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北京四中 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题


二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
编稿:周尚达 审稿 :张扬 责编:张希勇

目标认知 学习目标:
1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组. 2.了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组. 3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决.

重点:
用二元一次不

等式(组)表示平面区域,利用图解法求得线性规划问题的最优解.

难点:
把实际问题转化成线性规划问题, 并给出解答, 解决难点的关键是根据实际问题中的已 知条件,找出约束条件和目标函数,利用图解法求得最优解。

知识要点梳理 知识点一:二元一次不等式(组)的定义
1.二元一次不等式:含有两个未知数,并且未知数的最高次数是 1 的不等式叫做二元 一次不等式。 2. 二元一次不等式组: 由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组。 3.二元一次不等式(组)的解集:满足二元一次不等式(组)的 和 序实数对 , 构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集。 的取值构成有

所有这样的有序实数对

知识点二:用图形表示不等式(组)
1. 一元一次不等式(组)的解集可以用数轴上的区间所对应的图形表示. 如 的图形表示为(如图) ,其中 1 叫界点.

2. 二元一次不等式(组)的解集与平面直角坐标系内的点之间的关系: 二元一次不等式(组)的解集是有序实数对,而点的坐标也是有序实数对,因此,有序 实数对就可以看成是平面内点的坐标,因此,二元一次不等式(组)的解集就可以看成是直 角坐标系内的点构成的集合。 3. 二元一次不等式所表示的平面区域: 在平面直角坐标系中,直线 类: ①直线 上的点(x,y)的坐标满足: ; 将平面分成两部分,平面内的点分为三

②直线 一侧的平面区域内的点(x,y)的坐标满足: ③直线 另一侧的平面区域内的点(x,y)的坐标满足: 即二元一次不等式 或

; 。

在平面直角坐标系中表示直线 叫做这两个区域的

的某一侧所有点组成的平面区域, 直线 边界, (虚线表示区域不包括边界直线,实线表示区域包括边界直线) 。 4.二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 由于对在直线 同一侧的所有点

,把它的坐标

代入 ,

,所得到实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一特殊点 从 当 的正负即可判断 时,常把原点作为此特殊点) 以上判定方法简称为“直线定界、特殊点定域”法.

表示直线哪一侧的平面区域.(特殊地,

5.不等式组所表示的平面区域 由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域, 是各个不等式所表示的平面区域的公 共部分。

知识点三:线性规划的有关概念:
1.线性约束条件: 如果两个变量 、 满足一组一次不等式组,则称不等式组是变量 、 的一次不等式,故又称线性约束条件. 的约束条件,

这组约束条件都是关于 、

2.线性目标函数: 关于 、 的一次式 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量 、 的解析

式,叫线性目标函数. 3.线性规划问题: 一般地, 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题, 统称为线性规划 问题. 4.可行解、可行域和最优解: 在线性规划问题中, ①满足线性约束条件的解 叫可行解;

②由所有可行解组成的集合叫做可行域; ③使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解。

规律方法指导
1. 判断二元一次不等式 Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧的方法: 因为对在直线 Ax+By+C =0 同一侧的所有点(x ,y),数 Ax+By+C 的符号相同,所以只需 在此直线的某一侧任取一点(x0, y0)(若原点不在直线上,则取原点(0,0)最简便) ,它的坐标 代入 Ax+By+c,由其值的符号即可判断二元一次不等式 Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一 侧. 2. 画二元一次不等式 的基本步骤: ①画出直线 ②当 (有等号画实线,无等号画虚线) ; 时,另取一特 或 表示的平面区域

时,取原点作为特殊点,判断原点所在的平面区域;当

殊点判断; ③确定要画不等式所表示的平面区域。 简称: “直线定界,特殊点定域”方法。 3.在应用线性规划的方法时,一般具备下列条件: ①一定要能够将目标表述为最大化(极大)或最小化(极小)的要求; ②一定要有达到目标的不同方法,即必须要有不同的选择的可能性存在; ③所求的目标函数是有约束(限制)条件的; ④必须将约束条件用代数语言表示成为线性等式或线性不等式(组) ,并将目标函数表 示成为线性函数。 4.对于只有两个变量的线性规划(即简单的线性规划)问题,可以用图解法求解.其基 本的解决步骤是: ① 设变量,建立线性约束条件及线性目标函数; ② 画出可行域; ③ 求出线性目标函数在可行域内的最值(即最优解); ④作答. 5.线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用: ① 在人力、物力、资金等资源一定的条件下,如何使用它们来完成最多的任务; ② 给定一项任务,如何合理安排和规划,能以最少的人力、物力、资金等资源来完成 该项任务

