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1、集合与常用逻辑用语(学生版)


集合
一:集合的含义及其关系 1.集合中的元素具有的三个性质:___________、__________、____________; 2.集合的 3 种表示方法:___________、__________、____________; 3.集合中元素与集合的关系: 文字语言 符号语言

4.常见集合的符号表示 数集 符号 二: 集合间的基本关系 关

系 相等 文字语言 符号语言 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 复数集

子集

真子集

空集 集合的子集个数: 若集合 A 中有 n (n ? N ) 个元素, 则集合 A 的所有不同的子集个数为______, 所有真子集的个数是_________, 所有非空真子集的个数是___________. 三:集合的基本运算 1.两个集合的交集: A 2.两个集合的并集: A

B= B=

__________________; ; __________________ _________________.

3.设全集是 U,集合 A ? U ,则 CU A ?

1

四:方法指导 1.对于集合问题,要首先确定属于哪类集合(数集、点集或某类图形) ,然后确定处理此类 问题的方法. 2.关于集合的运算,一般应把各参与运算的集合化到最简,再进行运算. 3.含参数的集合问题,多根据集合元素的互异性来处理. 4.集合问题多与函数、方程、不等式有关,要注意各类知识的融会贯通.解决问题时常用数 形结合、分类讨论等数学思想. 五:典型例题 题型一:集合的概念 例 1.已知全集 U ? R ,集合 M ? {x ?2 ? x ?1 ? 2} 和 N ? {x x ? 2k ?1, k ? 1,2, } 的关 系的韦恩(Venn)图如图 1 所示,则阴影部分所示的集合的元素共有 ( )

A. 3 个 C. 1 个 题型二:集合的关系
2 例 2.集合 A ? ?0, 2, a? , B ? 1, a ,若 A

B. 2 个 D. 无穷多个

?

?

B ? ?0,1,2,4,16? ,则 a 的值为
D.4

(

)

A.0

B.1

C.2

例 3.设全集 U=R,A={x∈N︱1≤x≤10},B={ x∈R︱x + x-6=0},则下图中阴影表示的集 合为 ( ) A.{2} C.{-3,2} B.{3} D.{-2,3}

2

例 4.若集合 A ? ? x log 1 x≥ ? ,则 CR A ? (

? ? ? ?

2

1? ? 2? ?

)

A. ? ??, 0? ? (

2 , ??) 2

B. (

2 , ??) 2

C. ? ??, 0? ? ?

? 2 ? , ?? ? ? ? 2 ?

D. ?

? 2 ? , ?? ? ? ? 2 ?

例 5. 设集合 P={m|-1<m≤0},Q={m∈R|mx +4mx-4<0 对任意实数 x 恒成立},则下列关 系中成立的是 ( ) A.P Q B.Q P C.P=Q D.P∩Q=Q

2

2

例 6. 已知二次函数 f(x)=ax +x 有最小值,不等式 f(x)<0 的解集为 A. (1)求集合 A; (2)设集合 B={x||x+4|<a},若集合 B 是集合 A 的子集,求 a 的取值范围.

2

例 7. 已知集合 A ? x 0 ? ax ? 1 ? 5 ,集合 B ? ? x ?

?

?

? ?

(1)若 A ? B ,求实数 a 的取值范围; (2) A , B 能否相等?若能,求出 a 的值;若不能,试说明理由.

1 ? ? x ? 2? . 2 ?

题型三:集合的运算 例 8.已知集合 A ? 1,3,5,7,9? , B ? ?0,3,6,9,12? ,则 A A. 1,5,7? C. 1,3,9?

?

CN B ? (

)

? ?

B. 3,5,7? D. 1, 2,3?

?

?

例 9.设 U= ?0,1,2,3? ,A= x ?U x ? mx ? 0 ,若
2

?

?

U

A ? ?1, 2? ,则实数 m=_________.

例 10.若 U ? {n n 是小于 9 的正整数 } , A ? {n ?U n 是奇数 } ,

B) ? B ? {n ?U n 是 3 的倍数 } ,则 ? U (A



x 例 11.若 A ? x ? R x ? 3 , B ? x ? R 2 ? 1 ,则 A

?

?

?

?

B?



