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江苏省南师大数科院2013届高考数学模拟最后一卷


江苏省南师大数科院 2013 届高考数学模拟最后一卷
一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将答案填入答题纸填空题的相应答题线 上. ) 1.若 1 ? 2 a i ? (1 ? b i ) i ,其中 a、b∈R,i 是虚数单位,则 | a ? b i | = ▲ . ▲ .

x 2.已知集合 U ? R ,集合

M ? { y y ? 2 , x ? R } ,集合 N ? { x y ? lg( 3 ? x )} ,则? ?

3.某学校高中三个年级的学生人数分别为:高一 950 人,髙二 1000 人,高三 1050 人.现要调查 该校学生的视力状况,考虑采用分层抽样的方法,抽取容量为 60 的样本,则应从高三年级中抽取的 人数为 ▲ . 4.某国际体操比赛,我国将派 5 名正式运动员和 3 名替补运动员参加, 最终将有 3 人上场比赛,其 中甲、乙两名替补运动员均不上场比赛的概率是 5.以椭圆
x
2

?

y

2

? 1 的焦点为顶点,顶点为焦点的双曲线方程为
??? ? ? 1 ???? 2 ??? AB ? AC , 5 5





4

3
? ???? 2 ??? 1 ???? AB + A C ,则△ABP AQ = 3 4

6.如图所示,设 P、Q 为△ABC 内的两点,且 A P ? 的面积与△ABQ 的面积之比为 ▲ .

C

Q P A B

(第 6 题)

7.执行如图所示的程序框图,若输出的 b 的值为 31,则图中判断框内①处应填的整数为 8.在 ? A B C 中,若 A B ? A C , A C ? b , B C ? a ,则 ? A B C 的外接圆半径 r
? a ?b
2 2





,将此结论拓展到
S C 两垂直, 两

2

、 B 空 间 , 可 得 出 的 正 确 结 论 是 : 在 四 面 体 S ? ABC 中 , 若 S A S 、
S A ? a , S B ? b , S C ? c ,则四面体 S ? A B C 的外接球半径 R ?





9.若 a 是 1 ? 2b 与 1 ? 2b 的等比中项,则

2ab a ?2 b

的最大值为





10.空间直角坐标系中,点 A ( 6 , 4 sin ? , ? 3 sin ? ), B (0, 3 co s ? , 4 co s ? ) ,则 A、B 两点间距离的最 大值为 ▲ .
·1·

11.下列表中的对数值有且仅有一个是错误的:
x
lg x

3
2a ? b

5
a?c

8
3 ? 3a ? 3c

9
4 a ? 2b

15
3a ? b ? c ? 1

请将错误的一个改正为 lg



=





12.如图, l1 、 l2 、 l3 是同一平面内的三条平行直线, l1 与 l2 间的 距离是 1,l2 与 l3 间的距离是 2,正三角形 ABC 的三顶点分别在 l1、

l2、l3 上,则△ABC 的边长是




2 2

13.已知 A 为直线 l : x ? y ? 2 上一动点,若在 O : x ? y ? 1 上存在一点 B 使 ? OAB ? 30 ? 成立, 则点 A 的横坐标取值范围为 14.若方程
ln kx 2



. ▲ .

? ln( x ? 1 ) 没有实数根,那么实数 k 的取值范围是

二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 15、 (本小题满分 15 分)
已知函数 f ( x ) ? 中心的距离为

3 sin

?x ? ?
2

cos

?x ? ?
2

? sin

2

?x ? ?
2

( ? ? 0 ,0 ? ? ?

?
2

) .其图象的两个相邻对称

?
2

,且过点 (

?
6

,

3 2

).

(Ⅰ)求 ? 、 ? 的值;

(Ⅱ)在△ABC 中.a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边, a ?

5 , S ? A B C ? 2 5 ,角 C 为锐角。且满足

f(

C 2

?

?
12

)?

7 6

,求 c 的值.

16. (本小题满分 15 分)
·2·

如图,已知三棱柱 BCF-ADE 的侧面 CFED 与 ABFE 都是边长 为 1 的正方形,M 、N 两点分别在 AF 和 CE 上,且 AM=EN. (Ⅰ)求证:平面 ABCD ? 平面 ADE; (Ⅱ)求证: MN//平面 BCF; (Ⅲ)若点 N 为 EC 的中点,点 P 为 EF 上的动点,试求 PA+PN 的最小值.
C

D

N F M

B

E

图 (5)

A

17. (本小题满分 14 分) 某化工企业 2007 年底投入 100 万元, 购入一套污水处理设备. 该设备每年的运转费用是 0.5 万元,此外每年都要花费一定的维护费,第一年的维护费为 2 万元,由于设备老化,以后每年 的维护费都比上一年增加 2 万元. (Ⅰ)求该企业使用该设备 x 年的年平均污水处理费用 y (万元) ; (Ⅱ)问为使该企业的年平均污水处理费用最低,该企业几年后需要重新更换新的污水处理设 备?