简单的线性规划问题
撰 稿:王庚志 编 审:石小燕 责 编:姚一民

一、基本知识 1.规划问题中的可行域,实际上是二元一次不等式(组)表示的平面区域,是解决线性规划 问题的基础。因为对在直线 Ax+By+C=0 同一侧的所有点(x,y),数 Ax+By+C 的符号相同,所以 只需在此直线的某一侧任取一点(x0,y0) (若原点不在直线上,则取原点(0,0)最简便),它的坐标代入 Ax+By+c,由其值的符号即可判 断二元一次不等式 Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧。 2.在求线性目标函数 z=ax+by 的最大值或最小值时,设 ax+by=t,则此直线往右(或左)平 移时,t 值随之增大(或减小)。要会在可行域中确定最优解。 3.新概念:①线性约束条件 ②线性目标函数 ③线性规划问题 ④可行解 ⑤可行域 ⑥最优解 4.重要的思想方法:数形结合 化归思想 5.解线性规划问题总体步骤: 设变量 → 找约束条件,找目标函数

找出可行域

求出最优解

二、典型例题: 例 1.某工厂生产甲,乙两种产品,已知生产甲种产品 1t,需耗 A 种矿石 10t,B 种矿石 5t, 煤 4t, 生产乙种产品 1t 需耗 A 种矿石 4t,B 种矿石 4t,煤 9t,每 1t 甲种产品的利润是 600 元。每 1t 乙种产品的利润 是 1000 元。 工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗 A 种矿石不超过 300t, 种矿石不超过 200t, B 煤不超过 360t,甲,乙这两种产品应各生产多少。(精确到 1t)。能使利润总额达到最大? 解:设生产甲,乙两种产品分别为 x(t), y(t),利润总额为 Z 元,



,Z=600x+1000y。

甲产品(t)

乙产品(t)

资源限额(t)

A 种矿石 (t) B 种矿石 (t) 煤 (t) 利润 (元)

10 5 4 600

4 4 9 1000

300 200 360

作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域。 作直线 600x+1000y=0 即 3x+5y=0。 将直线向上平移到如图位置,直线经过可行域上的点 M,且与原点距离最大,即 Z 取最大 值。

得 x=360/29≈12。 y=1000/29≈34。

例 2.某家电生产企业根据市场调查分析,决定调整产品生产方案,准备每周(按 120 个工 时计算)生产空调器、彩电、冰箱共 360 台,且冰箱至少生产 60 台,已知生产这些家电产品每 台所需工时和每台产值如下表: 家电名称 工时 产值(千元) 4 3 2 空调器 彩电 冰箱

问每周生产空调器,彩电,冰箱各多少台,才能使产值最高?最高产值是多少(以千元为单 位)? 解:设每周生产空调器,彩电,冰箱分别为 x 台,y 台,z 台,每周产值为 f 元,则

f=4x+3y+2z,其中 x, y, z 满足

由(1),(2)得 y=360-3x, z=2x。则由 故 f=3(x+y+z)+x-z=1080-x。

, 得 30≤x≤120。

当 x=30 时,fmax=1080-30=1050。从而 y=270, z=60。 即每周生产空调器 30 台,彩电 270 台,冰箱 60 台,才能使产值最高,最高产值为 1050 千 元。

例 3.求 z=x+2y 的最大值和最小值,使式中的 x ,y 满足约束条件



分析: 本例的解法是解线性规划问题的标准格式, 关键是找准可行域。 确定目标函数 z=x+2y 的最大值和最小值时,注意位于直线 l: x+2y=0 在上方可行域内的解使 z=x+2y>0,而位于直线 l: x+2y=0 左下方可行域内的解使 z=x+2y<0,所以直线 l 右上方和 l 距离最大的点的坐标(1,5)使 z 值最大;l 左下方和直线 l 距离最 大的点的坐标 (-4,1),使 z 值最小。 解:在平面直角坐标系内作出可行域(如图所示)

