θ ,此时 CE 的距离是多少? (3)假设某小球击中 CD 杆上的 E 点,为使悬挂点 C 处的冲量尽可能小,试 确定该小球的号码及静止释放时的 θ ,此时 CE 的距离是多少?冲量有多大?

A Pi

O

θ
B H E C D

S

二、骄傲自满的大力士(35 分)
有位大力士总是自命不凡,他夫人决定找机会教训他一下。正好附近足球场的 球门坏了一半,剩下的半边球门如图:立柱 OA 垂直固定于水平地面上,沿 x 轴方 向,高为 H = 2.4m ,横梁 AB 平行于地面,沿 z 轴负方向,长为 L = H 。立柱和 横梁均为实心圆柱,直径均为 D = 0.06m 。夫人经过计算后想出了主意:和丈夫 比赛,看谁能把球门拉倒。比赛规则是:通过系在横梁 B 端中点的绳索,只能用 静力拉球门;绳索上有且只有 B 点系在与地面固定的物体上。绳索的重量不计, 长度不限。球门不计自重,采用第三强度理论,材料的屈服应力 σ s = 57MPa 。 大力士认为自己肯定不会输,因为他知道两人鞋底与地面摩擦系数都是

μ = 0.5 ,自己重量为 G1 = 700N ,夫人重量为 G2 = 510N 。为了显示自己的大
度,他允许夫人享受一点点优惠条件。于是夫人以 B 在地面的投影 C 为圆心,在 要求丈夫身体在地面的投影不能进该圆圈, 地面上画了一个半径 R = 0.8m 的圆圈, 但她自己不受限制。大力士认为这么个小圆圈没什么了不起,就同意了。 大力士抽签先上场,他决定让绳索与 xy 平面平行,但绳索与地面的夹角 θ 不 知多大为好,于是他在不同的角度试了多次,尽管每次都用了最大力气,但是球门 居然纹丝不动,也看不出有明显的变形。而夫人上场后一用力就把球门拉倒了…… (1)当大力士让绳索与地面成 θ 角度,绳索中的拉力最大为多大?该最大拉 力与大力士拉绳的姿势有无关系? (2)当大力士让绳索与地面成 θ 角度,球门中最危险点的坐标值是多少? (3)在限制条件下, θ 角为多少时大力士最接近把球门拉倒?夫人可能采用 什么方式把球门拉倒?

B

A L H x

θ

C

R

O y

z

三、顾此失彼的挑战者(30 分)
魔术正式开始前,魔术师邀请观众上台了解道具,并体验如何让水晶球在板上 平衡,有位观众自告奋勇要挑战魔术师的问题。 一个滚轴 D ; 魔术师首先介绍道具 (如图所示) : 两个透明的水晶圆球 O1 和 O2 ; 一个透明的水晶平板 AB , A 端水平固定在墙中,不考虑自重时 AB 板与水平面平 行。在表演时,滚轴 D 可以根据需要安装在 AB 板的任意位置,且 A 与 D 总在同 一高度。假设水晶板是均质等截面板,长度为 l ,单位长度重量为 q ,弯曲刚度为

EI 。两均质水晶圆球的半径均为 r ,重量均为 P = ql 。
假设表演中板的挠度和转角都是小量,球与板之间有滑动摩擦,但不考虑球与 板的接触变形和滚动摩擦。观众发现,水晶板由于自重而微微弯曲,如果不安装滚 轴 D ,水晶球在板上可以摆放的任意位置都不能平衡。 魔术师的问题如下: (1)如果把滚轴 D 安装在 AB 板的 B 处,此时 AB 板由于自重所导致的最大 挠度在何处? 有可能使水晶球 O1 在板上静止, (2) 如果把滚轴 D 安装在 AB 板之间的某处, 如果不需要具体计算, 如何说明滚轴 D 是更靠近 A 且球与板的接触点恰好是 B 点。 点还是更靠近 B 点?定性画出此时 AB 板挠度的示意图。 (3)如果把滚轴 D 安装在 AB 板的中点,能否让水晶球 O1 在 AD 之间某位置 平衡,接触点为 C1 ;同时让水晶球 O2 在 DB 之间某位置平衡,接触点为 C2 。观众 试着摆弄了很久,总是顾此失彼,最终也没有成功。如果你认为本问题有解, AC1 和 AC2 的水平距离是多少?如果没有解,如何证明?

