当前位置:首页 >> 数学 >>

2015-2016学年广州市海珠区高二数学第二学期期末考试模拟试题


2015-2016 学年广州市海珠区高二数学第二学期期末考试 模拟试题
一、选择题(题型注释) 1.复数

i 在复平面上对应的点位于( 3?i
B.第二象限

) C.第三象限 ) D.第四象限

A.第一象限

2.已知 a ? R ,则“ a ? 2 ”是“ a 2 ? 2a ”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 3.已知 sin? ? cos ? ? A.﹣1 B.﹣2

B.必要不充分条件 D.既非充分也非必要条件

2 ,则tan? ?
C.

cos ? 的值为 ( sin ?
D.2



1 2

4.直线 x sin ? ? 2 y ? 2 ? 0 的倾斜角的取值范围是( A. [0, ? ) C. [ 0, B. [0, D. [0,



?

] ? ( ,? ) 4 2 1 1 1 1 5.如图给出的是计算 ? ? ? ? ? ? ? 的值的一个程序框图,其中判断框内应填入 2 4 6 20
的条件是( )

? ] 4

?

3 ] ? [ ? ,? ) 4 4

?

A. i ? 10 C. i ? 20

B. i ? 10 D. i ? 20

6.将函数 f ? x ? ? sin ?2 x ? ? ? 的图象向左平移 对称,则 ? 的一个可能取值为( A. ) C.

?
8

个单位,所得到的函数图象关于 y 轴

3? 4
2

B. 0

?
4

D. ?

?
4


7.求曲线 y ? x 与 y ? x 所围成图形的面积,其中正确的是 ( A. S ?

? ( x ? x )dx
2 0

1

B. S ?

? (x
0

1

2

? x)dx

试卷第 1 页,总 4 页

C. S ?

?

1

0

( y 2 ? y)dy

D. S ?

? (y ?
0

1

y )dy


8.设 l , m, n 为三条不同的直线, ? 为一个平面,下列命题中正确的个数是( ①若 l ? ? ,则 l 与 ? 相交 ②若 m ? ?,n ? ?,l ? m,l ? n, 则l ? ? ③若 l || m , m || n , l ? ? ,则 n ? ? ④若 l || m , m ? ? , n ? ? ,则 l || n A.1 B.2 C.3 D.4

0 9. 如图, 已知 | OA |? 1,| OB |? 3, OA ? OB ? 0 , 点 C 在线段 AB 上, 且 ?AOC ? 30 ,

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

设 OC ? mOA ? nOB ? m, n ? R ? ,则

??? ?

??? ?

??? ?

m 等于( n



A.

1 3

B.3

C.

3 3

D. 3

10.已知曲线 C : y ? 2 x ,点 A(0, ?2) 及点 B(3 , a) ,从点 A 观察点 B ,要使视线不
2

被曲线 C 挡住,则实数 a 的取值范围是( ) . A. (4,+∞) B. (-∞,4) C. (10,+∞) D. (-∞,10) 11.某四面体的三视图如图所示,正视图、俯视图都是腰长为 2 的等腰直角三角形,左 视图是边长为 2 的正方形,则此四面体的四个面中面积最大的为( )

A. 2 2 C. 2 3

B.4 D. 2 6
2

12.设函数 f ( x) 在 R 上存在导数 f ?( x) ,?x ? R ,有 f (? x) ? f ( x) ? x ,在 (0,??) 上 f ?( x) ? x ,若 f (6 ? m) ? f (m) ? 18 ? 6m ? 0 ,则实数 m 的取值范围为( A. [?3,3] B. [3, ??) C. [2, ??) D. (??, ?2] ? [2, ??) )

试卷第 2 页,总 4 页

二、填空题(题型注释) 13.已知关于 x 的二项式 ( x ? 则实数 a 的值为 14.变量 x 、 y 满足条件 ? .
?x ? y ? 1 ? 0 2 ,则 ( x ? 2) ?y ? 1 ? x ? ?1 ?

