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专题二 高考三角函数与平面向量命题动向


专题二

高考三角函数与平面向量命题动向
高考命题分析

纵观近年各省的高考数学试题, 出现了一些富有时代气息的三角函数与平面向量 考题,它们形式独特、背景鲜明、结构新颖,主要考查学生分析问题、解决问题 的能力和处理交汇性问题的能力.在新课标高考试卷中一般有 2~4 题,分值约 占全卷的 14%~20%,因此,加强这些试题的命题动向研究,对指导高考复习无 疑有十分重要的意义. 现聚焦高考三角函数与平面向量试题,揭秘三角函数与平 面向量高考命题动向, 挖掘三角函数与平面向量常见的考点及其求解策略,希望 能给考生带来帮助和启示. 高考命题特点 新课标高考涉及三角函数与平面向量的考题可以说是精彩纷呈,奇花斗艳,其特 点如下: (1)考小题,重基础:有关三角函数的小题其考查重点在于基础知识:解析式; 图象与图象变换; 两域(定义域、值域);四性(单调性、奇偶性、对称性、周期性); 简单的三角变换(求值、化简及比较大小).有关向量的考查主要是向量的线性运 算以及向量的数量积等知识. (2)考大题,难度明显降低:有关三角函数的大题即解答题,通过公式变形转换 来考查思维能力的题目已经很少, 而着重考查基础知识和基本技能与方法的题目 却在增加.大题中的向量,主要是作为工具来考查的,多与三角、圆锥曲线相结 合. (3)考应用,融入三角形与解析几何之中:既能考查解三角形、圆锥曲线的知识 与方法,又能考查运用三角公式进行恒等变换的技能,深受命题者的青睐.主要 解法是充分利用三角形内角和定理、正、余弦定理、面积公式、向量夹角公式、 向量平行与垂直的充要条件,向量的数量积等. (4)考综合,体现三角的工具作用:由于近几年高考试题突出能力立意,加强对 知识性和应用性的考查, 故常常在知识交汇点处命题,而三角知识是基础中的基 础,故考查与立体几何、解析几何、导数等综合性问题时突出三角与向量的工具 性作用.

高考动向透视 考查三角函数的概念及同角三角函数的 基本关系 高考对本部分内容的考查主要以小题的形式出现,即利用三角函数的定义、诱导 公式及同角三角函数的关系进行求值、变形,或是利用三角函数的图象及其性质 进行求值、求参数的值、求值域、求单调区间及图象判断等,而大题常常在综合 性问题中涉及三角函数的定义、 图象、 诱导公式及同角三角函数的关系的应用等, 在这类问题的求解中,常常使用的方法技巧是“平方法”,“齐次化切”等. π? 1 ? 【示例 1】?(2011· 福建)若 α∈?0,2?,且 sin2α+cos 2α=4,则 tan α 的值等于 ? ? ( 2 A. 2 3 B. 3 C. 2 D. 3 ).

1 3 3 解析 由二倍角公式可得 sin2α+1-2sin2α=4,即-sin2α=-4,sin2α=4,又因 π? 3 π π ? 为 α∈?0,2?,所以 sin α= 2 ,即 α=3,所以 tan α=tan 3= 3,故选 D. ? ? 答案 D 本题考查了三角恒等变换中二倍角公式的灵活运用. 考查三角函数的图象及其性质 三角函数的图象与性质主要包括:正弦(型)函数、余弦(型)函数、正切(型)函数的 单调性、奇偶性、周期性、最值、图象的变换等五大块内容,在近年全国各地的 高考试卷中都有考查三角函数的图象与性质的试题, 而且对三角函数的图象与性 质的考查不但有客观题,还有主观题,客观题常以选择题的形式出现,往往结合 集合、函数与导数考查图象的相关性质;解答题主要在与三角恒等变换、不等式 等知识点的交汇处命题,难度中等偏下. 【示例 2】?(2011· 浙江)

π ?π ? 已知函数 f(x)=Asin?3x+φ?,x∈R,A>0,0<φ<2,y=f(x)的部分图象如图所示, ? ? P,Q 分别为该图象的最高点和最低点,点 P 的坐标为(1,A). (1)求 f(x)的最小正周期及 φ 的值; 2π (2)若点 R 的坐标为(1,0),∠PRQ= 3 ,求 A 的值. 2π 解 (1)由题意得,T= π =6. 3 ?π ? 因为 P(1,A)在 y=Asin?3x+φ?的图象上, ? ? ?π ? 所以 sin?3+φ?=1. ? ? π 又因为 0<φ<2, π 所以 φ=6.