O2 O1 A D B

四、技高一筹的魔术师(25 分)
魔术正式开始,仍用上一题中的道具(板和球的具体参数见第三题) 。 魔术师首先撤去了滚轴 D ,观众看到两个水晶球在板上任意位置静止释放, 都会从板的 B 端掉下去。但是细心的观众发现,即使两水晶球放在板的相同位置, 掉下去所需时间却明显不同。 魔术师解释说,虽然两水晶球的尺寸和重量完全相同,但有一个水晶球的表面 涂了透明的新型材料,很光滑。说完在后落下的水晶球 O1 表面贴上了小纸片以示 区别(假设小纸片的尺寸和重量相对水晶球均是小量) 。 只见魔术师对两个水晶球吹了吹,声称已经把魔力注入其中,然后小心地把贴 ,同时让纸片远离接触位置,松手后 有纸片的 O1 球静止放在板上(接触点为 B 点) 水晶球 O1 竟然真的可以一直稳稳地停留在板上 B 点。 “这个水晶球不太 在观众的掌声中,魔术师撤走了 O1 球,把 O2 球拿了起来。 然后更加小心地把 O2 听话, 我的魔力只能管 1 分钟。 ” 魔术师说完把 O2 球转了转, 球也放在板上(接触点为 B 点) 。观众发现, O2 球在 B 点停留了大约 1 分钟,然 后在没有外界干扰的情况下突然从板上 B 端掉了下来…… (1)根据题目叙述,试判断哪个水晶球涂了新型材料? (2)水晶球 O1 可在 B 点一直稳稳地停留,简要叙述其原理,分析其中所涉及 的关键参数,以及各参数应满足的必要条件或关系。 (3)水晶球 O2 只能在 B 点停留很短的时间,简要叙述其原理,分析其中所涉 及的关键参数,以及各参数应满足的必要条件或关系。 注:第四题解答中所用的参数都应在第三、第四题中提及过。

O2 A O1 D B

第六届全国周培源大学生力学竞赛试题参考答案
清华大学航天航空学院 高云峰

一、声东击西的射击手(30 分)
? S2 ? (1) θ = arccos ?1 ? ? ; S 的限制为 S ≤ 2 HR 。 ? 2 HR ?
(2) e9 = 1 (号码为 9) ; CE = 0 ; θ = arccos ?1 ?

? ?

S2 ? ? , N 为与地面的碰撞次数。 16 N 2 HR ?

(3) e6 =

? ? S2 6 1 (号码为 6) ; CE = H ; I C = 0 ; θ = arccos ?1 ? ?。 2 + 9 4(1 e ) HR 3 6 ? ?

二、骄傲自满的大力士(35 分)
(1) T =

μ G1 ;大力士拉绳的姿势不影响绳中最大拉力的大小。 cos θ + μ sin θ
1 2

(2)危险点坐标 ( 0,

D cos θ , - 1 2 D sin θ )

(3)大力士在 θ = 0 时最接近拉坏球门: σ 1 ? σ 3 = 56.0Mpa ;夫人进入圆圈内, θ = 90° 时可以 有 σ 1 ? σ 3 = 57.9MPa

三、顾此失彼的挑战者(30 分)
(1)最大挠度处: x =

15 ? 33 l ≈ 0.58l 16

(2)滚轴 D 更靠近 B 点;挠度示意图如下:

A

D

B

(3)解不存在,证明见解题过程。

四、技高一筹的魔术师(25 分)
(1)水晶球 O2 涂了新型材料。 (2)关键参数: μ1 ≥ tan θ B ;纸片重量 G ≥

2 ql 3 P sin θ B , (θ B = ) 。 3 EI 1 ? sin θ B

(3)关键参数: μ 2 = tan θ B ;初始角速度 ω0 ≈

150 g sin θ B 。 r

1


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