a
3

x

) n 展开式的二项式系数之和为 32,常数项为 80,

? y 2 的最小值为



15. B, C 所对的边分别为 a , b , c , 且 a , b , c 成等比数列, 若 sin B = 5 , ? ABC 的内角 A,
13

cos B = 12 ,则 a ? c 的值为
ac



16 . f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 函 数 , 且 f ( x ? 3) ? f ( x) ? 3 , f ( x ? 2) ? f ( x) ? 2 ,

f (0) ? 0 ,则 f (2016) ?
三、解答题(题型注释)



17. (本题满分 12 分)已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 2Sn ? 3an ? 3 , ( n ? N ? ). (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)记 bn ?

4n ? 1 , Tn 是数列 {bn } 的前 n 项和,求 Tn . an

18.2012 年中华人民共和国环境保护部批准《环境空气质量标准》为国家环境质量标 准,该标准增设和调整了颗粒物、二氧化氮、铅、笨等的浓度限值,并从 2016 年 1 月 1 日起在全国实施.空气质量的好坏由空气质量指数确定,空气质量指数越高,代表空 气污染越严重,某市对市辖的某两个区加大了对空气质量的治理力度,从 2015 年 11 月 1 日起监测了 100 天的空气质量指数, 并按照空气质量指数划分为: 指标小于或等于115 为通过,并引进项目投资.大于 115 为未通过,并进行治理.现统计如下. 空气质量指数 空气质量类别 甲区天数 乙区天数

(0,35]
优 13 8

(35,75]
良 20 32

(75,115]
轻度污染 42 40[来源

(115,150]
中度污染 20[来源 16

(150, 250]
重度污染 3 2

? 250
严重污染 2 2

(Ⅰ)以频率值作为概率值,求甲区和乙区通过监测的概率; (Ⅱ)对于甲区,若通过,引进项目可增加税收 40(百万元) ,若没通过监测,则治理 花费 5(百万元) ;对于乙,若通过,引进项目可增加税收 50(百万元) ,若没通过监测, 则治理花费 10(百万元) .在(Ⅰ)的前提下,记 X 为通过监测,引进项目增加的税收 总额,求随机变量 X 的分布列和数学期望;

19.如图,在四棱柱 ABCD-PGFE 中,底面 ABCD 是直角梯形,侧棱垂直于底面,AB//DC, o ∠ABC=45 ,DC=1,AB=2,PA=1.

试卷第 3 页,总 4 页

(1)求 PD 与 BC 所成角的大小; (2)求证:BC⊥平面 PAC; (3)求二面角 A-PC-D 的大小.

x2 y 2 20. (12 分)已知直线 x ? y ? 1 ? 0 经过椭圆 S: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点和 a b
一个顶点. (1)求椭圆 S 的方程; (2)如图,M,N 分别是椭圆 S 的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于 P、A 两点,其中 P 在第一象限,过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 C,连接 AC,并延长交椭圆于点 B,设直线 PA 的斜率为 k . ①若直线 PA 平分线段 MN,求 k 的值; ②对任意 k ? 0 ,求证: PA ? PB .

21. (14 分)设 a>1,函数 f(x)=(1+x )e ﹣a. (1)求 f(x)的单调区间; (2)证明 f(x)在(﹣∞,+∞)上仅有一个零点; (3)若曲线 y=f(x)在点 P 处的切线与 x 轴平行,且在点 M(m,n)处的切线与直线 OP 平行, (O 是坐标原点) ,证明:m≤ ﹣1.

2

x

22.在直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程为 ?

?x ? t ?1 ,( t 为参数) ,在以原点 O 为 ?y ? t ? 2

极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? (Ⅰ)直接写出直线 l 、曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设曲线 C 上的点到与直线 l 的距离为 d ,求 d 的取值范围.

3 1 ? 2cos2 ?

.

