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更高更妙的物理:专题10 曲线运动的动力学解专题


专题 10 曲线运动的动力学解 专题 7 《曲线运动曲直谈》中,我们从运动学角度研究了曲线运动,在那里,我们熟悉 了描述曲线运动的运动学方法, 对圆周运动与抛体运动的运动学规律做了较深入的研究。 在 这个专题里, 我们将从动力学角度研究曲线运动, 即掌握各种曲线运动形成及运动状态变化 的原因,这对于人们能动地掌控曲线运动是至为重要的。 牛顿第二定律阐述了力与加速度的普遍关系, 通

俗地说就是: 什么样的力产生什么样的 加速度。在曲线运动中,我们通常将物体所受外力沿切线方向分量的代数和 力,而外力沿法线方向分量的代数和

?F

?F

t

称为切向

n

称为法向力。切向力产生切向加速度、决定曲线

运动物体速率变化的快慢,法向力产生法向加速度、决定物体运动方向变化的快慢。在曲线 运动中,牛顿第二定律的切向与法向的分量式(动力学方程)为

? F t ? mat ? m

?v v2 ; ? F n ? man ? m 。 ?t ?

当物体所受外力与运动速度方向不在同一直线时,物体一定做曲线运动,其中,若物体 所受外力为恒力,物体做匀变速曲线运动,例如抛体运动;若物体所受外力方向与运动方向 总垂直,则切向加速度为零,物体做匀速率的曲线运动,例如做等距螺旋线运动的物体;再 如物体所受总垂直于速度的方向的外力大小不变, 则法向加速度大小不变, 这就是匀速圆周 运动。 动力学方法求解曲线运动的加速度, 首先要作好两项分析, 即物体的受力情况分析与运 动情况分析, 当外力与运动方向不在同一直线的情况下, 通常将物体所受各力按运动速度的 切向与法向作正交分解,通过建立两个方向上的牛顿第二定律的分量式求得。 【例 1】如图所示,滑块 A 的质量为 M ,由于绳子的牵引而沿水 平导轨滑动,绳子的另一端缠绕在半径为 r 的鼓轮 O 上,鼓轮以 等角速度 ? 转动。不计导轨与滑块间的摩擦,求绳子的拉力 FT 与 距离 x 之间的关系。 【分析与解】先分析滑块 A 受力:重力 Mg 、导轨支持力 FN ,绳 子拉力 FT ;再分析滑块的运动:速度沿导轨的运动可视作沿绳向 绳与轮切点 B 的平动及以切点 B 为中心的转动的合成,这两个方 向的分运动速度分别为 vn ? r? , vt ? r? ? tan ? , 其中 ? 为对应于 x ,绳与导轨的夹角。以切点为中心转动的 分运动的向心加速度由该方向的合力产生。如图所示,取 AB 方 向为 x 轴正方向建立直角坐标系 xOy ,并按坐标方向正交分解滑 块所受各力,则由牛顿第二定律,在 x (轴)方向有

vt2 FT ? FN sin ? ? Mg sin ? ? M 。 x cos ?
又由于滑块实际运动方向沿水平导轨,故在竖直方向满足 Mg ? FT sin ? ? FN 。 由以上两式可得

FT (1 ? sin 2 ? ) ? M
注意到

(r? tan ? ) 2 , x cos ?

sin ??

r , cos ? ? x

x2 ? r 2 , x



FT ? M

(r? tan ? ) ? x cos3 ?
2

Mr 2? 2(

r
2 2 2

x ?r x ? r2 3 x?( ) x

)

2



整理后即可得到 FT 与 x 的关系为

FT ?

