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数学《3.3几何概型(一)》


知识探究(一) :几何概型的概念
思考 1: 某班公交车到终点站的时间可能是 11:30~ 12:00 之间的任何一个时刻; 往一个方格中投一粒芝麻,芝麻可能落在方 格中的任何一点上. 这两个试验可能出现的结果是有限个,还是 无限个?若没有人为因素,每个试验结果出现的 可能性是否相等?

知识探究(一) :几何概型的概念
思考 2:下图

中有两个转盘,甲乙两人玩转盘游 戏,规定当指针指向 B 区域时,甲获胜,否则乙 获胜.你认为甲获胜的概率分别是多少?
B N B N N B N B

B

B N

知识探究(一) :几何概型的概念
思考 3: 上述每个扇形区域对应的圆弧的长度 (或 扇形的面积)和它所在位置都是可以变化的,从 结论来看, 甲获胜的概率与字母 B 所在扇形区域 的哪个因素有关?哪个因素无关?
B N B N N B N B B B N

知识探究(一) :几何概型的概念
思考 3: 上述每个扇形区域对应的圆弧的长度 (或 扇形的面积)和它所在位置都是可以变化的,从 结论来看, 甲获胜的概率与字母 B 所在扇形区域 的哪个因素有关?哪个因素无关?
B N B N N B N B B B N

与扇形的弧长(或面积)有关,与扇形区域 所在的位置无关.

知识探究(一) :几何概型的概念
思考 4:如果每个事件发生的概率只与构成该事 件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样 的概率模型为几何概型. 参照古典概型的特性, 几何概型有哪两个基本特征?

知识探究(一) :几何概型的概念
思考 4:如果每个事件发生的概率只与构成该事 件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样 的概率模型为几何概型. 参照古典概型的特性, 几何概型有哪两个基本特征?

(1)可能出现的结果有无限多个;

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知识探究(一) :几何概型的概念
思考 4:如果每个事件发生的概率只与构成该事 件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样 的概率模型为几何概型. 参照古典概型的特性, 几何概型有哪两个基本特征?

(1)可能出现的结果有无限多个;

(2)每个结果发生的可能性相等.

知识探究(二) :几何概型的概率

对于具有几何意义的随机事件, 或可以化归 为几何问题的随机事件, 一般都有几何概型的特 性,我们希望建立一个求几何概型的概率公式.

知识探究(二) :几何概型的概率

对于具有几何意义的随机事件, 或可以化归 为几何问题的随机事件, 一般都有几何概型的特 性,我们希望建立一个求几何概型的概率公式.

思考 1:有一根长度为 3m 的绳子,拉直后在任 意位置剪断,那么剪得的两段的长度都不小于 1m 的概率是多少?你是怎样计算的?

知识探究(二) :几何概型的概率
思考 2:在玩转盘游戏中,对于下列两个转盘, 甲获胜的概率分别是多少?你是怎样计算的?
B N B N B N N B N N B

B

知识探究(二) :几何概型的概率
思考 3:射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环, 从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色,靶心 是金色,金色靶心叫“黄心”.奥运会射箭比赛 的靶面直径是 122cm,黄心直径是 12.2cm,运 动员在距离靶面 70m 外射箭.假设射箭都等可能 射中靶面内任何一点, 那么如何计算射中黄心的 概率?

知识探究(二) :几何概型的概率
思考 4:在装有 5 升纯净水的容器中放入一个病 毒,现从中随机取出 1 升水,那么这 1 升水中含 有病毒的概率是多少?

知识探究(二) :几何概型的概率

思考 4:在装有 5 升纯净水的容器中放入一个病 毒,现从中随机取出 1 升水,那么这 1 升水中含 有病毒的概率是多少?
思考 5: 一般地,在几何概型中事件 A 发生的概 率有何计算公式?

知识探究(二) :几何概型的概率

思考 4:在装有 5 升纯净水的容器中放入一个病 毒,现从中随机取出 1 升水,那么这 1 升水中含 有病毒的概率是多少?
思考 5: 一般地,在几何概型中事件 A 发生的概 率有何计算公式?