试卷第 4 页,总 4 页

本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

参考答案 1.B

i i(3 ? i ) 3i ? 1 1 3 1 3 ? ? ? ? ? i ,对应的点为 ( ? , ) ,位于第二象限. 10 10 3 ? i (3 ? i)(3 ? i) 10 10 10
考点:复数的除法运算. 2.A 【解析】 试题分析:∵ a 2 ? 2a ,∴ a ? 0 或 a ? 2 ,∴“ a ? 2 ”是“ a 2 ? 2a ”的充分不必要条件. 考点:充分必要条件. 3.D ∵ sin ? ? cos ? ? 2 ,∴ (sin ? ? cos ? )2 ? 2 ,∴ sin ? cos ? ? ∴ tan ? ?

cos ? sin ? cos ? 1 ? ? ? ?2. sin ? cos ? sin ? sin ? cos ?

1 , 2

考点:平方关系、商数关系. 4.B 设直 线的倾斜角 为 ? , 0 ? ? ? ? ,根据 直线的斜率 的计算方法 ,可 得 AB 的斜率为

k ??

3 3 3 3 3 , 由倾斜角与斜率的关系, 易得 ? , sin? ,易得 ? ?k? ? tan ? ? 3 3 3 3 3

由正切函数的图象,可得 ? 的范围是 [0, 考点:直线的倾斜角. 5.A

?

3 ] ? [ ? ,? ) . 4 4

1 1 1 1 ? ? ? ??? ? 是 10 个数的和,通过程序框图的分析,选 A. 2 4 6 20
考点:程序框图. 6.C ∵函数 f ? x ? ? sin ?2 x ? ? ? 的图象向左平移 ∴ y ? sin(2( x ?

?
8

个单位,

?
8

) ? ? ) ? sin(2 x ?

?
4

? ?) ,

∵所得到的函数图象关于 y 轴对称, ∴

?
4

?? ?

?
2

? k? , k ? Z ,∴ ? ?

?
4

? k? , k ? Z ,所以选 C.

考点:三角函数的图象平移、函数的奇偶性. 7.A 由图象可得: S ?

? ( x ? x )dx .
2 0

1

答案第 1 页,总 10 页

本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

考点:积分运算. 8.C 由于直线与平面垂直是相交的特殊情况,故命题①正确; 由于不能确定直线 m、n 的相交,不符号线面垂直的判定定理,命题②不正确; 根据平行线的传递性, l / / n ,故 l ? ? 时,一定有 n ? ? ,即③正确; 由垂直于同一平面的两条直线平行得 m / / n ,再根据平行线的传递性,即可得 l / / n ,即④ 正确. 故正确的有①③④,共 3 个. 考点:空间中直线与平面之间的位置关系. 9.B 过点 C 作 CE / / OA , CF / / OB ,设 | OC |? a ,有 ?CEB ∽ ?AFC ,∴
0 ∵ ?AOC ? 30 , 则 C F?

BE CE ? ,①, CF AF

1 a ? 2

O, E OF ? CE ?

1 3 a, a , ∴ B E? 3 ? 2 2

AF ? 2 ?

3 3a 6 6 4 3 , OF ? a ,代入①中化简整理可得: a? ? ? OA , 2 2 5 5 5

a 2 3 2 ? ? OB , 2 5 5 ???? ??? ? ??? ? 6 ??? ? 2 ??? ? m ∴ OC ? OE ? OF ? OA ? OB ,∴ ? 3 . 5 5 n OE ?
考点:平面向量的数量积的运算. 10.D 视线最高时为抛物线切线,而且为右上方向,设切线 y ? kx ? 2(k ? 0) 与抛物线方程联立得

2 x 2 ? kx ? 2 ? 0 ,? ? k 2 ? 16 ? 0 ,∴ k ? 4(负的舍去) ,∴切线为 y ? 4 x ? 2 ,取 x ? 3 ,
得 y ? 10 ,B 点只要在此切线下面都满足题意,∴ a ? 10 . 考点:抛物线的简单性质. 11.C
答案第 2 页,总 10 页

本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

由三视图知该几何体为棱锥 S-ABD,如图,其中 SC ? 平面 ABCD;四面体 S-ABCD 的四面体 中 SBD 面的面积最大,三角形 SBD 是边长为 2 2 的等比三角形,所以此四面体的四个面中

面积最大的为

3 ?8 ? 2 3 . 4

考点:简单空间图形的三视图. 12.B 令 g ( x) ? f ( x) ?