Mr 4? 2 x 2 (x ? r )
2 5 2 2



竖直平面内的圆周运动有一些规律性的结论,我们略作些盘 点。首先,在竖直平面内发生的圆周运动,是有重力参与提供向 心力的,如果没有其他切向力,竖直面上的圆周运动肯定是非匀 速率的,机械能是守恒的,在水平直径以上,各点均存在一速度 的临界值。如图所示,小物体连接在轻杆一端,在竖直平面内绕 杆的另一端做圆周运动,通过水平直径以上位置,杆与水平线间 的夹角为 ? 并正沿圆周向上运动时。将重力沿切向与法向分解, 可知,重力的切向分力 mg cos ? ,方向与速度方向相反,说明物 体正做减速率地运动;重力的法向分力 mg sin ? 与杆的拉力的合 力作为向心力,应有

FT ? mg sin ? ? m

v2 , R

式中 R 为圆轨道半径。从该式可知,线速度 v 越大,沿轨道运动通过该点时的加速度越 大,所需向心力越大,这要靠杆的拉力来适调,因为杆的拉力是微小形变引起的弹力,是一 种“适应性力”而重力则是恒力。若速度 v 较小,向心加速度较小,致使只须重力的法向分 量提供向心力即可,即
2 v0 , v0 ? Rg sin ? , R 这时杆上的弹力为零.若小物体速度小于 v0 ,杆上弹性拉力将转为支持力,此时有

mg sin ? ? m

mg sin ? ? FT ? m
故 v0 ?

v2 。 R

杆恰无形变, 弹力为零。 Rg sin? 是杆牵引小物体在竖直平面内做圆周运动时,

杆对小物体的作用效果在“拉”与“推”之间转换的临界速度,而小物体能在竖直面内做完 整的圆周运动的条件是到达最高点时的速度 v ? 0 。

若用绳来替换杆,如图甲所示,因绳对小物体不可能产生支持力作用,则在达到临界速 度 v0 时,绳长仍为 R 但已不张紧,这是物体能在半径为 R 的竖直圆轨道运动的临界状态, 此后绳完全松弛,小物体只受重力作用而做抛体运动。这说明,对应于绳与水平线成 ? 角的 位置,物体可沿圆周运动的最小速度 vmin ?

Rg sin? ,在最高点,这一临界速度值应为

Rg ,小物体做完整的竖直平面内的圆周运动的条件是通过最高点时的速度不小于 Rg 。

再若将杆替换成环形轨道,如图乙所示,小物体沿光滑轨道外侧运动时,由于轨道对小物体 只可能产生 “顶” 的作用效果, 故 v0 ?

Rg sin? 就成为小物体不脱离轨道可取的最大速度,

而要在轨道最高点不脱轨,小物体的速度不得超过 Rg 。 【例 2】一长为 a 的细线系着一小球悬挂在 O 点静止不动。若使 小球获得一个水平初速度 v0 ?

(2 ? 3) ag ,略去空气阻力。证

明:小球的运动轨迹经过悬点 O 。 【分析与解】小球运动轨迹会通过悬点 O ,是因为线绳在水平直 径上方与水平线成某一角度 ? 时,绳恰好不再张紧,小球开始脱 离圆轨道而做斜上抛运动,如图所示。我们先来求出绳上张力为 零时,小球达临界速度 v ? ag sin ? 时的方位角 ? 。整个运动过 程中只有重力做功,机械能守恒,则有



1 2 1 mv0 ? m( ag sin ? ) 2 ? mga(1 ? sin ? ) , 2 2 3 2 。 3a g s i ? n? 0 v ? 2 a, g sin ? ? 3

3 3 a 高处,此位置小球的瞬时速度 v ? ag 。 3 3 此后,小球做斜上抛运动,以抛出点为原点建立直角坐标系 xO?y ,我们从斜上抛的竖 直方向上的分运动求得当小球在竖直方向的位移为 ? h 时,经历时间为 t ,因此有 1 ?h ? vt cos ? ? gt 2 , 2
这个位置在距水平直径 h ? 将h ?

6 3 、v ? a 、 cos ? ? 3 3

3 ag 代入上式整理得 3 a ,这段时间内小球完成的水平位移为 g

3gt 2 ? 2 2 3agt ? 2 3a ? 0 。
由此方程解得符合题意的时间 t ?

