当前位置:首页 >> 数学 >>

形似而神异,小心来辨析


形似而神异,小心来辨析
江苏省姜堰中学 丁海峰 顾祥钧 (225500) 在应用圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)的定义和几何性质解题时,我们常常会遇 到一些相关但又相异的问题, 这时重要的是要善于把握所求问题的实质, 弄清这些问题之间 的区别与联系,选择恰当的途径解题.本文通过对几组圆锥曲线问题进行辨析,希望引起同 学们的重视. 例 1 (1)求焦距为 4,且长轴长为

6 的椭圆的标准方程. (2)求焦距为 4,且过点( 3 4 )的椭圆的标准方程. 2,1 4 70

分析:虽然同为求椭圆的标准方程,也都有两解,但是结果是有区别的.在第(1)小 题中,a=3,c=2,因此 b= 5 ,故所求方程为 x9 ?
2

y2 5

? 1 和 x5 ?
2

y2 9

? 1 .在第(2)小题中,当
2

焦点在 x 轴上时,方程为 x9 ?
2

y2 5

? 1 ;当焦点在 y 轴上时,方程却为 x3 ?

y2 7

? 1.

例 2 已知椭圆 x4 ?
2

y2 3

,F 为椭圆的右焦点,M 为椭圆上一点, ? 1 内有一点 P(1,-1)

(1)求|MP|+2|MF|的最小值. (2)求|MP|+|MF|的最小值. 分析:两小题中|MF|的系数一个为 2,一个为 1,这就导致了所用知识的不同.注意到 椭圆的离心率为 e ?
1 2

,则第(1)小题可运用椭圆的第二定义来解,而第(2)小题则需要

通过椭圆的第一定义求解. 解: (1)椭圆的离心率为 e ?
1 2

,右准线为 L:x=4,过 M 作 MN⊥L 于 N,

则|MP|+2|MF|=|MP|+ 1 |MF|=|MP|+|MN|(根据椭圆第二定义) , e ∴当 P、M、N 三点共线时,即 M( 2 3 6 ,-1)时, |MP|+2|MF|的最小值为 4-1=3 . (2)设椭圆左焦点为 F1,则|MF|+|MF1|=4(根据椭圆第一定义) 所以|MP|+|MF|=|MP|+4 -|MF1|=4 -(|MF1|-|MF|) , 当 M 在 F1P 延长线上时|MF1|-|MF|取最大值|F1P|= 5 , 此时|MF1|-|MF|取最小值 4 ? 5 . 例 3 给定双曲线 x 2 ?
y2 2

? 1,

(1)过点 A(2,1)的直线 L 与所给的双曲线交于两点 P1 和 P2,且 A 为线段 P1P2 的中点,求直线 L 的方程. (2)过点 B(1,1)能否作直线 m 与双曲线交于两点 Q1 和 Q2,且使 B 点平分线段 Q1Q2?如 m 存在,求出它的方程;如不存在,则说明理由. 分析:设弦的两端点的坐标为(x1,y1)和(x2,y2),代入双曲线 x 2 ?
y2 2

? 1 得,

? ? x12 ? ? 2 ? ? x2 ?

2 y1 2 2 y2 2

?1 ?1

,所以 ( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ?

( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) 2

?0.
y1 ? y 2 x1 ? x2

在第(1)小题中,中点 A(2,1) ,所以 x1+x2=4,y1+y2=2,因此 KP1P2=

? 4 ,即所

求直线 L 的方程为 y=4x-7;在第(2)小题中,中点 B(2,1) ,所以 x1+x2=2,y1+y2=2,因 此 KQ1Q2=
y1 ? y 2 x1 ? x2

? 2 ,即所求直线 m 的方程是 y=2x-1.然而,以上结果是有问题的,第(2)
y2 2

小题中所求直线 m 事实上并不存在,将 y=2x-1 代入双曲线方程 x 2 ?

? 1 得 3x2-4x+3=0,

所以⊿= -20<0,即直线 m 与双曲线并不相交.原来在以上运用“点差法”解题时,斜率存 在只是直线存在的必要而不充分条件.在第(1)题中,将 y=4x-7 代入双曲线方程有⊿>0, 因此直线 L 存在,其方程为 y=4x-7 . 例 4 已知点 P 是双曲线 x4 ?
2