1 2 1 1 x ,? g (? x) ? g ( x) ? f (? x) ? x 2 ? f ( x) ? x 2 ? 0 2 2 2

∴函数 g ( x) 为奇函数, ∵ x ? (0 ,

? ?) 时, g / ( x) ? f / ( x) ? x ? 0 ,函数 g ( x) 在 x ? (0 , ? ?) 为减函数, g (0) ? 0 ,所以函数 g ( x) 在 R 上为减函数,

又由题可知, f (0) ? 0 ,

1 1 f (6 ? m) ? f (m) ? 18 ? 6m ? g (6 ? m) ? (6 ? m) 2 ? g ( m) ? m 2 ? 18 ? 6m ? 0 , 2 2


g (6 ? m) ? g (m) ? 0 ,
, ?m ? 3 .

∴ g (6 ? m) ? g (m) ,∴ 6 ? m ? m 考点:函数的奇偶性、单调性. 13.2 ∵二项式 ( x ?

a
3

x

) n 展开式的二项式系数之和为 32,∴ 2n ? 32 ,∴ n ? 5 ,
5 5 ? r a r 5 5 r r 2 6 3 3 , ∴ ? r ? 0, ∴ r ? 3, ∴常数项为 C5 ( 3 ) ? C5 a x a ? 80 , 2 6 x

∵ Tr ?1 ? C ( x )
r 5

5? r

∴a ? 2. 考点:二项式定理. 14.5 变量 x 、 y 满足条件 ?
?x ? y ? 1 ? 0 2 满足的区域如下, ( x ? 2) ?y ? 1 ? x ? ?1 ?

? y 2 表示区域内的点到点

(2, 0) 的距离的平方,由图象可知点 (0,1) 到点 (2, 0) 的距离的平方最大.

答案第 3 页,总 10 页

本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

考点:线性规划. 15. 3 7
2 ∵ a , b , c 成等比数列,∴ b ? ac ,∵ sin B = 5 , cos B = 12 ,∴ ac ? 13 ,

13

ac

2 2 2 2 2 ∴ b ? a ? c ? 2ac cos B ,∴ a ? c ? 37 ,∴ (a ? c)2 ? 63 ,∴ a ? c ? 3 7 .

考点:等比中项、平方关系、余弦定理. 16.2016 ∵ f (2016) ? f (2013) ? 3 ? f (2010) ? 6 ? ?? ? f (0) ? 2016 ? 2016

f (2016) ? f (2014) ? 2 ? f (2012) ? 4 ? ?? ? f (0) ? 2016 ? 2016
? f (2016) ? 2016
考点:函数值. 17. (1)当 n ? 1 时, 2S1 ? 3a1 ? 3 ? 2a1 ? a1 ? 3 ; 当 n ? 2 时, 2Sn ? 3an ? 3,2Sn?1 ? 3an?1 ? 3 , ∴当 n ? 2 时, 2Sn ? 2Sn?1 ? 3(an ? an?1 ) ? 2an ,整理得 an ? 3an?1 . ∴数列 {an } 是以 3 为首项,公比为 3 的等比数列. ∴数列 {an } 的通项公式为 an ? 3n . (2)∵ bn ? 5分 3分 1分

4n ? 1 , an
1 3 1 3

1 1 3 3 1 1 2 1 3 1 n 1 n ?1 ∴ Tn ? 5 ? ( ) ? 9 ? ( ) ? ? ? (4n ? 3)( ) ? (4n ? 1)( ) ,② 3 3 3 3 3
答案第 4 页,总 10 页