2 3

6 a ? a cos ? 。 3 3 6 说明小球做斜抛运动过程中,通过了坐标为( a )的悬点 O 。 a,? 3 3 【例 3】图所示中, A 是一带有竖直立柱的木块,总质量为 M ,位于 水平地面上。B 是一质量为 m 的小球,通过一不可伸长的轻绳挂于立 x ? vt sin ? ?
柱的顶端。现拉动小球,使绳伸直并处于水平位置。然后让小球从静 止状态自由下摆。如在小球与立柱发生碰撞前,木块 A 始终未发生移 动,则木块与地面间的静摩擦因数至少为多大? 【分析与解】在小球 B 下摆过程中,通过轻绳对木块 A 施以竖直向下的压力及水平向左的 拉力,随着下摆角度的增大,竖直向下的压力逐渐增大、而水平向左的拉力则是先增大后减 小。我们要求的是:小球下摆于任一位置水平拉力与最大静摩擦力恰能平衡,需要的静摩擦 因数的最大值。设轻绳长 L ,小球摆至与水平线成 ? 角的位置时绳上张力为 FT ,小球 B 的 速度为 v ,此时小球受力情况如图甲所示,对小球列出动力学方程为

FT ? mg sin ? ? m
又,小球 B 下摆过程中机械能守恒,有

v2 , L

mgL sin ? ?

1 2 mv , 2

分析木块 A 的受力情况如图乙所示,由于木块静止,故有

FT cos? ? Ffm ? ? (Mg ? FT sin ? ) 。
对应于角度 ? ,恰能令木块静止的静摩擦因数应符合由以上三式联立的方程

3m sin ? cos? 3m cos? 3m , ? ? 2 2 M ? 3m sin ? sin ? ? ( M ? 3 m ) tan ? ? M cot ? ? M (1 ? cot ? ) ? 3 m ? ? 因 (M ? 3m) tan ? ? M cot ? ? M (M ? 3m) 为定值,则当 (M ? 3m) tan ? ? M cot ? ,

??

M 时,两项之和有最小值且为 2 M (M ? 3m) ,摩擦因数 ? 则有最大值 M ? 3m 3m 。 ?max ? 2 M ( M ? 3m) 故在小球 B 下摆过程中,要使木块 A 始终与地面保持相对静止,木块与地面之间的静 3m 摩擦因数不得小于 。 2 M ( M ? 3m)
即 tan ? ? 【例 4】如图所示,有一个质量均匀的大球壳,正好静止在桌边上, 球壳与桌子无摩擦,对球壳轻轻一推,使其滚下桌子,试计算球壳 脱离桌子的瞬间,球壳中心的速率。 【分析与解】由题给条件,球壳在静止时,与桌边接触的一点 O 为 其支点,轻推球壳,即给球壳一微扰,球壳的质心 C 将以支点 O 为 轴,以球半径只为转动半径在竖直面内从初速度为零开始做圆周运动,其间重力势能减少, 动能增加;当球壳质心做圆运动所需向心力仅由重力来提供时,球与桌支持点间无挤压,即 开始脱离桌子。故球壳“不再接触桌子的瞬时速度”受到两方面关系的制约:即力与运动的 因果关系和机械能的守恒关系。 大球壳恰与桌边无挤压时,重力的法向分力承担向心力,设此时球心速度为 v ,有

v2 mg cos ? ? m , R
由机械能守恒定律,有



② mgR(1 ? cos? ) ? Ek 。 以上两式中,当球壳质心速率为 v 时,球壳的动能 Ek 可视作质 心对 O 点的转动动能 EO 及球壳对质心 C 的转动动能 EC 之和, 前者 1 EO ? mv 2 ,后者 EC 我们用微元法来计算。如图所示,取质心 C 2 ? 为坐标原点,球壳转轴为 y 轴,在球的 x ? C ? y 截面圆上,将 弧 2 ? 度均分成 n( n ?? )等份,进而将球壳面分割成宽为 dn ? R ? 2n 的一条条极细的环带,第 i 条环带的周长