P(A)=
构成事件 A 的区域长度(面积或体积)

试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

理论迁移
例 1 某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音 机,想听电台报时,求他等待的时间不多于 10 分钟的概率.(假设电台整点报时)

知识探究(二) :几何概型的概率

思考 6:向边长为 1 的正方形内随机抛掷一粒芝 麻, 那么芝麻落在正方形中心和芝麻不落在正方 形中心的概率分别是多少?由此能说明什么问 题?

知识探究(二) :几何概型的概率

思考 6:向边长为 1 的正方形内随机抛掷一粒芝 麻, 那么芝麻落在正方形中心和芝麻不落在正方 形中心的概率分别是多少?由此能说明什么问 题?
概率为 0 的事件可能会发生, 概率为 1 的事 件不一定会发生.

理论迁移

例 2 在下图的正方形中随机撒一把豆子,如何 用随机模拟的方法估计圆周率的值.

理论迁移

例 2 在下图的正方形中随机撒一把豆子,如何 用随机模拟的方法估计圆周率的值.
假设正方形边长为2, 正方形内豆子数为n,

圆内豆子数为m.

理论迁移
例 3 利用随机模拟方法计算由 y=1 和 y=x 所 围成的图形的面积. y
1
2

-1

0

1

x

理论迁移
例 3 利用随机模拟方法计算由 y=1 和 y=x 所 围成的图形的面积. y
1
2

-1

0

1

x

以直线 x=1,x=-1,y=0,y=1 为边界作矩 形,用随机模拟方法计算落在抛物区域内的均 匀随机点的频率,则所求区域的面积=频率×2.

理论迁移
2的正六边形的纸片上, 有 例4 在一张边长为 一个半径为R的半圆孔,随机向该制 片投掷 一粒芝麻,若芝麻恰好 从半圆孔中穿过的概 3? 率是 ,则R ? . 6

理论迁移
能地落在xOy面上 例5 如图,设一个质点等可 的三角形区域 D内,D是由直线x ? 0,y ? 0, x ? y ? 2所围成的,设事件 A为“质点落在 直线y ? 1的下侧”,求 P ( A). y

2 B E D F 1 D1
O

A 2

1

x

理论迁移

例6 如图,是一个容量为70的样本的频率分 布直方图,数据在[3, 5] 内的频数为m ,现向 该频率分布直方图内(即5个小长方形内) 抛掷一点,则该点落在阴影部分的概率是 0.7,求m 频率 组距

O1 2 3 4 5 6

x

小 结

1. 在区间[a,b]上的均匀随机数与整数值随机 数的共同点都是等可能取值,不同点是均匀随 机数可以取区间内的任意一个实数,整数值随 机数只取区间内的整数.

小 结

1. 在区间[a,b]上的均匀随机数与整数值随机 数的共同点都是等可能取值,不同点是均匀随 机数可以取区间内的任意一个实数,整数值随 机数只取区间内的整数.

2. 利用几何概型的概率公式,结合随机模拟试 验,可以解决求概率、面积、参数值等一系列 问题,体现了数学知识的应用价值.

小 结
3. 用随机模拟试验不规则图形的面积的基本 思想是,构造一个包含这个图形的规则图形作 为参照,通过计算机产生某区间内的均匀随机 数,再利用两个图形的面积之比近似等于分别 落在这两个图形区域内的均匀随机点的个数之 比来解决.

4. 利用计算机和线性变换 Y=X*(b-a)+a, 可以 产生任意区间[a, b]上的均匀随机数, 其操作方 法要通过上机实习才能掌握.

小 结
1. 如果一个随机试验可能出现的结果有无限多 个,并且每个结果发生的可能性相等,那么该试 验可以看作是几何概型.
2. 几何概型是不同于古典概型的又一个最基 本、最常见的概率模型,对应随机事件及试验结 果的几何量可以是长度、面积或体积.

作 业

《习案》 作业:三十四


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