y2 9

? 1 上一点,F1、F2 是它的左、右焦点,

(1)当|PF1|=6 时,求|PF2|; (2)当|PF1|=5 时,求|PF2|. 误解:根据双曲线的第一定义,||PF1|-|PF2||=4,因此,在第(1)小题中|PF2|=10 或 2; 在第(2)小题中|PF2|=9 或 1. 分析:在使用双曲线的第一定义解题时,还要注意结果的合理性.由于本题中双曲线 上的点到对应焦点的最短距离为 c-a= 13 ? 2 >1,故第(1)题确为两解,而第(2)题中, 点 P 只能在双曲线的左支上,|PF2|的值只能为 9.某一年上海高考题与本题异曲同工: “给
x 出问题:F1、F2 是双曲线 16 ?
2

y2 20

? 1 的焦点,点 P 在双曲线上.若点 P 到焦点 F1 的距离等

于 9,求点 P 到焦点 F2 的距离.某学生的解答如下:双曲线的实轴长为 8,由||PF1|-|PF2||=8, 即|9-|PF2||=8,得|PF2|=1 或 17.该学生的解答是否正确?若正确,请将他的解题依据填在下 面的空格内;若不正确,将正确结果填在下面空格内._______”最后的正确结果应为 17. 例 5(1)若点 M 到 F(2,-2)的距离和到直线 L:y=x-3 的距离相等,则动点 M 的轨 迹是什么图形? (2)若点 M 到 F(1,-2)的距离和到直线 L:y=x-3 的距离相等,则动点 M 的轨迹是 什么图形? 分析:这两道题是不同的.在第(1)小题中点 F 不在直线 L 上,故轨迹是以 F 为焦点 L 为准线的抛物线;在第(1)小题中点 F 在直线 L 上,故轨迹是过 F 且垂直于 L 的直线, 其方程为 x+y+1=0 . 例 6 (1)动点 P 到定点 F(1,0)的距离比它到 y 轴的距离大 1,试求 P 的轨迹方程. (2)动点 P 到定点 F(1,0)的距离比它到直线 x= -2 的距离小 1,试求 P 的轨迹方程. 分析:容易将以上两小题等同,以为动点 P 的轨迹都是以 F(1,0)为焦点、以直线 x= -1 为准线的抛物线 y2=4x.事实上,第(2)小题结果确实如此,而第(1)小题结果应为 y2=4x 或 y=0(x<0).我们可以通过两种思路得到该结果.一是由曲线方程的定义,设 P(x,y),
2 2 2 则 ( x ? 1) ? y ?| x | ?1 , 两边平方得 y ? 2 x ? 2 | x | , 当 x≥0 时 y2=4x; 当 x<0 时 y=0. 所

以 y2=4x 或 y=0(x<0).二是注意到定点 F(1,0)的距离到 y 轴的距离恰好为 1,故 x 轴负 半轴上的点都符合动点 P 的要求,即 y=0(x<0);而当 x≥0 时,根据抛物线的定义,动点 P

的轨迹是以 F(1,0)为焦点、以直线 x= -1 为准线的抛物线 y2=4x. 【配送练习题】 一.填空题: 1.在 △ ABC 中, ?A ? 90 , tan B ?
?

的离心率 e ? ______________. 2.双曲线

3 .若以 A, B 为焦点的椭圆经过点 C ,则该椭圆 4

x2 y2 ? ? 1 的左顶点为 A,右焦点为 F2,过 F2 作 x 轴的垂线与双曲线的一个交点 4 5

为 B,直线 AB 与双曲线的右准线交于点 T,若 AT ? ?TB ,则 ? 等于______________. 3.设 F 1、F 2 为双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的两焦点,点 P 在双曲线上,当 ?F1PF2 的面积为 1 时, 4

??? ? ???? PF1? PF2 的值为______________.
x2 y2 4.已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点恰好是椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点 F , a b
2

且这两条曲线交点的连线过点 F ,则该椭圆的离心率为______. 5.坐标平面上一点 P 到点 A( 1 ,0),B(a,2)及到直线 x= ? 1 的距离都相等.如果这样的点 2 2 P 恰好只有一个,那么实数 a 的值是 ______________. 二.解答题: 6.直线 l1 : ax ? by ? c ? 0(a, b不同时为 交抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 于 A、B 两点,F 0)
2

为抛物线的焦点,直线 AF、BF 分别交抛物线于 C、D 两点,求直线 CD 的方程.

25 1 2 2 ,B: ( x ? 2) ? y ? ,如图所示,动圆 P 与圆 A 和 4 4 1 圆 B 都相外切,直线 l 的方程为 x=a (a ? ) . 2 1 (1)求动圆 P 的圆心的轨迹方程,并证明:当 a= 时,点 P 2
7.已知两圆 A: ( x ? 2) ? y ?
2 2

到点 B 的距离与到定直线 l 的距离之比为定值. (2)延长 PB 与点 P 的轨迹交于另一点 Q,如果存在某一位置, 使得 PQ 的中点 R 在 l 上的射影 C 满足 PC⊥QC,求 a 的取值范围.