Ci ? 2? R sin i
则相应环带的质量

?
2n



2n v ? 1 2 速率 vi ? ? ri ? ? R sin i , 转动动能 Ei ? mi vi 。 整个球壳对过 C 而垂直于竖直面 R 2n 2
的轴转动动能为
n 1 1 ?m ? v ? EC ? 2 ? lim ? mi vi2 ? 2 lim ? sin i ( ? R sin i ) n ?? n ?? 2n R 2n i ?1 2 i ?1 2 4n n n 1 ? ? 1 2 ? 1 ? ? ? mv 2 lim ? sin 3 i ? mv lim ? ? (3sin i ? sin 3i ) n ?? n ?? 2 2n 2 2n 2n i ?1 2n i ?1 2n 4 n 2

mi ? d n ? Ci ? ? ? R ?

?

? 2? R sin i

m ?m ? ? sin i 2 2n 4? R 4n 2n ?

?

n ? n ?1 ? n 3? n ? 1 3? ? ? ? 3? sin 2 ? 2n sin 2 ? 2n ? sin 2 ? 2n sin 2 ? 2n ? 1 2 ? mv lim ? ? ? n ?? 2n ? 3? 8 2n ? ? sin sin 4n 4n ? ? 1 1 ? mv 2 (3 ? ) 8 3 1 2 ? mv 3 v2 v2 5 将 Ek 及由①式得 cos ? ? ,代入②式,得 mgR(1 ? ) ? mv 2 。 gR gR 6
所以球壳中心的速率 v ?

6 Rg 。 11

【例 5】筑路工人为了提高工作效率,把从山上挖出来的土石,盛在一个箩筐里,沿一条钢 索道滑至山下.如索道形状为 x 2 ? 4ay 的抛物线, 且箩筐及它所盛的土石可以看做质量为 m 的质点,求箩筐自 x ? 2a 处自由滑至抛物线顶点时的速度,并求此时箩筐对钢索的压力。 【分析与解】如图所示,以 O ( 0 , 0 )点为原点,以竖直向上方向为 y 轴正方向建立的 直角坐标系 xOy 中,钢索呈顶点为坐标原点、开口向上的抛物线。质量为 m 的物体,是从 高 y ? a 处沿索道自由下滑的,不计摩擦及其空气阻力由机械能守恒

mga ?

1 2 mv , 2

容易求得箩筐抵达钢索道底部(即抛物线顶点)时的速度大小 v ? 2ag ,方向沿该点 轨道的切向,也就是图示水平相左方向。

为了求这时箩筐对钢索的压力,我们取箩筐为研究对象,在 y 方向建立动力学方程。在 该方向上合外力引起法向加速度 FN ? mg ? m

v2

?

,式中 ? 是抛物线顶点处的曲率半径。借

助于初速度为 v 的平抛运动,在抛出点物体的法向加速度即为 g ,由 g ? 顶点处的曲率半径 ? ? 求出

v2

?