例 12.已知集合 M ? {?1,1} , N ? {x | A. {?1,1} B. {0} C. {?1}

1 ? 2 x ?1 ? 4, x ? Z } ,则 M 2

N ?(

).

D. {?1, 0}
3

例 13.设集合 A ? {x | log2 x ? 1} , B ? {x |

x ?1 ? 0} ,则 A B ? x?2

.

例 14.已知函数 f ( x) ? 定义域集合是 B (1)求集合 A、B

x ?1 的定义域集合是 A,函数 g ( x) ? lg[ x2 ? (2a ? 1) x ? a 2 ? a] 的 x?2

(2)若 A U B=B,求实数 a 的取值范围.

题型四:图解法解集合问题 例 15. 已知集合 A ? {( x , y ) | x , y为实数,且 x2 ? y 2 ? 1} , B ? {( x, y) | x, y 为实数,且

x ? y ? 1} ,则 A B 的元素个数为(
A.4 B.3 C.2

). D.1

例 16.设集合 A ? {? x, y ? | ( )

x2 y 2 ? ? 1} , B ? {( x, y) | y ? 3x } ,则 A ? B 的子集的个数是 4 16

A.4 B.3 题型五:创新题型

C.2

D.1

例 17.对于复数 a , b , c , d ,若集合 S ? {a, b, c, d } 具有性质“对任意 x, y ? S ,必有

? a ?1 ? 2 xy ? S ” ,则当 ? b ? 1 时, b ? c ? d 等于( ?c 2 ? b ?
A .1 B . ?1 C . 0 D . i



4

例 18.已知 P ? {a a ? (1,0) ? m(0,1), m ? R} , Q ? {b b ? (1,1) ? n(?1,1), n ? R} 是两个向 量集合,则 P

A . {(1,1)}

) Q ?( B . {(?1,1)}

C . {(1, 0)}

D . {(0,1)}

例 19. 设 D 是 正 ?P 1P 2P 3及 其 内 部 的 点 构 成 的 集 合 , 点 P 0 是 ?PP 1 2P 3 的中心.若集合

S 表示的平面区域是( S ? {P | P ? D,| PP 0 |?| PP i |, i ? 1, 2,3} ,则集合
A.三角形区域 B.四边形区域 C.五边形区域 D.六边形区域



例 20.设 A 是整数集的一个非空子集,对于 k ? A ,如果 k ? 1 ? A ,且 k ? 1 ? A ,那么称 k 是 A 的一个“孤立元” .给定 S ? {1, 2,3, 4,5,6,7,8},由 S 的 3 个元素构成的所有集合中, 不含“孤立元”的集合共有 个.

例 21.设 S 为复数集 C 的非空子集,若对任意 x, y ? S ,都有 x ? y , x ? y , xy ? S ,则 称 S 为封闭集,下列命题: ①集合 S ? {a ? bi

a , b 为整数, i 为虚数单位 } 为封闭集; ②若 S 为封闭集,则一定有 0 ? S ;
③封闭集一定是无限集; ④若 S 为封闭集,则满足 S ? T ? C 的任意集合 T 也是封闭集. 其中真命题是 . (写出所有真命题的序号)

六:课后练习

1. 设全集 U ? R, A ? x x( x ? 3) ? 0 , B ? x x ? ?1 , 则右图中阴影部分表示的集合为 ( )

?

?

?

?

A. x x ? 0 ;B. x ?3 ? x ? 0 ;C. x ?3 ? x ? ?1 ;D. x x ? ?1 2.已知 A ? x x(1 ? x) ? 0 , B ? x log 2 x ? 0

?

?

?

?

?

?

?

?

U

A

B

?

?

?

?

则A

B =(



A. (0,1) ;B. (0, 2) ;C. (??,0) ;D. (??,0)

(0, ? ??
. )

3.设集合 A={5,log2(a+3)},集合 B={a,b},若 A∩B={2},则 A∪B=

4.已知集合 M ? ( x, y) x ? y ? 2 , N ? ( x, y) x ? y ? 4 ,那么集合 M ? N 为( A. x ? 3, y ? ?1 ;B. (3,?1) ;C. ?3,?1? ;D. ?(3,?1)? 5.若集合 S ? y y ? 3 , x ? R , T ? y y ? x ? 1, x ? R ,则 S ? T 是(
x 2

?