8.给定椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,称圆心在原点 O ,半 a 2 b2

径为 a ? b 的圆是椭圆 C 的“准圆”.若椭圆 C 的一个焦点
2 2

为 F( 2 , 0) ,其短轴上的一个端点到 F 的距离为 3 .

(1)求椭圆 C 的方程和其“准圆”方程; (2)点 P 是椭圆 C 的“准圆”上的动点,过点 P 作椭圆的切线 l1 ,l2 交“准圆”于点 M ,N . ①当点 P 为“准圆”与 y 轴正半轴的交点时,求直线 l1 ,l2 的方程并证明 l1 ? l2 ; ②求证:线段 MN 的长为定值. 【解答】 一.填空题: 1 1. 2 2.2 3.0 4. e ?

2 ?1

5. 1 或- 1 2 2 二.解答题: 6.解:我们进行深入观察、分析、比较、联想,可以发现 C、D 两点具有某种一致性,可 以设法找出 C、D 两点都满足的一次方程.设 C、D 的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),由抛物线 性质知 y1 y A ? ? p 2 ,∴ y A ? ?

y p3 p2 p2 p3 ,∴ A ( , ? ) .∵A 在直线 , xA ? A ? y1 y1 2 p 2 y1 2 2 y12

2

∴ l1 : ax ? by ? c ? 0 上,
2

ap3 bp2 2 ? ? c ? 0 ? ap3 ? 2bp2 y1 ? 2cy12 ? 0 , 将 y1 ? 2 px1 2 y1 2 y1
3 2

代 入 得 4 pcx1 ? 2by1 p ? ap ? 0 , 即 4cx1 ? 2bpy1 ? ap ? 0 , 所 以 C 点 在 直 线

4cx ? 2bpy ? ap2 ? 0 上.同理 D 点也在直线 4cx ? 2bpy ? ap2 ? 0 上.而经过 C、D 两点
的直线有且只有一条,故直线 CD 的方程即为 4cx ? 2bpy ? ap ? 0 .
2

7.解: (1)设动圆 P 的半径为 r,则|PA|=r+

5 1 ,|PB|=r+ ,∴|PA|-|PB|=2,∴点 P 的 2 2
2

轨迹是以 A、 B 为焦点, 焦距为 4, 实轴长为 2 的双曲线的右支, 其方程为 x ?

y2 ? 1 ( x ? 1) . 3

若 a=

1 ,则 l 为双曲线的右准线,∴点 P 到点 B 的距离与到 l 的距离之比为双曲线的离 2

心率 e=2. (2)当 PC⊥QC 时,P、C、Q 构成直角三角形,

| PQ | =xR-a 2 y2 2 ? 1 上, 又点 P、Q 都在双曲线 x ? 3
∴R 到直线 l 的距离|RC|=



| PB | ? | QB | | PB | | QB | ? 2, ? ? 2, 1 1 x P ? xQ ? 1 xP ? xQ ? 2 2 | PQ | ?2 即|PQ|=4xR-2,xR= ② 4 | PQ | | PQ | ?2 ? ? a, 将②代入①得 2 4
∴ 而|PQ|=2-4a≥6, 8.解: (1)? c ? ∴a≤-1 .

2, a ? 3, ?b ? 1 ,

x2 ? y2 ? 1 2 2 ? 椭圆方程为 3 , 准圆方程为 x ? y ? 4 .
2) , (2) (ⅰ)因为准圆 x ? y ? 4 与 y 轴正半轴的交点为 P (0,
2 2

2) 且与椭圆相切的直线为 y ? kx ? 2 , 设过点 P (0,

? y ? kx ? 2, ? 2 ?x 2 ? ? y ? 1, (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 12kx ? 9 ? 0 所以由 ? 3 得 .
因为直线 y ? kx ? 2 与椭圆相切, 所以 ? ? 144k ? 4 ? 9(1 ? 3k ) ? 0 ,解得 k ? ?1 ,
2 2

所以

l1 , l2 方程为 y ? x ? 2, y ? ? x ? 2 . ? kl1 ? kl2 ? ?1 ,? l1 ? l2 . l1 , l2 中有一条斜率不存在时,不妨设直线 l1 斜率不存在,

(ⅱ)①当直线

l 则 1: x ? ? 3 ,
当 1: x ?