18. (本小题满分 15 分)
·3·

如图,已知圆 O 的直径 AB=4,定直线 L 到圆心的距离为 4,且直线 L 垂直直线 AB。点 P 是圆 O 上异于 A、B 的任意一点,直线 PA、PB 分别交 L 与 M、N 点。 (Ⅰ)若∠PAB=30° ,求以 MN 为直径的圆方程; (Ⅱ)当点 P 变化时,求证:以 MN 为直径的圆必过圆 O 内的一定点。
M P L

A

O

B

N

19. (本小题满分 15 分) 设常数 a ? 0 ,函数 f ( x ) ? x ? ln x ? 2 a ln x ? 1 ( x ? (0, ? ? )) .
2

(Ⅰ)令 g ( x ) ? xf ? ( x ) ( x ? 0 ) ,求 g ( x ) 的最小值,并比较 g ( x ) 的最小值与零的大小; (Ⅱ)求证: f ( x ) 在 (0, ? ? ) 上是增函数; (Ⅲ)求证:当 x ? 1 时,恒有 x ? ln x ? 2 a ln x ? 1 .
2

20. (本小题满分 16 分) 定义: 若数列 ? A n ? 满足 A n ? 1 ? A n ,则称数列 ? A n ? 为“平方递推数列” 已知数列 ?a n ? 中, 。
2

a 1 ? 2 ,点 ( a n , a n ? 1 ) 在函数 f ( x ) ? 2 x

2

? 2 x 的图像上,其中 n 为正整数。

(Ⅰ)证明:数列 ?2 a n ? 1? 是“平方递推数列” ,且数列 ?lg( 2 a n ? 1) ? 为等比数列。 (Ⅱ)设(Ⅰ)中“平方递推数列”的前 n 项之积为 T n ,即 T n ? ( 2 a1 ? 1)( 2 a 2 ? 1) ? ( 2 a n ? 1) , 求数列 ?a n ? 的通项及 T n 关于 n 的表达式。 (Ⅲ)记 b n ? log
2 a n ?1

T n ,求数列 ?b n ? 的前 n 项之和 S n ,并求使 S n ? 2 0 0 8 的 n 的最小值。

◎试卷使用说明
·4·

1、此试卷完全按照 2013 年江苏高考数学考试说明命题,无超纲内容。 2、此试卷成绩基本可以反映高考时的数学成绩,上下浮动 15 分左右。 3、若此试卷达 120 分以上,高考基本可以保底 120 分;若达 85 分,只要在下一个阶段 继续努力高考可以达 96 分。 4、此试卷不含理科加试内容。 5、希望各位老师、同学在使用后多提宝贵意见,共同切磋提高。 6、如需要更多内部资料请以下方式联系!

2013 届高三数学综合检测卷 参考答案
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.
5 2

2.

1.

?y
4 5

y ? 0?

3.21

4.

5 14

5. x ?
2

y

2

?1

6.

7.4 8. 11. 12.

a ?b ?c
2 2

2

3

2

9.

1 3

10. 8

2

21 3

13. 0 ? a ? 2

14. 0 ? k ? 4

二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 15. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ) f ( x ) ?
3 2 sin( ? x ? ? ) ? 1 2 [1 ? cos( ? x ? ? )] ? sin( ? x ? ? ?

?
6

)?

1 2

. (2 分) (3 分) (4 分)

∵最高点与相邻对称中心的距离为 ∴
2? |? | ? ? ,∵ ? ? 0 ,∴ ? ? 2 ,

9 4

?

?

2

,则

T 4

?

?
4

,即 T ? ? ,

16

又 f ( x ) 过点 ( ∴ sin(
2? 3

?
3

,1) ,

?? ?

?
6

)?

1 2

? 1 ,即 sin(

?
2

??) ?

1 2

,∴ cos ? ?
)? 1 2

1 2

.

(5 分) (6 分)

∵0 ? ? ?

?
2

,∴ ? ?

?
3

,∴ f ( x ) ? sin( 2 x ?

?
6

.