1 2 n ?1 n ∴ Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ? 5 ? ( ) ? 9 ? ( ) ? ? ? (4n ? 3)( ) ? (4n ? 1)( ) ,①

本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

由①—②得

2 Tn ? 3

1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 ? ( )1 ? 4[( )2 ? ? ? ( )n ] ? (4n ? 1)( ) n?1 ? ? 4[ ? ( ) 2 ? ? ? ( ) n ] ? (4n ? 1)( ) n?1 3 3 3 3 3 3 3 3 3
1 1 ? (1 ? n ) 1 3 ? (4n ? 1)(1 ) n ?1 ? ? 4? 3 1 3 3 1? 3 1 1 1 ? ? 2(1 ? n ) ? (4n ? 1)( ) n ?1 3 3 3 1 n ∴ 2Tn ? 7 ? ( 4n ? 7)( ) , 3
∴ Tn

10 分

?

7 1 1 ? (4n ? 7)( )n . 2 2 3

12 分

【命题意图】本题考查利用递推关系求通项公式、用错位相减法求数列的前 n 项和.重点突 出对运算及化归能力的考查,属于中档难度.

42 ? 20 ? 13 3 ? . 100 4 40 ? 32 ? 8 4 ? . 乙区通过监测的概率约为 100 5
18. (Ⅰ)甲区通过监测的概率约为 (Ⅱ)随机变量 X 的所有取值为 90, 45,30, ?15 .

4 3 3 ? ? ; 5 4 5 4 1 1 P( X ? 45) ? ? ? ; 5 4 5 1 3 3 P( X ? 30) ? ? ? ; 5 4 20 1 1 1 P ( X ? ?15) ? ? ? ; 5 4 20 所以,随机变量 X 的分布列为: 90 45 30 ?15 X P( X ? 90) ?

P

3 5

1 5

3 20

1 20

所以 EX ? 90 ?

3 1 3 1 3 ? 45 ? ? 30 ? ? 15 ? ? 66 (百万元) . 5 5 20 20 4

考点:离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列

答案第 5 页,总 10 页

本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

19. (1)取的 AB 中点 H,连接 DH,易证 BH//CD,且 BD=CD 所以四边形 BHDC 为平行四边形,所以 BC//DH 所以∠PDH 为 PD 与 BC 所成角 o 因为四边形,ABCD 为直角梯形,且∠ABC=45 , 所以⊥DA⊥AB 又因为 AB=2DC=2,所以 AD=1, 因为 Rt△PAD、Rt△DAH、Rt△PAH 都为等腰直角三角形 所以 PD=DH=PH= 2 ,故∠PDH=60
o

(2)连接 CH,则四边形 ADCH 为矩形, ∴AH=DC 在 Rt△BHC 中,∠ABC=45 , ∴CH=BH=1,CB= 2
2 2 2 o

又 AB=2,∴BH=1 ∴AD=CH=1,AC= 2

∴AC +BC =AB ∴BC⊥AC??6 分 又 PA 平面 ABCD∴PA⊥BC ??7 分 ∵PA∩AC=A∴BC⊥平面 PAC (3)如图,分别以 AD、AB、AP 为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,则由题设可知: A(0,0,0),P(0,0,1),C(1,1,0),D(1,0,0), ??? ? ??? ? ∴ AP =(0,0,1), PC =(1,1,-1)

??? ? ? ?c ? 0 ? m ? AP ? 0 设 m=(a,b,c)为平面 PAC 的一个法向量, 则 ? ??? ,即 ? ? ?a ? b ? c ? 0 ? ? m ? PC ? 0
设 a ? 1 ,则 b ? ?1 ,∴m=(1,-1,0) 同理设 n=(x,y,z) 为平面 PCD 的一个法向量,求得 n=(1,1,1) ∴ cos m, n ?

m ? n 1? 1 ? 1? 0 ? 0 ? 1 1 o ? ? 所以二面角 A-PC-D 为 60 m?n 2 2? 2

考点:二面角的平面角及求法;异面直线及其所成的角;直线与平面垂直的判定 20. (1)在直线 x ? y ? 1 ? 0 中令 x ? 0 得 y ? 1 ; 令 y ? 0 得 x ? ?1

? c ? b ? 1,

? a2 ? 2

x2 ? y2 ? 1 则椭圆方程为 2
(2)① M (? 2,0) , N (0, ?1) ,M、N 的中点坐标为( ?

