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山西省榆社中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 理


榆社中学高二下学期期中考试数学(理)试卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,有且只有一项符合 题目要求. 1.下列推理过程属于演绎推理的为( ) A.老鼠、猴子与人在身体结构上有相似之处,某种药物先在猴子身上试验,试验成功后再用于人体试验 B.由 1 ? 12 , 1 ? 3 ? 22 , 1 ? 3 ? 5 ?

32 , ? 得出 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? n 2 C.由三角形的三条中线交于一点联想到四面体四条中线(四面体每一个顶点与对面重心的连 线)交于一点 D.通项公式形如 an ? cq n (cq ? 0) 的数列 {an } 为等比数列,则数列 {?2n } 为等比数列

z 1 ? i) ? 1 ? i ? i ,则 z 的共轭复数为( ) 2.若复数 z 满足 (
A.

2 ?1 2 ?1 ? i 2 2

B.

2 ?1 2 ?1 ? i 2 2

C.

1 3 ? i 2 2

D.

1 3 ? i 2 2


3.若 sin 2? ? 1 ? i ( 2 cos ? ? 1) 是纯虚数(其中 i 是虚数单位) ,且 ? ? [0, 2? ) ,则 ? 的值是( A.

?
4

B.

3? 4

C.

5? 4

D.

?
4



5? 4

4.用反证法证明命题: “已知 a , b 为实数,则方程 x 2 ? ax ? b ? 0 至少有一个实根”时,要做的假设是 A.方程 x 2 ? ax ? b ? 0 没有实根 B.方程 x 2 ? ax ? b ? 0 至少有一个实根 C.方程 x 2 ? ax ? b ? 0 至多有两个实根 D.方程 x 2 ? ax ? b ? 0 恰好有两个实根

5 .已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的一条渐近线过点 2, 3 ,且双曲线的一个焦点在抛物线 a 2 b2


?

?

y 2 ? 4 7 x 的准线上,则双曲线的方程为(
(A)

x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 (B) ? ? 1 (C) ? ? 1 (D) ? ?1 21 28 28 21 3 4 4 3
2 S .类比这个结论 a?b?c

6.设△ ABC 的三边长分别为 a, b, c, △ ABC 的面积为 S ,内切圆半径为 r ,则 r ?

可知:四面体 P ? ABC 的四个面的面积分别为 S1 , S 2 , S 3 , S 4 , 内切球的半径为 r ,四面体 P ? ABC 的体积 为 V ,则 r =( )
-1-

A.

V 2V 3V 4V B. C. D. S1+S2+S3+S4 S1+S2+S3+S4 S1+S2+S3+S4 S1+S2+S3+S4

7. 由曲线 y ? A.

x ,直线 y ? x ? 2 及 y 轴所围成的图形的面积为(
C.



10 3

B.4

16 3

D.6 ).

8 若函数 f ? x ? ? x ? a ln x 不是单调函数,则实数 a 的取值范 围是( A. ? 0, ?? ?
2

B. ? ??,0?
x

C. ? ??,0 ?

D. ? 0, ?? ? ).

9 函数 f(x)=(x ﹣2x)e (e 为自然数的底数)的图象大致是(

10. 已知函数 y ? f ( x)( x ? R) 上任一点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线斜率 k ? ( x0 ? 2)( x0 ? 1)2 , 则该函数 f ( x) 的单调 递减区间为( A. [ ?1, ?? ) ) C. (??, ?1),( ?1,2) D. [2, ??)

B. (??,2]

11.已知函数 f ( x) ? ln x, g ? x ? ?

1 2 x ? a (a为常数) ,直线 l 与函数 f ( x), g ? x ? 的图像都相切,且 l 与函 2


数 f ( x) 的图像的切点的横坐标为 1,则 a 的值为( B. ?1 C. ?

A.1

1 2

D. 2

12. 设 y ? f '' ( x) 是 y ? f ' ( x) 的导数. 某同学经过探究发现, 任意一个三次函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d ( a ? 0 )都有对称中心 ( x0 , f ( x0 )) ,其中 x0 满足 f '' ( x0 ) ? 0 .已知 f ( x) ?

1 3 1 2 5 x ? x ? 3x ? ,则 3 2 12

f(

1 2 3 2016 )? f ( )? f ( ) ?? ? f ( )?( ) 2017 2017 2017 2017
B.2014 C.2015 D.2016

A.2013

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. 计算定积分

? ?x
1 ?1

2

? sin x ? dx =

.

