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浙江省2016年高考数学(理)一轮复习课件:第九章 导数、复数、推理证明-探究课6


高考导航 函数与导数作为高中数学的核心内容,常常与其 他知识结合起来,形成层次丰富的各类综合题,高考对导数 计算的要求贯穿于与导数有关的每一道题目之中,多涉及三 次函数、指数函数、对数函数、正弦函数、余弦函数以及由 这些函数复合而成的一些函数的求导问题;函数的单调性、 极值、最值均是高考命题的重点内容,在选择、填空、解答 题中都有涉及,试题难度不大. 运用导数解决实际问题

是函数应用的延伸,由于传统数学应 用题的位置已经被概率解答题占据,所以在历年高考题中很 少出现单独考查函数应用题的问题,但结合其他知识综合考 查用导数求解最值的问题在每年的高考试题中都有体现.另 外,在压轴题中常考查导数与含参不等式、方程、解析几何 等方面的综合应用等,且难度往往较大. 热点一 利用导数解决函数的单调性问题 函数的单调性是函数在定义域内的局部性质,因此利用 导数讨论函数的单调性时,要先研究函数的定义域,再利用 导数 f′(x) 在定义域内的符号来判断函数的单调性.这类问题 主要有两种考查方式: (1) 判断函数 f(x) 的单调性或求单调区 间.(2)利用函数的单调性或单调区间,求参数的范围. 1-a 【例 1】 已知函数 f(x)=ln x-ax+ x -1(a∈R). (1)当 a=-1 时,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; 1 (2)当 a≤2时,讨论 f(x)的单调性. 解 2 (1)当 a=-1 时, f(x)=ln x+x+ x-1, x∈(0, +∞). 所 x2+x-2 以 f′(x)= x2 ,x∈(0,+∞),因此 f′(2)=1, 即曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为 1. 又 f(2)=ln 2+2,所以曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方 程为 y-(ln 2+2)=x-2,即 x-y+ln 2=0. 1-a (2)因为 f(x)=ln x-ax+ -1, x a-1 ax2-x+1-a 1 所以 f′(x)= -a+ 2 =- ,x∈(0,+∞). x x x2 令 g(x)=ax2-x+1-a,x∈(0,+∞), ①当 a=0 时,g(x)=-x+1,x∈(0,+∞), 所以,当 x∈(0,1)时,g(x)>0,此时 f′(x)<0,函数 f(x)单调递 减;当 x∈(1,+∞)时,g(x)<0,此时 f′(x)>0,函数 f(x)单调 递增; ②当 a≠0 时,由 f′(x)=0, 1 即 ax -x+1-a=0,解得 x1=1,x2=a-1. 2 1 (ⅰ)当 a=2时,x1=x2,g(x)≥0 恒成立,此时 f′(x)≤0,函数 f(x)在(0,+∞)上单调递减; 1 1 (ⅱ)当 0<a<2时,a-1>1>0, x∈(0,1)时,g(x)>0,此时 f′(x)<0,函数 f(x)单调递减; ? ? 1 x∈?1,a-1?时,g(x)<0,此时 ? ? f′(x)>0,函数 f(x)单调递增; f′(x)<0,函数 f(x)单调递减; ?1 ? x∈?a-1,+∞?时,g(x)>0,此时 ? ? 1 (ⅲ)当 a<0 时,由于a-1<0, x∈(0,1)时,g(x)>0,此时 f′(x)<0,函数 f(x)单调递减; x∈(1,+∞)时,g(x)<0,此时 f′(x)>0,函数 f(x)单调递增. 综上所述: 当 a≤0 时,函数 f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递 增; 1 当 a=2时,函数 f(x)在(0,+∞)

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