(2)设点 Q 的坐标为(x0,-A), π π 3π 由题意可知3x0+6= 2 ,得 x0=4,所以 Q(4,-A),如图,连接 PQ,在△PRQ RP2+RQ2-PQ2 2π 中 , ∠ PRQ = 3 , 由 余 弦 定 理 得 cos ∠ PRQ = = 2RP· RQ A2+9+A2-?9+4A2? 1 =-2,解得 A2=3.又 A>0,所以 A= 3. 2 2A· 9+A 本题主要考查三角函数的图象与性质、三角运算等基础知识. 求单调区间 高考对三角函数的单调性考查, 常以小题形式呈现,有时也会出现在大题的某一 小问中,属中档题.对于形如 y=Asin(ωx+φ)(或 y=Acos(ωx+φ)),Aω≠0 的单

调区间的求法是:先考虑 A,ω 的符号,再将 ωx+φ 视为一个整体,利用 y=sin x 的单调区间,整体运算,解出 x 的范围即可. ? ?π?? 【示例 3】 ?(2011· 安徽)已知函数 f(x)=sin(2x+φ), 其中 φ 为实数, f(x)≤?f?6?? 若 ? ? ?? ?π? 对 x∈R 恒成立,且 f?2?>f(π),则 f(x)的单调递增区间是( ? ? π π? ? A.?kπ-3,kπ+6?(k∈Z) ? ? π? ? B.?kπ,kπ+2?(k∈Z) ? ? π 2π? ? C.?kπ+6,kπ+ 3 ?(k∈Z) ? ? π ? ? D.?kπ-2,kπ?(k∈Z) ? ? ? ?π?? ?π? ?π ? 解析 因为当 x∈R 时,f(x)≤?f?6??恒成立,所以 f?6?=sin?3+φ?=± 1,可得 φ ? ? ?? ? ? ? ? π 5π ?π? =2kπ+6或 φ=2kπ- 6 .因为 f?2?=sin(π+φ)=-sin φ>f(π)=sin(2π+φ)=sin φ, ? ? 5π? 5π π 5π ? 故 sin φ<0, 所以 φ=2kπ- 6 , 所以 f(x)=sin?2x- 6 ?, 所以由-2+2kπ≤2x- 6 ? ? π 2π? π ? ≤2+2kπ 得,函数的单调递增区间为?kπ+6,kπ+ 3 ?(k∈Z). ? ? 答案 C 本题的亮点是引入参数 φ 与不等式恒成立问题,求解此类问题的关键 是:利用隐蔽条件“正弦函数的有界性”,把不等式恒成立问题转化为含参数 φ 的方程,求出参数 φ 的值,注意利用已知条件剔除增根;求出函数的解析式即可 求其单调递增区间,熟悉正弦函数的单调性可加快求解此类问题的速度. π? ? 【训练】 (2011· 新课标全国)设函数 f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)?ω>0,|φ|<2? ? ? 的最小正周期为 π,且 f(-x)=f(x),则( π? ? A.f(x)在?0,2?单调递减 ? ? ?π 3π? B.f(x)在?4, 4 ?单调递减 ? ? ). ).

π? ? C.f(x)在?0,2?单调递增 ? ? ?π 3π? D.f(x)在?4, 4 ?单调递增 ? ? π? ? 解析 f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)= 2sin?ωx+φ+4?, 由最小正周期为 π 得 ω ? ? π π =2,又由 f(-x)=f(x)可知 f(x)为偶函数,|φ|<2可得 φ=4,所以 f(x)= 2cos 2x π? ? 在?0,2?单调递减. ? ? 答案 A 求最值 高考对三角函数最值的考查,常以小题形式呈现,属中档题.有时也在大题中的 某一步呈现,属中档偏难题,高考常考查以下两种类型:①化成 y=Asin(ωx+φ) 的形式后利用正弦函数的单调性求其最值; ②化成二次函数形式后利用配方法求 其最值. ?π ? ? π? 【示例 4】 ?(2011· 重庆)设 a∈R, f(x)=cos x(asin x-cos x)+cos2?2-x?满足 f?-3? ? ? ? ? ?π 11π? =f(0),求函数 f(x)在?4, 24 ?上的最大值和最小值. ? ? a 解 f(x)=asin xcos x-cos2x+sin2 x=2sin 2x-cos 2x. 3a 1 ? π? 由 f?-3?=f(0)得- 2 ·+2=-1,解得 a=2 3. 2 ? ? π? ? 因此 f(x)= 3sin 2x-cos 2x=2sin?2x-6?. ? ? π ?π π? ?π π? 当 x∈?4,3?时,2x- ∈?3,2?,f(x)为增函数, 6 ? ? ? ? π ?π 3π? ?π 11π? 当 x∈?3, 24 ?时,2x-6∈?2, 4 ?,f(x)为减函数, ? ? ? ? ?π 11π? ?π? 所以 f(x)在?4, 24 ?上的最大值为 f?3?=2. ? ? ? ? ?π? ?11π? 又因为 f?4?= 3,f? 24 ?= 2, ? ? ? ?