?

?

?

?

?

?

?



A. S ;B. T ;C. ? ;D. 有限集
5

6.已知集合 M= ? x | A. ? C. [?3,3]

? ?

x2 y2 ? x y ? ? ? ? 1? ,N= ? y | ? ? 1? ,则 M ? N ? ( 9 4 ? 3 2 ? ?
B. {(3,0), (2,0)} D. ?3,2?



7.定义集合运算 : A ? B ? z ? x y ? xy , x ? A, y ? B ,设集合 A ? ? 1,0?, B ? ?2,3?,则
2 2

?

?

集合 A ? B 的所有元素之和为

.

8.设 A、 B 是非空集合, 定义 A? B ? {x x ? A ? B且x ? A ? B}, 已知 A= {x | y ? B= { y | y ? 2x , x ? 0} ,则 A×B 等于( A. ?0, ??? ;B. ?0,1? )

2x ? x2 },

?2, ??? ;C. ?0,1? ?2, ??? ;D. ?0,1?

(2, ??)
a ? P(除 b

9.设 P 是一个数集, 且至少含有两个数, 若对任意 a, b ? P , 都有 a ? b, a ? b, ab,

数b ? 0 ) ,则称 P 是一个数域.例如有理数集 Q 是数域.有下列命题: (1)数域必含有 0 和 1 两个数; (2)整数集是数域; (3)若有理数集 Q ? M ,则数集 M 必为数域; (4)数域必 为无限集.其中正确的命题的序号是
2 2

.
2

10.已知集合 A={x|x -2x-3≤0},B={x|x -2mx+m -4≤0,x∈R,m∈R}. (1)若 A∩B=[0,3],求实数 m 的值; (2)若 A??RB,求实数 m 的取值范围.

6

常用逻辑用语
一:知识体系总览 四种命题 命题及其关系 充分条件与必要条件 或 简单的逻辑联结词 且 非 或 量词 全称量词与存在量词 并集 交集 补集 全称量词 存在量词 含有一个量词的否定 1.命题的四种形式与相互关系 原命题:___________; 逆命题:___________; 否命题:___________; 逆否命题:___________ 原命题与逆否命题互为逆否,_______; 逆命题与否命题互为逆否,________; 2.充分条件和必要条件 若 p ? q ,则 p 是 q 的充分条件, q 是 p 的必要条件; 若 p ? q ,则 p 是 q 的充要条件。
王新敞
奎屯 新疆

常 用 逻 辑 用 语

运算

原命题 若 p则 q 互 否 否命题 若 ┐p则 ┐q

互 逆 互 为 为 互 否

逆命题 若 q则 p 互 否 逆否命题 若 ┐q则 ┐p



逆 否

互 逆

3.逻辑联结词“非” 、 “且”和“或” (1)“非 p” ┐p 形式的复合命题真假: 当 p 为真时,非 p 为假; 当 p 为假时,非 p 为真. (真假相反) p 非p 真 假 (2)“p 且 q” p∧q 形式的复合命题真假: 当 p、q 为真时,p 且 q 为真;当 p、q 中至少有一个为假时,p 且 q 为假. (一假必假) p q p且q 真 真 假 假 真 假 真 假

(3)“p 或 q” p∨q 形式的复合命题真假: 当 p、q 中至少有一个为真时,p 或 q 为真;当 p、q 都为假时,p 或 q 为假. (一真必真) p q P或q 真 真 假 假 真 假 真 假
7

4.全称量词与存在量词 数学命题中出现“全部”、 “所有”、 “一切”、 “任何”、 “任意”、 “每一个”等与“存 在着”、“有”、“有些”、“某个”、“至少有一个”等的词语,在逻辑中分别称为全称 量词与存在性量词(用符号分别记为“ ? ”与“ ? ”来表示) ;由这样的量词构成的命题 分别称为全称命题与存在性命题。 一般地,全称命题 P:? x?M,有 P(x)成立;其否定命题┓P 为:?x∈M,使 P(x)不 成立。存在性命题 P:?x?M,使 P(x)成立;其否定命题┓P 为:? x?M,有 P(x)不成立。 用符号语言表示: P:??M, p(x)否定为? P: ______________; P:??M, p(x)否定为? P: ______________. 二:典型例题 题型一:命题及其关系、充分条件与必要条件 例 1.命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是( ) A.“若一个数是负数,则它的平方不是正数” B.“若一个数的平方是正数,则它是负数” C.“若一个数不是负数,则它的平方不是正数” D.“若一个数的平方不是正数,则它不是负数”