可知该抛物线

v2 v2 。于是有 FN ? mg ? m ? mg , g ? FN ? 2mg 。

在专题 6 中,我们曾介绍过做直线加速运动的非惯性系与惯性力,我们知道,引入惯性 力后,牛顿第二运动定律

? F ? F ? ma
i



即可适用于非惯性系。这里,我们介绍“惯性离

心力” : 做匀角速度转动的非惯性参考系中的惯性力叫做惯性离心 力。 如图所示, 水平转台以恒定的角速度 ? 相对于惯性参考系 (如 地面)转动,平台上一小球用长为 l 的绳子与转台的轴相连,地面 观察者看到小球与转台一起匀速转动,这是因为绳子对小球的拉 力提供了球所需的向心力 FT ? man ? ml? 2 ;对于转台上的观察 者而言,他看到小球是静止的,他认为小球除受绳子的拉力外,还受到一个大小与 FT 相等、 方向相反、沿半径方向背离圆心的力 Fi ,由于 FT ? Fi ,故小球静止。这种在相对于惯性参 考系具有向心加速度的参考系中所引入的使牛顿定律仍能适用的力就是惯性离心力, 与直线 加速运动的参考系中的惯性力一样, 惯性离心力是假想的力, 是为在匀角速度转动着的非惯 性系中简化力学问题的处理而采用的一种等效方法。惯性离心力

Fi ? ?man ? ?m?2 r 。
相对于匀角速度转动的参考系静止的物体, 引入惯性离心力后, 对转动参考系,仍能满足合力为零的力与运动关系。若物体相对于 转动参考系做相对运动而不是静止,则对转动参考系,为使牛顿运 动定律适用,除引入惯性离心力外,还要虚设另一称为“科里奥利 力”的惯性力。在专题 7 例 3 的讲解中,我们曾展示过,当如图所 示半径为 R 的圆盘,以角速度 ? 绕盘心 O 转动,而质点沿盘上径向 槽以恒定速度 u 自盘心向外运动,在槽内任一位置 A ( OA ? r )质 点加速度由两方面构成:中介参考系以 ? 匀速转动的牵连加速度 。 a牵连 ? ?2r (方向指向转动中心 O )以及科里奥利加速度 2?u (方向沿盘面且垂直于 u ) 对地面观察者而言, 这两个加速度都是由质点所受的真实力—盘面的摩擦力和槽的左侧壁弹 力引起的,且 Ff ? mr? , FN ? 2mu? 。对相对盘静止的观察者而言,质点沿槽做速度为
2

u 的匀速直线运动,他的解释是,质点除了受盘面的摩擦力和槽的左侧壁弹力外,还受到惯 性离心力 Fi ? ?m? 2 r ,科里奥利力 Fk ? ?2m?u ,于是转动参考系中的观察者就可以解释
质点的运动了:合力为零,质点做匀速直线运动。 科里奥利力是转动参考系中引入的假想的惯性力, 其大小等于引起科里奥利加速度的真 实力,方向相反。物体在转动平面上沿任何方向运动时,都将受到一个与运动方向垂直的科 里奥利力,大小 Fk ? ?2m?u 。 地球是一个转动的非惯性参考系,地球自转的证据之一是傅科 摆实验。第一次做这个实验的是法国科学家傅科,他在巴黎一个庙 宇的圆屋顶的水平架上用 67 m 的铁丝下端悬挂了一个大球,让球在 竖直面内往复摆动,在球的每一次摆动中,摆动平面都会发生明显 的偏转。我国北京天文馆陈列的傅科摆,它的摆长是 10m ,每 37h 15 min ,摆平面转动一周。在一些中学,学生们自行设计傅科 摆,作为演示地球自转的校园科技景观。图示是宁波效实中学学生 设计并将建造的大型校园科技景观傅科摆效果图。 现在我们假设傅科摆实验在北极进行。如图所示,一个悬挂在 北极的傅科摆,给摆球一个水平初速度,摆球开始在初速度所在竖直面内往复运动,考察摆