14.如图,矩形 OABC 内的阴影部分由曲线 f ?x ? ? sin x 及直线 x ? a?a ? (0,

? ]? 与 x 轴围成的区域,向矩
-2-

形 OABC 内随机掷一点,该点落在阴影部分的概率为

1 ,则 a ? 2



15. 观察下列式子:

1?

1 3 ? , 22 2 1 1 5 1? 2 ? 2 ? , 3 2 3 1 1 1 7 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ,?, 4 2 3 4


根据上述规律,第 n 个不等式应为

16.将甲,乙等 5 位同学分别保送到北京大学,清华大学,浙江大学等三所大学就读,则每所大学至少保送 一人的不同保送的方法数为 种.

三、解答题(共 70 分)
x 2 17. (本小题满分 10 分)已知函数 f ( x) ? e ? x ? ax .若函数 f ( x) 在 R 上是增函数,求实数 a 的最大

值. 18. (本题满分 12 分)数列 ?an ? 满足 a1= 1 , nan+1=(n+ 1)an+n(n+ 1) , n ? N .
*

(1)证明:数列 ? (2)设 bn ?

? an ? ? 是等差数列; ?n?

1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn . an ? an ?1 19. (本小题满分 12 分) 某高校在 2015 年的自主招生考试中随机抽取了 100 名学生的笔试成绩,按成绩分 组:第一组 ?160,165? ,第二组 ?165,170 ? ,第三组 ?170,175? ,第四组 ?175,180 ? ,第五组 ?180,185? 得到的频
率分布直方图如图所示 (Ⅰ)根据频率分布直方图计算出样本数据的众数和中位数; (结果保留 1 位小数) (Ⅱ)为了能选拔出最优秀的学生,学校决定在笔试成绩高的第三、四、五组中用分层抽样 抽取 6 名学生进入第二轮面试,求第三、四、五组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试。 (III)在(Ⅱ)的前提下,学校决定在这 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受甲考官的的面试,求第四组至 少有一名学生被甲考官面试的概率

-3-

(19 题图) 20.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, BC ? (Ⅰ)求 AB 的值。 (Ⅱ)求 sin( 2 A ?

5 , AC ? 3, sin C ? 2 sin A

?
4

) 的值。

21. (本题满分 12 分)如图,在三棱锥 P-ABC 中,PA=PB=AB=2, BC=3,∠ABC=90°,平面 PAB⊥平面 ABC,D、E 分别为 AB、AC 中点. (1)求证:DE∥平面 PBC; (2)求二面角 A-PB-E 的大小

P

D B

18 .

E C

解 : ( 1) 众 数 2 ?x 22. (本小题满分 12 分)已知 f ( x) ? ( x ? ax ? a)e (a ? 2, x ? R). 为 ; (1) 讨论 f ( x) 的单调性,并求出极值; 中 位 (2)是否存在实数 a,使 f ( x) 的极大值为 3,若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由 数 . 为 ┄ ┄ ┄ ┄ ┄ ┄ ┄ (
4

-4-

分 )

高二数学理科答案 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分,请你把正确的选择填在表格中) 题 号 答 案 1 D 2 A 3 A 4 A 5 D 6 C 7 C 8 C 9 A 10 B 11 C 12 D

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)

2 13. 3

14.

?

15.

1?

1 1 1 2n ? 1 ? 2 ??? ? 2 2 n ?1 2 3 (n ? 1)
x x

16. 150

17. 【答案】解: 由题意 f ?( x) ? 0 即 e ? 2 x ? a ? 0 恒成立∴ a ? e ? 2 x 恒成立; 设 h( x) ? e ? 2 x ,则 h?( x) ? e ? 2 .
x x

x
h ?( x)
h( x )

(??, ln 2)

ln 2
0

(ln 2,??)

?
增函数

减函数

极小值

∴ h( x) min ? h(ln 2) ? 2 ? 2 ln 2, ∴ a ? 2 ? 2 ln 2 .∴ a 的最大值为 2 ? 2 ln 2 18.(1)略 ?.(6 分) (2) S n ?

n n ?1

?.(6 分)

19 解: (1)众数为 167.5 ;中位数为 171.7 ┄┄┄┄┄┄┄(4 分) (2)由题设可知,第三组的频率为 0.06×5=0.3 第四组的频率为 0.04×5=0.2 第五组的频率为 0.02 ×5=0. 1 第三组的人数为 0. 3×100=30,第四组的人数为 0. 2×100=20 第五组的人数为 0. 1×100=10, 因为第三、四、五组共有 60 名学生,所以利用分层抽样在 60 名学生中抽取 6 名学生,每组抽到的人 数分别为:第三组
30 ? 6 ? 3 第四组 60 10 ? 6 ? 1 所以第三、四、五组分别抽取 3 人,2 人, 60