l

1), ( 3, ? 1) , 3 时, l1 与准圆交于点 ( 3 ,

此时 2 为 y ? 1 (或 y ? ?1 ) ,显然直线

l

l1 , l2 垂直;

l l, l 同理可证当 1 : x ? ? 3 时,直线 1 2 垂直
②当

l1 , l2

斜率存在时,设点

P( x0 , y0 )

,其中

2 2 x0 ? y0 ?4

. ,

设经过点

P( x0 , y0 )

与椭圆相切的直线为

y ? t ( x ? x0 ) ? y0

? y ? t ( x ? x0 ) ? y0 , ? 2 ?x 2 ? ? y ? 1, 所以由 ? 3



(1 ? 3t 2 ) x 2 ? 6t ( y0 ? tx0 ) x ? 3( y0 ? tx0 ) 2 ? 3 ? 0 .
2 2 2 (3 ? x0 )t ? 2 x0 y0t ? 1 ? y0 ?0,

由 ? ? 0 化简整理得 因为 设

2 2 2 2 2 x0 ? y0 ? 4 ,所以有 (3 ? x0 )t ? 2 x0 y0t ? ( x0 ? 3) ? 0 .

l1 , l2 的斜率分别为 t1 , t2 ,因为 l1 , l2 与椭圆相切,
2 2 2 t1 , t2 满足上述方程 (3 ? x0 )t ? 2 x0 y0t ? ( x0 ? 3) ? 0 ,

所以 所以

t1 ? t2 ? ?1 ,即 l1 , l2 垂直. l1 , l2 经过点 P( x0 , y0 ) ,又分别交其准圆于点 M , l2 垂直. N ,且 l1 ,
2 2

综合①②知:因为

所以线段 MN 为准圆 x ? y ? 4 的直径, | MN | =4 ,所以线段 MN 的长为定值.


相关文章:
2013高考答题时应把握的十项原
形似而神异”◆ ◆检查时别轻易更改答案,要相信第一感觉往往是对的◆ ◆做题的时候先易后难是真理,高考比的不是攻坚而是拿分◆ ◆答题不要老看表,没有...
试谈品德课程教学活动的有效性评价
遭遇问题一位品德教研员在听课调研中,发现课堂上存在着与课程理念“形似而神异...小心,别摔跤……好,慢慢来……现在该扶楼梯上楼回家 了。就这样,学生在教师的...
关联词语使用五忌
一、忌辨析不明 有些关联词语意思相差甚微,用法相似;有些关联词语形似而神异,...只要你说王林青家用病,他就会来的。 如果不符合以上几个规则,就会出现语言不...
高三班主任解读最佳发挥的考试细节
【豌豆解读】:看来考试成绩的好坏与考试的心情有关...考后才发现,它们之间“形似而神异”,结果大相径庭...我们以一定要小心,更要认 真审题, 看看是不是真...
2013物理高考习题类专题
习题类专题 1、弹簧类 弹力来不及变化 简谐振动 弹性势能 分离 2、关联物体的...可以是一题多解,也可以是多题一解,也可以是对形异而神似 或者形似而神异的...
阶段性反思
但在实际的教学中也存在着“形似而神异”的现象,甚至在某些 地方也步入了误区...教师应以学生的生活经验作为重 要的教育资源,让学生从生活中来,又回到生活中去...
高二语文周考试题
今天,人们甚至在为不少人畜共患疾病的跨国界传播而...字形复习要明确考查范围、学会归类辨析, 特别注意音...注意区分形似神异的 成语,注意成语的感情色彩,注意...
四步探究教学在中学语文的运用
我感觉它的最可贵之处在于让学生而不是单纯的 “学会” ,从学生中来到学生中...由知识的传承者到创新人才的催生者的 戒形似而神异,才能达到心中有模而实际无...
反思小学语文课堂口头评价
“创新”评价与新课标倡导的理念“形似而神异”,有些流行评价语 甚至偏离了新...更会带 来冲突,但冲突使人成熟,困惑催人奋进,而成功就等待在冷静的思考与探索...
我的考试 我做主
4、看着眼熟的题更要留心,不要盲目高兴,注意可能“形似而神异” ,要注意细小...六、复核:如果时间来得及检查,一定静下心来认真检查。没有绝对把握,不要修改...
更多相关标签:
形似词语辨析 | 决议与决定的异同辨析 | 白术与苍术异同辨析 | 辨析中西音异同 | 辨析盗和贼的异同 | 辨析中西建筑的异同 | 小心超人之异魔传说 | 小心超人异能艾 |