平面 M ,可以发现它相对地球不断地旋转,每昼夜转一周,俯视 旋转方向为顺时针。 以太阳为参考系解释这一现象: 摆球受到两个实际力的作用, 重力 mg 和摆线拉力 FT 。这两个力都在摆动平面内,不可能使摆 平面发生转动,故摆平面是静止的,但由于地球在逆时针自转, 故摆平面相对于地球反向转动;地球上的观察者要解释傅科摆现 象必须引入科里奥利力:除了重力 mg 和摆线拉力 FT 外,摆球还 受到一个方向与摆平面、亦即摆球相对地球运动方向垂直的惯性力。例如,当图所示的摆球 过平衡位置向右运动时,科里奥利力向外,摆球过平衡位置向左运动时, 科里奥利力向里??这样,北极的这只傅科摆其摆平面在科里奥利力作 用下顺时针地转动了。 【例 6】如图所示,在以角速度 ? 绕中心轴 O 匀速转动的太空实验室里, 一长为 l 的细线,一端固定在中心轴 O ,另一端系一质量为 m 的小球, 小球在实验室里以速度 v 匀速转动,转动方向与 ? 相反,求细线上的拉 力 FT 的大小。 【分析与解】取太空实验室为参考系,小球受到线的拉力 FT 和惯性力 Fi 。设小球对太空实 验室的加速度为 a? ,则由牛顿第二定律,有

FT ? Fi ? ma? 。 v 2 2 上式中 Fi ? ?ml? 2 ;而 a? ? (? ? ? ) l ? ? l ,代入上式中即可得 l v2 2 FT ? m? l ? m ? 2m?v 。 l v 例中我们先求出小球对惯性系的角速度为 ? ? (负号是因为小球反向转动) ,进而求 l v 2 得对惯性参考系的加速度 (? ? ? ) l ,最终得到对太空实验室的加速度为 a? 。 l 也可以这样解: 太空实验室中, 小球做匀速圆周运动, 是因为受到绳拉力 FT 和惯性力 Fi 及科里奥利力 Fk ,三力均沿径向,则有
FT ? Fi ? Fk ? m


v2 , l

FT ? m? l ?2 m ? v?
2

v2 m l FT ? ml? 2 ? m v2 ? 2mv? 。 l

结果与前解一致。 1、长度为 l 的不可伸长的细线系在竖直轴的顶端,在线的下端悬挂质量为 m 的一重物。再 在这重物上系同样长度的另一根线,线的下端悬挂质量也为 m 的另一个重物,如图所示。 竖直轴以恒定角速度 ? 转动。试证明第一根线与竖直线所成角度小于第二根线与竖直线所 成角度。

2、如图所示,套管 A 的质量为 M ,因受绳子牵引沿竖直杆向上滑动。绳子另一端绕过离 杆距离为 L 的滑轮 B 而缠绕在鼓轮 C 上。 当鼓轮 C 转动时, 其边缘上各点的速度大小为 v0 。 求绳子拉力和距离 x 之间的关系。

3、 橡皮圈挂在钉子上, 如图所示。 这时它的长度为 2 h 。 然后使橡皮圈在水平面上旋转起来, 当转动角速度达到 ? 时,它的长度也为 2 h 。求橡皮圈转动的角速度。

4、如图所示,小物块质量为 m ,在半径为 r 的圆柱面上沿螺旋线形的滑槽滑动,运动的切 向加速度大小为 at ? g sin ? ,式中 ? 为螺旋线的切线与水平面的夹角,求由于小物块沿槽 滑下而使圆柱面绕其中心轴转动的力矩大小。

5、如图所示,一轻绳跨越一固定水平光滑细杆,其两端各系一小球,球 a 置于地面,球 b 从 水平位置由静止向下摆动, 设两球质量相同。 求 a 球恰要离开地面时跨越细杆的两绳之间的 夹角。

6、长为 l 的轻杆上端有一个质量为 m 的小重物 A ,杆被铰链固接在 O 点,如图所示,并处 于竖直位置,同时与质量为 M 的物体 B 互相接触。由于微小扰动使系统发生运动。试问质 量之比 M / m 为多少的情况下, 杆在脱离物体 B 的时刻与水平面成角 ? ? 速度 u 为多少?

?