?π 11π? ?11π? 故 f(x)在?4, 24 ?上的最小值为 f? 24 ?= 2. ? ? ? ? 本小题主要考查基本三角函数公式,以及运用三角函数公式对相关函 数的解析式进行化简的能力,同时考查数形结合思想. 【训练】 (2011· 上海)函数 y=2sin x-cos x 的最大值为________. 1 2 ?2 ? 解析 注意到 y= 5? sin x- cos x?= 5sin(x-θ).其中 cos θ= ,sin θ= 5 ? 5 ? 5 1 ,因此函数 y=2sin x-cos x 的最大值是 5. 5 答案 5 利用三角恒等变换求三角函数值 三角恒等变换是研究三角函数的图象与性质,解三角形的基础,在前几年的高考 中单独命题的情况很少, 但在今年的高考中加强了对三角恒等变换的考查,大多 是结合三角函数的图象与性质, 解三角形进行命题,但有的省份对三角恒等变换 进行了单独命题,由此可见,高考加大了对三角恒等变换的考查力度,高考命题 考查的重点性质是公式,同角三角函数基本关系,两角和与差的正弦、余弦、正 切公式以及二倍角公式. π? ? 【示例 5】?(2011· 天津)已知函数 f(x)=tan?2x+4?. ? ? (1)求 f(x)的定义域与最小正周期; π? ? ?α? (2)设 α∈?0,4?,若 f?2?=2cos 2α,求 α 的大小. ? ? ? ? 解 π π π kπ (1)由 2x+ 4 ≠ 2 +kπ,k∈Z,得 x≠ 8 + 2 ,k∈Z,所以 f(x)的定义域为

? ? π kπ π ?x∈R|x≠ + ,k∈Z?,f(x)的最小正周期为 . 8 2 2 ? ?

π? ?α? ? (2)由 f?2?=2cos 2α,得 tan?α+4?=2cos 2α, ? ? ? ? π? ? sin?α+4? ? ? 2 2 π?=2(cos α-sin α), ? cos?α+4? ? ?

sin α+cos α 整理得 =2(cos α+sin α)(cos α-sin α). cos α-sin α π? ? 因为 α∈?0,4?,所以 sin α+cos α≠0. ? ? 1 1 因此(cos α-sin α)2=2,即 sin 2α=2. π? π? π π ? ? 由 α∈?0,4?,得 2α∈?0,2?.所以 2α=6,即 α=12. ? ? ? ? 本小题主要考查两角和的正弦、余弦、正切公式,同角三角函数的基 本关系,二倍角的正弦、余弦公式,正切函数的性质等基础知识,考查基本运算 能力. π π 3 ?π ? 1 ?π β? 【训练】 (2011· 浙江)若 0<α<2,-2<β<0,cos?4+α?=3,cos?4-2?= 3 , ? ? ? ? β? ? 则 cos?α+2?=( ? ? 3 A. 3 解析 3 B.- 3 ). 5 3 C. 9 6 D.- 9

β? ? ??π ? ?π β?? ?π ? ?π β? ?π ? 对于 cos ?α+2? =cos ??4+α?-?4-2?? =cos ?4+α? cos ?4-2? +sin ?4+α? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?

?π β? ?π ? ?π 3π? ?π β? ?π π? sin?4-2?,而?4+α?∈?4, 4 ?,?4-2?∈?4,2?. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 6 ?π ? 2 2 ? π β? 因此 sin?4+α?= 3 ,sin?4-2?= 3 , ? ? ? ? β? 1 3 2 2 6 5 3 ? 则 cos?α+2?=3× 3 + 3 × 3 = 9 .故选 C. ? ? 答案 C 三角函数的综合应用 三角函数的综合应用是历年来高考考查的重点、热点问题,新课标高考更加注重 对知识点的综合应用意识的考查, 而且新课标高考在考查的内容以及形式上不断 推陈出新,三角函数不仅可以与集合、函数与方程、不等式等结合命题,而且还 可以结合线性规划知识命题,给今后的命题提出了新的挑战. 【示例 6】?设函数 f(θ)= 3sin θ+cos θ,其中,角 θ 的顶点与坐标原点重合, 始边与 x 轴非负半轴重合,终边经过点 P(x,y),且 0≤θ≤π.