1 2 2 ,? ) ,所以 k ? 2 2 2

答案第 6 页,总 10 页

本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

x2 2 ? y 2 ? 1,解得 x ? ? ②法一:将直线 PA 方程 y ? kx 代入 2 2 2k ? 1


2 2k ? 1
2

? m ,则 P(m, mk ) , A(?m, ?mk ) ,于是 C (m,0) ,故直线 AB 方程为

y?

0 ? mk k ( x ? m) ? ( x ? m) m?m 2

代入椭圆方程得 (k 2 ? 2) x2 ? 2k 2mx ? k 2m2 ? 4 ? 0 , 由 xB ? x A ?

2k 2 m m(3k 2 ? 2) mk 3 B ( , 2 ) ,因此 k2 ? 2 k2 ? 2 k ?2

??? ? m(3k 2 ? 2) ??? ? mk 3 2mk 2 ?2mk ? m , ? mk ) ? ( , ) ? AP ? (2m, 2mk ) , PB ? ( k2 ? 2 k2 ? 2 k2 ? 2 k2 ? 2 ??? ? ??? ? 2mk 2 ?2mk ? AP?PB ? 2 ? 2m ? 2 ? 2mk ? 0 k ?2 k ?2
? PA ? PB

法二:由题意设 P( x0 , y0 ), A(? x0 , ? y0 ), B( x1, y1 ), 则C( x0 ,0) , ∵ A、C、B 三点共线,?

y y ?y y1 ? 0 ? 1 0, x1 ? x0 2 x0 x1 ? x0

又因为点 P、B 在椭圆上,?

x0 2 y0 2 x2 y2 ? ? 1, 1 ? 1 ? 1 , 2 1 2 1

两式相减得: k PB ? ?

x0 ? x1 2( y0 ? y1 )

? kPAkPB ?
? PA ? PB

y0 x ?x ( y ? y )( x ? x ) [? 0 1 ] ? ? 1 0 0 1 ? ?1 x0 2( y0 ? y1 ) ( x1 ? x0 )( y0 ? y1 )

考点:椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系.
答案第 7 页,总 10 页

本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

21. (1)f'(x)=e (x +2x+1)=e (x+1) ∴f′(x)≥0, 2 x ∴f(x)=(1+x )e ﹣a 在(﹣∞,+∞)上为增函数. (2)证明:由(1)问可知函数在(﹣∞,+∞)上为增函数. 又 f(0)=1﹣a, ∵a>1.∴1﹣a<0 ∴f(0)<0.当 x→+∞时,f(x)>0 成立. ∴f(x)在(﹣∞,+∞)上有且只有一个零点 x 2 (3)证明:f'(x)=e (x+1) , x0 2 设点 P(x0,y0)则)f'(x)=e (x0+1) , x0 2 ∵y=f(x)在点 P 处的切线与 x 轴平行,∴f'(x0)=0,即:e (x0+1) =0, ∴x0=﹣1 将 x0=﹣1 代入 y=f(x)得 y0= ∴
m m

x

2

x

2

.∴ ?10 分



令;g(m)=e ﹣(m+1)g(m)=e ﹣(m+1) , m 则 g'(m)=e ﹣1,由 g'(m)=0 得 m=0. 当 m∈(0,+∞)时,g'(m)>0 当 m∈(﹣∞,0)时,g'(m)<0 ∴g(m)的最小值为 g(0)=0?12 分 m ∴g(m)=e ﹣(m+1)≥0 m ∴e ≥m+1 m 2 3 ∴e (m+1) ≥(m+1) 即: ∴m≤ ?14 分

点评:本题考查了导数在函数单调性和最值上的应用,属于综合应用,在高考中属于压轴题 目,有较大难度. 22. (Ⅰ)直线 l 的直角坐标方程为 x ? y ? 3 ? 0 , 因为 ? ?