6

, 这时物体 B 的

7、质量均为 m 的两个小球固定在长度为 l 的轻杆两端,如图所示,直立在相互垂直的光滑 墙壁和地板交界处。 突然发生微小的扰动使杆无初速倒下, 求当杆与竖直方向成角 ? 时,A 球对墙的作用力。

8、质量为 m ,半径为 r 的圆木搁在两个高度相同的支架上,如图所示。右支架固定不动, 而左支架以速度 v 从圆木下面向左滑动。求当两个支点距离 AB ? 2r 时,圆木对固定支架 的压力 FNA 。 (两支架开始彼此靠得很近,圆木与支架之间的摩擦不计)

9、一对绕固定水平轴 O 和 O? 同步转动的凸轮,使传送装置的水平平板发生运动,如图所 示。 问凸轮以多大角速度转动时, 放在平板上的零件开始移动?当凸轮按顺时针方向转动的 情况下,零件将向什么方向移动?零件与平板之间的动摩擦因数为 ? 。凸轮半径为 r 。

10、用手握着一绳端在水平桌面上做半径为 r 的匀速圆周运动,圆心为 O ,绳长为 L ,质量 可以忽略,绳的另一端系着一个质量为 m 的小球,恰好也沿着一个以 O 点为圆心的大圆在 桌面上运动,小球和桌面之间有摩擦,如图所示。求: ⑴手对细绳做功的功率 P ; ⑵小球与桌面之间的动摩擦因数 ? 。

11、一个半径 r ? 10cm 的金属小圆环,从高度 h ? 20cm 处掉到桌上,如图所示,此小圆环 在空气中绕其中心轴旋转,轴在竖直方向,角速度 ?0 ? 21rad / s 。圆环与桌面的碰撞为非 停止所转的圈数。 (取 g ? 10m / s 2 )

弹性的,且碰撞时间很短。小圆环与桌面间摩擦因数 ? ? 0.3 ,求小圆环与桌面接触到旋转

12、有两个相同的单摆,把一个拴在另一个的下面,使它们各在一个水平面内做匀速圆周运 动,设两条摆线(长 L )与竖直线所成的夹角都很小。已知在运动过程中两条摆线一直保持 在同一平面内,求此平面转动的角速度,以及两质点轨道半径之比。

13、半径为 R 的水平圆台,可绕通过圆心 O 的竖直光滑细轴 CC ? 转动,如图所示,圆台上 沿相互垂直的两个半径方向刻有槽,质量为 mA 的物体 A 放在一个槽内,物体 A 与槽底间的 静摩擦因数为 ?0 ,质量为 mB 的物体 B 放在另一槽内,此槽是光滑的。 AB 间用一长为 l ( l ? R )且不可伸长的轻绳绕过细轴相连。试求当圆台做匀角速率转动且 A 、 B 两物体相 对圆台不动时,转动角速度 ? 和物体 A 到圆心的距离 x 所应满足的条件。 (设此时物体 A 与 槽的侧面之间没有作用力)

14、质量为 M 、半径为 R 的光滑匀质半球,静止在光滑水平面上,在球顶有一质量为 m 的 质点,由静止沿球面下滑,求 m 离开 M 以前的轨迹方程和 m 绕球心 O 的角速度。

15、轮船以等速率 v 沿赤道向东航行,试计算,由此使船上物体重量产生的相对误差,地球 自转角速度为 ?0 。

16、半径为 R ? 0.5m 的空心球绕本身的竖直直径旋转,如图所示,角速度为 ? ? 5rad / s 。 在空心球内高度为

R 2 处有一小木块同球一起旋转, g 取 10m / s 。求: 2

⑴实现这一情况所需的最小摩擦因数为多少? ⑵求 ? ? 8rad / s 时实现这一情况的条件。

17、一根不可伸长的轻绳,穿上一粒质量为 m 的小珠子,绳的一端固定在 A 点,另一端系 在轻环上,环可以沿水平杆无摩擦自由滑动,如图所元开始珠子被维持在轻环旁边。绳是直 的,但未被拉紧,绳子长度为 L0 , A 点到杆的距离为 h ,绳能承受最大张力为 T0 。试求当 绳子被拉断时珠子的速度。 (摩擦不计)


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