?1 3? (1)若点 P 的坐标为? , ?,求 f(θ)的值; ?2 2 ?

?x+y≥1, (2)若点 P(x,y)为平面区域 Ω?x≤1, ?y≤1
围,并求函数 f(θ)的最小值和最大值.

上的一个动点,试确定角 θ 的取值范



?sin θ= 23, ? (1)由点 P 的坐标和三角函数的定义可得? 1 ?cos θ=2. ?

3 1 于是 f(θ)= 3sin θ+cos θ= 3× 2 +2=2.

(2)作出平面区域 Ω(即三角区域 ABC)如图所示,其中 A(1,0),B(1,1),C(0,1). π 于是 0≤θ≤2. π π 2π ? π? 又 f(θ)= 3sin θ+cos θ=2sin?θ+6?,且6≤θ+6≤ 3 , ? ? π π π 故当 θ+6=2,即 θ=3时, f(θ)取得最大值,且最大值等于 2; π π 当 θ+6=6,即 θ=0 时,f(θ)取得最小值,且最小值等于 1. 本小题主要考查三角函数、不等式等基础知识,考查运算求解能力. 有关解三角形的考查 新课标高考对解三角形的考查,以正弦定理、余弦定理的综合运用为主,在解题 时,要分析清楚题目条件,利用正弦定理、余弦定理转化为三角形中各边之间的 关系或各角之间的关系,并结合三角形的内角和为 180° ,诱导公式,同角三角 函数基本关系,两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行化简求值.在近几年的

高考中,对解三角形的考查力度有所加强,而且更加注重知识点的综合运用,没 有怪题、偏题.下面我们就高考试题研究一下解三角形的问题. 【示例 7】?(2011· 江苏)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. π? ? (1)若 sin?A+6?=2cos A,求 A 的值; ? ? 1 (2)若 cos A=3,b=3c,求 sin C 的值. π π 解 (1)由题设知 sin Acos6+cos Asin6=2cos A.从而 sin A= 3cos A,所以 cos π A≠0,tan A= 3.因为 0<A<π,所以 A=3. 1 (2)由 cos A=3,b=3c 及 a2=b2+c2-2bccos A, 得 a2=b2-c2. π 故△ABC 是直角三角形,且 B=2. 1 所以 sin C=cos A=3. 本小题主要考查三角函数的基本关系式、两角和的正弦公式、解三角 形,考查运算求解能力. 【训练】 (2011· 天津)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 B =C,2b= 3a. (1)求 cos A 的值; π? ? (2)求 cos?2A+4?的值. ? ? 3 解 (1)由 B=C,2b= 3a,可得 c=b= 2 a. 3 2 3 2 a +4a -a2 b2+c2-a2 4 1 所以 cos A= 2bc = =3. 3 3 2× 2 a× 2 a 1 2 2 (2)因为 cos A=3,A∈(0,π),所以 sin A= 1-cos2 A= 3 ,cos 2A=2cos2A-

7 1=-9. 4 2 故 sin 2A=2sin Acos A= 9 . 8+7 2 π? π π ? 7? 2 4 2 2 ? 所以 cos?2A+4?=cos 2Acos 4-sin 2Asin 4=?-9?× 2 - 9 × 2 =- 18 . ? ? ? ? 平面向量共线与垂直 高考对平面向量共线与垂直的考查,常以小题形式出现,属中档题,有时也在大 题的条件中出现, 属中档偏难题.平面向量的坐标表示可使平面向量运算完全代 数化,从而使得我们可以利用“方程的思想”破解向量共线与垂直的问题. 2π 【示例 8】?(2011· 江苏)已知 e1,e2 是夹角为 3 的两个单位向量,a=e1-2e2,b =ke1+e2,若 a· b=0,则实数 k 的值为________.
2 2 解析 由题意知:a· b=(e1-2e2)· 1+e2)=0,即 ke1+e1e2-2ke1e2-2e2=0,即 (ke

2π 2π 5 k+cos 3 -2kcos 3 -2=0,化简可求得 k=4. 5 答案 4 本题从向量数量积为 0 入手, 转化为关于两单位向量数量积的关系式, 再利用两向量数量积定义,转化为含 k 的方程,即可求出 k 的值. 【训练】 (2011· 广东)若向量 a,b,c 满足 a∥b 且 a⊥c,则 c· (a+2b)=( A.4 B.3 C.2 D.0 ).