第五组

1 人.┄┄┄┄┄┄┄(8 分) (3)设第三组的 3 位同学为 A1 , A2 , A3 ,第四组的 2 位同学为 B1 , B2 , 第五组的 1 位同学为 C1 则从 6 位同学中抽 2 位同学有:

? A A ? , ? A A ? , ? A B ? ,? A B ? , ? A C ? , ? A , A ? , ? A ,B ? ,? A ,B ?
1, 2 1, 3 1, 1 1, 2 1, 1
2 3 2 1 2 2

? A2 , C1 ? , ? A3 , B1 ? , ? A3 , B2 ? , ? A3 , C1 ? , ? B1, B2 ? , ? B1,C1 ? , ? B2,C1 ? 共 15 种可能??????10 分
其 中 第 四 组 的 2 位 同 学 B1 , B2 中 至 少 1 位 同 学 入 选 有 ? A1, B1 ? , ? A1, B2 ? , ? A2 , B1 ? , ? A2 , B2 ? ,

? A3 , B1 ? , ? A3 , B2 ? ? B1, B2 ? , ? B1,C1 ? , ? B2,C1 ? 共 9 种可能????????11 分
所以第四组至少有 1 位同学被甲考官面试的概率为
9 3 ? ???????12 分 15 5

-5-

20. 解 :【 解 析 】( 1 ) 解 : 在 ?ABC

中 , 根 据 正 弦 定 理 ,

AB BC , 于 是 ? sin C sin A

AB ? sin C

BC ? 2 BC ? 2 5 ???6 分 sin A

(2)解:在 ?ABC 中,根据余弦定理,得 cos A ?

AB 2 ? AC 2 ? BC 2 2 AB ? AC

于是 sin A ? 1 ? cos A =
2

5 , 5
4 3 , cos 2 A ? cos 2 A ? sin 2 A ? 5 5

从而 sin 2 A ? 2 sin A cos A ?

sin( 2 A ?

?
4

) ? sin 2 A cos

?
4

? cos 2 A sin

?
4

?

2 ???12 分 10

21.(1) D、E 分别为 AB、AC 中点,?DE∥BC . DE? 平面 PBC,BC? 平面 PBC, ∴DE∥平面 PBC ???5 分

(2)平面 PAB ? 平面 ABC,平面 PAB ? 平面 ABC=AB,PD ? AB,

? PD ? 平面 ABC

. 如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系
P z

3 ,0) , 2 ??? ? ??? ? 3 . ? PB =(1,0, ? 3 ), PE =(0, , ? 3 ) 2
? B(1,0,0),P(0,0, 3 ),E(0,
? x ? 3z ? 0, ? 令z? 3 ? ?3 ? y ? 3z ? 0, ?2
得 n1 ? (3 , 2,3) .

设平面 PBE 的法向量 n1 ? ( x,y,z ) ,

A D B E C y

1 , 0) . DE⊥平面 PAB,? 平面 PAB 的法向量为 n2 ? (0,
设二面角的 A-PB-E 大小为 ? , 由图知, cos ? = cos n1,n2 = 所以 ? =60? ,即二面角的 A-PB-E 的大小为 60? . 22.【答案】解: (1) f ( x) ? (2 x ? a)e
' ' ?x

x

1 = , n1 ? n2 2

n1 ? n2

??????7 分

? e ? x ( x 2 ? ax ? a) ? e ? x [? x 2 ? (2 ? a) x]

令 f ( x) ? 0, 得x ? 0或x ? 2 ? a ? 0 列表如下:

-6-

x

(-∞,0) -

0 0 极小

(0,2-a) +

2-a 0 极大
a ?2

(2-a,+∞) -

f ' ( x)
f ( x)

由表可知 f ( x) 极小 ? f (0) ? a , f ( x)极大 ? f (2 ? a) ? (4 ? a)e (2)设 g (a) ? (4 ? a)e a?2 , g ' (a) ? (3 ? a)e a?2 ? 0

.....................6 分

? g (a)在(??,2)上是增函数 ,? g (a) ? g (2) ? 2 ? 3? (4 ? a)e a?2 ? 3
∴不存在实数 a 使 f(x)最大值为 3 。.......................................12 分 [来源:Z-xk.Com]。

-7-


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