作直线 l: x+2y=0,把 l 向右上方平移至 l1 位置,即直线 l 经过可行域上点 A 时,l 距原点距 离最大,且 x+2y>0,这时目标函数 z=x+2y 取得最大值。

由方程组

解得 A(1,5),∴ z 最大值=1+2× 5=11。

把直线 l 向左下方平移至 l2 位置,即直线 l 经过可行域上点 B 时,由于 x+2y<0,这时目标 函数 z=x+2y 取得最小值。

由方程组

解得 B(-4,1),

∴ z 最小值=-4+2× 1=-2。 例 4.某人有楼房一栋,室内面积共 180m2,拟分隔成两类房间作为旅游客房,大房间每间面 积为 18m2,可住游客 5 名,每名游客每天住宿费为 40 元,小房间每间面积为 15m2,可住旅客 3 名,每名游客每天住宿费为 50 元,装修大房间每间需 1000 元,装修小房间每间需 600 元,如果 他只能筹款 8000 元用于装修,且假设游客能住满客房,它隔出大房间和小房间各多少间会获得 最大收益?最大收益是多少? 解:设隔出大、小房间分别为 x 间,y 间,收益为 f 元,

则 f=200x+150y, 其中 x, y 满足



如图所示,由图解法易得 f=200x+150y,过点(

,

)时,目标函数 f 取得最大值。但 x, y

必须是整数,还需在可行区域内找出使目标函数 f 取得最大值的整点。 显然目标函数 f 取得最大值的整点一定是分布在可行区域的右上侧, 则利用权举法即可求出 整点最优值。 这些整点有:(0, 12), (1, 10), (2, 9), (3, 8), (4, 6), (5, 5), (6, 3), (7,1 ), (8, 0),分别代入 f=200x+150y。 逐一验证,可取可得取整点(0, 12)或(3, 8)时 fmax=200× a+150× 12=200× 3+150× 8=1800(元)。 所以要获得最大收益,有两种方案: I.只隔出小房间 12 间。 II.隔出大房间 3 间,小房间 8 间,最大收益为 1800 元。 注:如果把装修考虑在内,则选择第一方案好。 三、课后练习: 1.今年甲,乙两工厂生产相同的矿石,甲,乙每月的产量分别为 10 万吨和 8 万吨,又有 A、 B 两工厂每月分别需要矿石 6 万吨和 12 万吨,已知甲,乙与 A,B 的距离由下图标出(单位, 千米)。问怎样调运才能合总运输量(单位:万吨· 千米)最小?最小总运输量是多少?怎样调 运总运输量最大?最大总运输量是多少?

2.某两个煤厂 A1,A2 每月进煤数量分别为 60 吨和 100 吨。联合供应了居民区 B1,B2,B3, 3 个居民区每月对煤的需求量依次分别为 50 吨,70 吨,40 吨,煤厂 A1 离 3 个居民区 B1,B2, B3 的距离依次分别为 10 千米,5 千米,6 千米,煤厂 A2 离 3 个居民区 B1,B2,B3 的距离依次分 别为 4 千米,8 千米,12 千米,问如何分配供煤量使得运输量(单位:吨· 千米)达到最小?最 小运输量是多少? 参考答案: 1.①甲矿不运给 A 厂,运给 B 厂 10 万吨,乙矿运给 A 厂 6 万吨,运给 B 厂 2 万吨时,总 运输量最小,最小总运输量为 164 万吨· 千米。 ②甲矿运给 A 厂 6 万吨,运给 B 厂 4 万吨,乙矿不运给 A 厂,运给 B 厂 8 万吨时,总运输 最大,最大运输量为 176 吨· 千米。

2.A1 不运往 B1,运往 B2 20 吨,运往 B3 40 吨;A2 运往 B1 50 吨,运往 B2 50 吨,不运往 B3,可使运输量最小,最小运输量为 940 吨· 千米。


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