3 1 ? 2 cos ?
2

,所以 ? ? 2( ? cos? ) ? 3 ,则 3x ? y ? 3 ,
2 2 2 2
2 2

即曲线 C 的直角坐标方程为 3x ? y ? 3 .

y2 ? 1, (Ⅱ)∵曲线 C 的直角坐标方程为 3x ? y ? 3 ,即 x ? 3
2 2
2

∴曲线 C 上的点的坐标可表示为 cos ? , 3 sin ? .

?

?

答案第 8 页,总 10 页

本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。



?? ? 2sin ? ? ? ? ? 3 ? 1 ? 0 ?6 ?





d?
1 2

c ?? 2
=

?? o

2 ?

?? ? ? ? ? ? ?s ?6 ?

s2 ?

?? ? ni ? ?? ? ? i s 3 s ?6 ? ,∴ d 的最小值为 2

2

2 5 5 2 2 5 2 , d 的最大值为 .∴ , ?d? = 2 2 2 2 2
? 2 5 2? , ?. 2 ? ? 2

即 d 的取值范围为 ?

考点:1.曲线的参数方程、极坐标方程与普通方程的转化;2.点到直线的距离公式.

(21)(本小题满分 12 分) 已知 a ? R ,函数 f ? x ? ? e ? ax , g ? x ? 是 f ? x ? 的导函数,
x 2

(Ⅰ)当 a ? 0 时,求证:存在唯一的 x0 ? ? ?

? 1 ? , 0 ? ,使得 g ? x0 ? ? 0 ; ? 2a ?

(Ⅱ)若存在实数 a , b ,使得 f ? x ? ? b 恒成立,求 a ? b 的最小值.

(21) (Ⅰ) 证明: ∵ g ? x ? ? f ? ? x ? ? e ? 2ax , ------------------------1 g? ? x ? ? e ? 2a ,
x x

分 当 a ? 0 时, g? ? x ? ? 0 ,∴函数 g ? x ? 在(-?,+?)上的单调递增, ------------------------2 分 又 g??
? ? 1 ? 2a ? ? e ? 1 ? 0 , g ? 0? ? 1 ? 0 , ? 2a ? 1

------------------------------------------------------3 分 ∴存在唯一的 x0 ? ? ?

? 1 ? , 0 ? ,使得 g ? x0 ? ? 0 ; ? 2a ?

-----------------------------------------------4 分 (Ⅱ)解: (1)当 a ? 0 时,则当 x ? (??,0) 时, g ( x) ? 0 ,即函数 f ( x) 在 (??, 0) 上单 调递增,且当 x ??? 时, f ( x) ? ?? ,这与 f ( x) ? b 矛盾; ---------------------------5 分
答案第 9 页,总 10 页

本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

x (2)当 a ? 0 ,由 e ? b ,得 b ? 0 ,∴ a ? b ? 0 ;

------------------------------------------6 分 (3)当 a ? 0 ,由(Ⅰ)知当 x ? ? ??, x0 ? 时, g ( x) ? 0 ;当 x ? ? x0 , ??? 时, g ( x) ? 0 ; 即 f ? x ? 在 ? ??, x0 ? 上单调递减,在 ? x0 , ?? ? 上单调递增, ----------------------------------7 分 ∴ f ? x ?min ? f ? x0 ? , ----------------------------------------------------------------------------------8 分 其中 x0 满足 e 0 ? 2ax0 ? 0 ,故 a ? ?
x

e x0 且 x0 ? 0 , 2 x0

∵ f ? x ? ? b 恒成立,∴ b ? f ( x0 )
x 2 即 ?b ? ?e 0 ? ax0 , 于是 a ? b ? a ? e 0 ? ax0 ? ?e 0 ? 1 ?
x 2 x