16. (本小题满分 15 分) 解: (1)∵四边形 CFED 与 ABFE 都是正方形 ∴ EF ? DE , EF ? AE , 又 DE ? EA ? E ,

∴ E F ? 平面 A D E ,---------------2 分
N1

C

·5·
D

N

F M

M1

B

又∵ E F / / A B ,∴ A B ? 平面 A D E ∵ A B ? 平面 ABCD,∴平面 ABCD ? 平面 ADE-------------------------4 分 (2)证法一:过点 M 作 M M 1 ? B F 交 BF 于 M 1 , 过点 N 作 N N 1 ? C F 交 BF 于 N 1 ,连结 M 1 N 1 ,------------5 分 ∵ M M 1 / / AB, NN1 / / EF ∴ MM 1 / / NN1 又∵
MM 1 AB ? FM FA ? CN CE ? NN1 EF
C

∴ M M 1 ? N N 1 --------------------------------7 分
F M A B

∴四边形 M N N 1 M 1 为平行四边形,---------------------------------------------8 分 N D
CN NE FM MA FG GE
G

? M N / / N 1 M 1 , 又 M N ? 面 B C F , N 1 M 1 ? 面 B C F , ? M N / / 面 B C F . ----------10 分

[法二:过点 M 作 M G ? E F 交 EF 于 G,连结 NG,则

?

?

E,

? N G / / C F -----------------------------------------------------------6 分

又 N G ? 面 B C F , C F ? 面 B C F ,? N G / / 面 B C F ,------------7 分

同理可证得 M G // 面 B C F ,又 M G ? N G ? G , ∴平面 MNG//平面 BCF--------9 分 ? M N // 面 B C F .--------------------------------------------10 分] ∵MN ? 平面 MNG, (3)如图将平面 EFCD 绕 EF 旋转到与 ABFE 在同一平面内,则当点 A、P、N 在同一直线上时,PA+PN 最小,------------------------------------11 分 在△AEN 中,∵ ? A E N ? 1 3 5 , A E ? 1, N E ?
2 2 2

?

2 2
?

C

F

B

由余弦定理得 A N ? A E ? E N ? 2 A E ? E N co s 1 3 5 ,------13 分 ∴ AN ?
10 2

N D

P E A

即 ( P A ? P N ) m in ?

10 2

.-----------------------14 分

17. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ) y ?
100 ? 0 . 5 x ? ( 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2 x ) x
100 x

即y ? x?

? 1 .5 ( x ? 0 ) ;------------------------------------------------7 分
*

(不注明定义域不扣分,或将定义域写成 x ? N 也行) 由均值不等式得: (Ⅱ) y ? x ?
100 x ? 1 .5 ? 2
100 x

x?

100 x

? 1 . 5 ? 21 . 5 (万元)-----------------------11 分

当且仅当 x ?

,即 x ? 10 时取到等号.----------------------------------------13 分

答:该企业 10 年后需要重新更换新设备.------------------------------------------14 分 18. (本小题满分 15 分) 解:建立如图所示的直角坐标系, ⊙O 的方程为 x ? y ? 4 ,
2 2

y M

直线 L 的方程为 x ? 4 。
P

(Ⅰ)∵∠PAB=30° ,∴点 P 的坐标为 (1, 3 ) ,
·6·
A O B x

∴ l AP : y ?

3 3

( x ? 2 ) , lBP : y ? ? 3 ( x ? 2 ) 。

将 x=4 代入,得 M ( 4, 2 3 ), N ( 4, ? 2 3 ) 。 ∴MN 的中点坐标为(4,0) ,MN= 4 3 。 ∴以 MN 为直径的圆的方程为 ( x ? 4 ) ? y ? 1 2 。
2 2

同理,当点 P 在 x 轴下方时,所求圆的方程仍是 ( x ? 4 ) ? y ? 1 2 。
2 2

(Ⅱ)设点 P 的坐标为 ( x 0 , y 0 ) ,∴ x 0 ? y 0 ? 4 ( y 0 ? 0 ) ,∴ y 0 ? 4 ? x 0 。
2 2 2 2

∵ lPA : y ?

y0 x0 ? 2

( x ? 2 ), l P B : y ? 6 y0 x0 ? 2 6 y0 x0 ? 2

y0 x0 ? 2

( x ? 2) ,

将 x=4 代入,得 y M ?
yN ? 2 y0 x0 ? 2


2 y0 x0 ? 2

。∴ M ( 4 ,

), N ( 4 ,

) ,MN=

6 y0 x0 ? 2

?

2 y0 x0 ? 2

?

4 x0 ? 4 y0



MN 的中点坐标为 ( 4 , ?