例 2.命题“若函数 f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数,则 loga2<0”的逆否命 题是( ) A.若 loga2≥0,则函数 f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内不是减函数 B.若 loga2<0,则函数 f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内不是减函数 C.若 loga2≥0,则函数 f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数 D.若 loga2<0,则函数 f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数 例 3.“ x ? 1 ? 2 ”是“ x ? 3 ”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件

) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

例 4.“a=1”是“直线 x+y=0 和直线 x-ay=0 互相垂直”的( A.充分而不必要条件 C.充要条件 例 5.“ m ? B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

1 ”是“直线 (m ? 2) x ? 3my ? 1 ? 0与直线 (m ? 2) x ? (m ? 2) y ? 3 ? 0 相互 2
B.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件 条件.

垂直”的( ) A.充分必要条件 C.必要而不充分条件

例 6.“a=2”是“直线 ax+2y=0 平行于直线 x+y=1”的

例 7.设 m,n 是整数,则“m,n 均为偶数”是“m+n 是偶数”的

条件.

8

例 8.若集合 A={1,m },集合 B={2,4},则“m=2”是“A∩B={4}”的

2

条件.

例 9.在△ABC 中, “sin2A=

3 ”是“A=30°”的 2

条件.

题型二:逻辑联结词、全称量词与存在量词 2 例 10.已知命题 p: ? x∈R,使 tanx=1,命题 q:x -3x+2<0 的解集是{x|1<x<2},下列结 论: ①命题“p∧q”是真命题; ②命题“p∧ ? q ”是假命题; ③命题“ ? p ? q ”是真命题; ④命题“ ? p ? ? q ”是假命题. 其中正确的是 (填序号).

例 11.下列有关命题的说法正确的是 ( ) 2 2 A.命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为:“若 x =1,则 x≠1” 2 B.“x=-1”是“x -5x-6=0”的必要不充分条件 2 2 C.命题“? x∈R,使得 x +x+1<0”的否定是:“? x∈R,均有 x +x+1<0” D.命题“若 x=y,则 sin x=sin y”的逆否命题为真命题

例 12. 已知两个命题 r(x):sin x+cos x>m,s(x):x +mx+1>0.如果对? x∈R,r(x)与 s(x)有且仅有一个是真命题,求实数 m 的取值范围.

2

2 例 13.给定两个命题, P :对任意实数 x 都有 ax ? ax ? 1 ? 0 恒成立; Q :关于 x 的方程

x 2 ? x ? a ? 0 有实数根.如果 P ∨ Q 为真命题, P ∧ Q 为假命题,求实数 a 的取值范围.

三:课后练习 1.设 x ? R, 则“x ? 1 的( ”是“x ? x”
3



A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2.“ a ? c ? b ? d ”是“ a ? b 且 c ? d ”的( ) A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.已知 a , b 是实数,则“ a ? 0 且 b ? 0 ”是“ a ? b ? 0 且 ab ? 0 ”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件
9



B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4.“ x ? 1 ? 2 成立”是“ x( x ? 3) ? 0 成立”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 π 1 5. “α = ”是“cos 2α = ”的 6 2 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件



B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ( B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

2 6.已知命题 p : “若 X>1,则 x ? 1 ? 0 ” ,则( 2 A. ? p :若 ?x ? 1 ,则 x ? 1 ? 0 2 C. ? p :若 ?x ? 1 ,则 x ? 1 ? 0



2 B. ? p :若 X>1,则 x ? 1 ? 0 2 D. ? p :若 x ? 1 ? 0 ,则 X ? 1

7.如果命题“ ? p ”是真命题,同时命题“p ? q”是真命题,那么下列命题中一定是真命题 的是( ) A.p ? ? q B. ? p ? q C. ? q D. p ? q

8.已知命题 p : x ?1 ? 2, q : x ? Z , 若“p ? q ” 与“?q ”同时为假命题,求 x 的值.

10


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