解析 由 a∥b 及 a⊥c,得 b⊥c,则 c· (a+2b)=c· a+2c· b=0.故选 D. 答案 D 平面向量的夹角 高考对平面向量夹角的考查,常以小题形式出现,属中档题.有时也在大题中出 现,属中档题.两向量夹角公式其实是平面向量数量积公式的变形和应用、有关 两向量夹角问题的考查,常见类型:①依条件等式,运算求夹角,此类问题求解 过程中应关注夹角取值范围;②依已知图形求两向量夹角,此类题求解过程应抓 住“两向量共起点”,便可避开陷阱,顺利求解. 【示例 9】?(2011· 新课标全国)已知 a 与 b 均为单位向量,其夹角为 θ,有下列四

个命题: 2π? ? p1:|a+b|>1?θ∈?0, 3 ?; ? ? ?2π ? p2:|a+b|>1?θ∈? 3 ,π?; ? ? π? ? p3:|a-b|>1?θ∈?0,3?; ? ? ?π ? p4:|a-b|>1?θ∈?3,π?. ? ? 其中的真命题是( A.p1,p4 ). D.p2,p4

B.p1,p3 C.p2,p3

解析 由|a+b|= a2+2a· 2= 2+2cos θ>1, b+b 1 2π 得 2+2cos θ>1,∴cos θ>-2,∴0≤θ< 3 . 由|a-b|= a2-2a· 2= 2-2cos θ>1, b+b 1 π 得 2-2cos θ>1,∴cos θ<2,∴3<θ<π.∴p1,p4 正确. 答案 A 此题考查向量的运算、向量的模及向量的夹角. 平面向量的模 高考对平面向量的模的考查,常以小题形式出现,属中档题,常考查类型:①把 向量放在适当的坐标系中, 给有关向量赋予具体坐标求向量的模, 如向量 a=(x, y), 求向量 a 的模只需利用公式|a|= x2+y2即可求解. ②不把向量放在坐标系中 研究, 求解此类问题的通常做法是利用向量运算法则及其几何意义或应用向量的 数量积公式,关键是会把向量 a 的模进行如下转化:|a|= a2. 【示例 10】?(2011· 辽宁)若 a,b,c 均为单位向量,且 a· b=0,(a-c)· (b-c)≤0, 则|a+b-c|的最大值为( A. 2-1 B.1 C. 2 ). D.2

解析 由已知条件,向量 a,b,c 都是单位向量可以求出,a2=1,b2=1,c2=1, 由 a· b=0,及(a-c)· (b-c)≤0,可以知道,(a+b)· 2=1,因为|a+b-c|2=a2 c≥c +b2 +c2 +2a· b-2a· c-2b· c,所以有|a+b-c|2 =3-2(a· c+b· c)≤1,故|a+b-

c|≤1.故选 B. 答案 B 本小题主要考查了平面向量数量积的运算及应用它解决向量模的问题. 1 【训练】 (2011· 全国)设向量 a,b 满足|a|=|b|=1,a· b=-2,则|a+2b|=( A. 2 解析 选 B. 答案 B 向量的应用 近年的新课标高考, 对于平面向量的应用的考查不仅体现在力学中,还渗透到中 学学科的各个分支,但不论题型如何变化,都是把向量作为工具进行考查的,解 题的关键是把这些以向量形式出现的条件还其本来面目. 【示例 11】?(2011· 湖北)已知向量 a=(1,2),b=(1,-1),则 2a+b 与 a-b 的夹 角等于( ). B. 3 C. 5 D. 7 ).

? 1? 依题意得(a+2b)2=a2+4b2+4a· b=5+4×?-2?=3,则|a+2b|= 3,故 ? ?

π π π 3π A.-4 B.6 C.4 D. 4 解析 2a+b=(3,3), a-b=(0,3), cos 2a+b, 则 〈 a-b〉 = 2 π = 2 ,故夹角为4,选 C. 答案 C 本题主要考查了向量的坐标运算及数量积运算. ?2a+b?· ?a-b? 9 = |2a+b|· |a-b| 3 2×3


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