4 ( x 0 ? 1) y0

)。

以 MN 为直径的圆 O 截 x 轴的线段长度为 2
?
/

/

4 ( x0 ? 4 ) y0
2

2

?

1 6 ( x 0 ? 1) y0
2

2

?

4 y0

1 2 ? 3 x0

2

4 3 y0

4 ? x0 ?
2

4 3 y0

y 0 ? 4 3 为定值。

∴⊙ O 必过⊙O 内定点 ( 4 ? 2 3 , 0 ) 。 19. (本小题满分 15 分) 解(Ⅰ)∵ f ( x ) ? x ? (ln x )(ln x ) ? 2 a ln x ? 1 , x ? (0, ? ? ) ∴ f ? ( x ) ? 1 ? [ ? ln x ? (ln x ) ?
1 1 ]? 2a

, ?1?

2 ln x x

?

2a x



??2 分

x x x ∴ g ( x ) ? xf ? ( x ) ? x ? 2 ln x ? 2 a , x ? (0, ? ? )

∴ g ?( x ) ? 1 ? 列表如下:

2 x

?

x?2 x

,令 g ? ( x ) ? 0 ,得 x ? 2 ,
( 2, ∞ ) ?

??4 分

x
g ?( x )

(0, ) 2

2 0 极小值 g ( 2 )

?

?

g (x)



↗ ??6 分 ??8 分 ??10 分 ??11 分

∴ g ( x ) 在 x ? 2 处取得极小值 g ( 2 ) ? 2 ? 2 ln 2 ? 2 a , 即 g ( x ) 的最小值为 g ( 2 ) ? 2 ? 2 ln 2 ? 2 a .
g ( 2 ) ? 2 (1 ? ln 2 ) ? 2 a ,

∵ ln 2 ? 1 ,∴ 1 ? ln 2 ? 0 ,又 a ? 0 ,∴ g ( 2 ) ? 0 . 证明(Ⅱ)由(Ⅰ)知, g ( x ) 的最小值是正数, ∴对一切 x ? (0, ? ? ) ,恒有 g ( x ) ? xf ? ( x ) ? 0 , 从而当 x ? 0 时,恒有 f ? ( x ) ? 0 ,
·7·

故 f ( x ) 在 (0, ∞ ) 上是增函数. ? 证明(Ⅲ)由(Ⅱ)知: f ( x ) 在 (0, ∞ ) 上是增函数, ? ∴当 x ? 1 时, f ( x ) ? f (1) , 又 f (1) ? 1 ? ln 1 ? 2 a ln 1 ? 1 ? 0 ,
2

??12 分 ??13 分 ??14 分

∴ f ( x ) ? 0 ,即 x ? 1 ? ln x ? 2 a ln x ? 0 ,
2

∴ x ? ln x ? 2 a ln x ? 1
2

故当 x ? 1 时,恒有 x ? ln x ? 2 a ln x ? 1 .
2

??15 分

20. (本小题满分 16 分) (Ⅰ) 由条件 an+1=2an2+2an, 得 2an+1+1=4an2+4an+1=(2an+1)2. ∴{bn}是 “平方递推数列” ∴ . lg(2an+1+1) lgbn+1=2lgbn.∵lg(2a1+1)=lg5≠0,∴ =2.∴{lg(2an+1)}为等比数列. lg(2an+1) (Ⅱ)∵lg(2a1+1)=lg5,∴lg(2an+1)=2n 1?lg5,∴2an+1=5


2n

-1

1 2n-1 ,∴an= (5 -1). 2

lg5?(1-2n) ∵lgTn=lg(2a1+1)+lg(2a2+1)+?+lg(2an+1)= =(2n-1)lg5. 1-2 ∴Tn=5
2n-1



(2n-1)lg5 2n-1 lgTn 1 n-1 (3)cn= = n-1 = n-1 =2-? ? , ?2? lg(2an+1) 2 lg5 2 1 n 1-? ? ? 2? 1 1 2 1 n-1 1 n 1 n ∴Sn=2n-[1+ +? ? +?+? ? ]=2n- =2n-2[1-? ? ]=2n-2+2? ? . 2 ?2? 1 ?2? ?2? ?2? 1- 2 1 n 1 n 由 Sn>2008 得 2n-2+2? ? >2008,n+? ? >1005, ?2? ?2? 1 n 1 n 当 n≤1004 时,n+? ? <1005,当 n≥1005 时,n+? ? >1005,∴n 的最小值为 1005. ?2? ?2?

·8·


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