? ?

x ? 1 ? 0 ?, ------------------9 2 x0 2 ?
-----------------10 ?,

分 记 h( x) ? ?e (1 ?
x

1 x 1 x 2 ? ) ,x ? 0 , ) ? e x? 1 ? x ? 则 h('x ? ?1 2 2x 2 2x

分 由 h '( x) ? 0 得 x ? ?1 ,即函数 h( x) 在 (??, ?1) 上单调时递减,

h '( x) ? 0 得 ?1 ? x ? 0 ,即函数 h( x) 在 (?1, 0) 上单调递增,
1 , e 1 综上得 a ? b 的最小值为 ? ,此时 e
∴ h( x) min ? h( ?1) ? ?

x0 ? ?1 .--------------------------------------------------12 分

答案第 10 页,总 10 页


相关文章:
广州市海珠区2015-2016学年七年级第二学期期末调研测试...
广州市海珠区2015-2016学年七年级第二学期期末调研测试数学试卷_数学_初中教育_教育专区。广州市海珠区2015-2016学年七年级第二学期期末调研测试数学试卷 ...
2015-2016学年高二第二学期期末测试数学理试题带答案
2015-2016 学年度第二学期高二期末调研测试 数学 (理科)试题Ⅰ (全卷满分 160 分,考试时间 120 分钟) 2016.06 注意事项: 1. 答卷前,请考生务必将自己的学校...
广州市海珠区2015-2016学年八年级第二学期期末调研测试...
广州市海珠区2015-2016学年八年级第二学期期末调研测试数学试卷_数学_初中教育_教育专区。广州市海珠区2015-2016学年八年级第二学期期末调研测试数学试卷 ...
广东省广州市海珠区2015-2016学年高一下学期期末考试数...
广东省广州市海珠区2015-2016学年高一下学期期末考试数学试题带答案_数学_初中教育_教育专区。海珠区 2015-2016 学年第二学期期末联考试题 高一数学 本试卷共4页,...
2015-2016学年广东省广州市第二中学高二下学期期末考试...
暂无评价|0人阅读|0次下载 2015-2016学年广东省广州市第二中学高二下学期期末考试数学理试题(扫描版)_高二数学_数学_高中教育_教育专区。 +...
2015-2016学年度下学期高二期末考试模拟试题答案
2015-2016学年度学期高二期末考试模拟试题答案_高二数学_数学_高中教育_教育专区。高二期末考试模拟试题答案 2015-2016 学年度学期高二期末考试模拟试题 理科数学...
广东省广州市海珠区2015-2016学年八年级数学上学期期末...
广东省广州市海珠区2015-2016学年八年级数学学期期末考试试题(含解析) 新人教版_数学_初中教育_教育专区。广东省广州市海珠区 2015-2016 学年八年级数学上学期...
2015-2016学年高二第二学期期末测试数学文试题带答案
2015-2016 学年度第二学期高二期末调研测试 数学 (文科)试题 (全卷满分 160 分,考试时间 120 分钟) 2016.06 注意事项: 1. 答卷前,请考生务必将自己的学校、...
2015-2016学年高二下学期期末考试数学(文)试题带答案
2015-2016学年高二下学期期末考试数学(文)试题带答案_数学_高中教育_教育专区。2015—2016 学年第二学期期末考试 高二数学(文) 考试时间:120 分钟 试卷满分:150...
广州市海珠区2015-2016学年第二学期期末调研测试七、八...
广州市海珠区2015-2016学年第二学期期末调研测试七、八年级数学试卷(清晰扫描版)_数学_初中教育_教育专区。广州市海珠区2015-2016学年第二学期期末调研测试七、八...
更多相关标签: