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形似而神异,小心来辨析


形似而神异,小心来辨析
江苏省姜堰中学 丁海峰 顾祥钧 (225500) 在应用圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)的定义和几何性质解题时,我们常常会遇 到一些相关但又相异的问题, 这时重要的是要善于把握所求问题的实质, 弄清这些问题之间 的区别与联系,选择恰当的途径解题.本文通过对几组圆锥曲线问题进行辨析,希望引起同 学们的重视. 例 1 (1)求焦距为 4,且长轴长为

6 的椭圆的标准方程. (2)求焦距为 4,且过点( 3 4 )的椭圆的标准方程. 2,1 4 70

分析:虽然同为求椭圆的标准方程,也都有两解,但是结果是有区别的.在第(1)小 题中,a=3,c=2,因此 b= 5 ,故所求方程为 x9 ?
2

y2 5

? 1 和 x5 ?
2

y2 9

? 1 .在第(2)小题中,当
2

焦点在 x 轴上时,方程为 x9 ?
2

y2 5

? 1 ;当焦点在 y 轴上时,方程却为 x3 ?

y2 7

? 1.

例 2 已知椭圆 x4 ?
2

y2 3

,F 为椭圆的右焦点,M 为椭圆上一点, ? 1 内有一点 P(1,-1)

(1)求|MP|+2|MF|的最小值. (2)求|MP|+|MF|的最小值. 分析:两小题中|MF|的系数一个为 2,一个为 1,这就导致了所用知识的不同.注意到 椭圆的离心率为 e ?
1 2

,则第(1)小题可运用椭圆的第二定义来解,而第(2)小题则需要

通过椭圆的第一定义求解. 解: (1)椭圆的离心率为 e ?
1 2

,右准线为 L:x=4,过 M 作 MN⊥L 于 N,

则|MP|+2|MF|=|MP|+ 1 |MF|=|MP|+|MN|(根据椭圆第二定义) , e ∴当 P、M、N 三点共线时,即 M( 2 3 6 ,-1)时, |MP|+2|MF|的最小值为 4-1=3 . (2)设椭圆左焦点为 F1,则|MF|+|MF1|=4(根据椭圆第一定义) 所以|MP|+|MF|=|MP|+4 -|MF1|=4 -(|MF1|-|MF|) , 当 M 在 F1P 延长线上时|MF1|-|MF|取最大值|F1P|= 5 , 此时|MF1|-|MF|取最小值 4 ? 5 . 例 3 给定双曲线 x 2 ?
y2 2

? 1,

(1)过点 A(2,1)的直线 L 与所给的双曲线交于两点 P1 和 P2,且 A 为线段 P1P2 的中点,求直线 L 的方程. (2)过点 B(1,1)能否作直线 m 与双曲线交于两点 Q1 和 Q2,且使 B 点平分线段 Q1Q2?如 m 存在,求出它的方程;如不存在,则说明理由. 分析:设弦的两端点的坐标为(x1,y1)和(x2,y2),代入双曲线 x 2 ?
y2 2

? 1 得,

? ? x12 ? ? 2 ? ? x2 ?

2 y1 2 2 y2 2

?1 ?1

,所以 ( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ?

( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) 2

?0.
y1 ? y 2 x1 ? x2

在第(1)小题中,中点 A(2,1) ,所以 x1+x2=4,y1+y2=2,因此 KP1P2=

? 4 ,即所

求直线 L 的方程为 y=4x-7;在第(2)小题中,中点 B(2,1) ,所以 x1+x2=2,y1+y2=2,因 此 KQ1Q2=
y1 ? y 2 x1 ? x2

? 2 ,即所求直线 m 的方程是 y=2x-1.然而,以上结果是有问题的,第(2)
y2 2

小题中所求直线 m 事实上并不存在,将 y=2x-1 代入双曲线方程 x 2 ?

? 1 得 3x2-4x+3=0,

所以⊿= -20<0,即直线 m 与双曲线并不相交.原来在以上运用“点差法”解题时,斜率存 在只是直线存在的必要而不充分条件.在第(1)题中,将 y=4x-7 代入双曲线方程有⊿>0, 因此直线 L 存在,其方程为 y=4x-7 . 例 4 已知点 P 是双曲线 x4 ?
2

y2 9

? 1 上一点,F1、F2 是它的左、右焦点,

(1)当|PF1|=6 时,求|PF2|; (2)当|PF1|=5 时,求|PF2|. 误解:根据双曲线的第一定义,||PF1|-|PF2||=4,因此,在第(1)小题中|PF2|=10 或 2; 在第(2)小题中|PF2|=9 或 1. 分析:在使用双曲线的第一定义解题时,还要注意结果的合理性.由于本题中双曲线 上的点到对应焦点的最短距离为 c-a= 13 ? 2 >1,故第(1)题确为两解,而第(2)题中, 点 P 只能在双曲线的左支上,|PF2|的值只能为 9.某一年上海高考题与本题异曲同工: “给
x 出问题:F1、F2 是双曲线 16 ?
2

y2 20

? 1 的焦点,点 P 在双曲线上.若点 P 到焦点 F1 的距离等

于 9,求点 P 到焦点 F2 的距离.某学生的解答如下:双曲线的实轴长为 8,由||PF1|-|PF2||=8, 即|9-|PF2||=8,得|PF2|=1 或 17.该学生的解答是否正确?若正确,请将他的解题依据填在下 面的空格内;若不正确,将正确结果填在下面空格内._______”最后的正确结果应为 17. 例 5(1)若点 M 到 F(2,-2)的距离和到直线 L:y=x-3 的距离相等,则动点 M 的轨 迹是什么图形? (2)若点 M 到 F(1,-2)的距离和到直线 L:y=x-3 的距离相等,则动点 M 的轨迹是 什么图形? 分析:这两道题是不同的.在第(1)小题中点 F 不在直线 L 上,故轨迹是以 F 为焦点 L 为准线的抛物线;在第(1)小题中点 F 在直线 L 上,故轨迹是过 F 且垂直于 L 的直线, 其方程为 x+y+1=0 . 例 6 (1)动点 P 到定点 F(1,0)的距离比它到 y 轴的距离大 1,试求 P 的轨迹方程. (2)动点 P 到定点 F(1,0)的距离比它到直线 x= -2 的距离小 1,试求 P 的轨迹方程. 分析:容易将以上两小题等同,以为动点 P 的轨迹都是以 F(1,0)为焦点、以直线 x= -1 为准线的抛物线 y2=4x.事实上,第(2)小题结果确实如此,而第(1)小题结果应为 y2=4x 或 y=0(x<0).我们可以通过两种思路得到该结果.一是由曲线方程的定义,设 P(x,y),
2 2 2 则 ( x ? 1) ? y ?| x | ?1 , 两边平方得 y ? 2 x ? 2 | x | , 当 x≥0 时 y2=4x; 当 x<0 时 y=0. 所

以 y2=4x 或 y=0(x<0).二是注意到定点 F(1,0)的距离到 y 轴的距离恰好为 1,故 x 轴负 半轴上的点都符合动点 P 的要求,即 y=0(x<0);而当 x≥0 时,根据抛物线的定义,动点 P

的轨迹是以 F(1,0)为焦点、以直线 x= -1 为准线的抛物线 y2=4x. 【配送练习题】 一.填空题: 1.在 △ ABC 中, ?A ? 90 , tan B ?
?

的离心率 e ? ______________. 2.双曲线

3 .若以 A, B 为焦点的椭圆经过点 C ,则该椭圆 4

x2 y2 ? ? 1 的左顶点为 A,右焦点为 F2,过 F2 作 x 轴的垂线与双曲线的一个交点 4 5

为 B,直线 AB 与双曲线的右准线交于点 T,若 AT ? ?TB ,则 ? 等于______________. 3.设 F 1、F 2 为双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的两焦点,点 P 在双曲线上,当 ?F1PF2 的面积为 1 时, 4

??? ? ???? PF1? PF2 的值为______________.
x2 y2 4.已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点恰好是椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点 F , a b
2

且这两条曲线交点的连线过点 F ,则该椭圆的离心率为______. 5.坐标平面上一点 P 到点 A( 1 ,0),B(a,2)及到直线 x= ? 1 的距离都相等.如果这样的点 2 2 P 恰好只有一个,那么实数 a 的值是 ______________. 二.解答题: 6.直线 l1 : ax ? by ? c ? 0(a, b不同时为 交抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 于 A、B 两点,F 0)
2

为抛物线的焦点,直线 AF、BF 分别交抛物线于 C、D 两点,求直线 CD 的方程.

25 1 2 2 ,B: ( x ? 2) ? y ? ,如图所示,动圆 P 与圆 A 和 4 4 1 圆 B 都相外切,直线 l 的方程为 x=a (a ? ) . 2 1 (1)求动圆 P 的圆心的轨迹方程,并证明:当 a= 时,点 P 2
7.已知两圆 A: ( x ? 2) ? y ?
2 2

到点 B 的距离与到定直线 l 的距离之比为定值. (2)延长 PB 与点 P 的轨迹交于另一点 Q,如果存在某一位置, 使得 PQ 的中点 R 在 l 上的射影 C 满足 PC⊥QC,求 a 的取值范围.

8.给定椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,称圆心在原点 O ,半 a 2 b2

径为 a ? b 的圆是椭圆 C 的“准圆”.若椭圆 C 的一个焦点
2 2

为 F( 2 , 0) ,其短轴上的一个端点到 F 的距离为 3 .

(1)求椭圆 C 的方程和其“准圆”方程; (2)点 P 是椭圆 C 的“准圆”上的动点,过点 P 作椭圆的切线 l1 ,l2 交“准圆”于点 M ,N . ①当点 P 为“准圆”与 y 轴正半轴的交点时,求直线 l1 ,l2 的方程并证明 l1 ? l2 ; ②求证:线段 MN 的长为定值. 【解答】 一.填空题: 1 1. 2 2.2 3.0 4. e ?

2 ?1

5. 1 或- 1 2 2 二.解答题: 6.解:我们进行深入观察、分析、比较、联想,可以发现 C、D 两点具有某种一致性,可 以设法找出 C、D 两点都满足的一次方程.设 C、D 的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),由抛物线 性质知 y1 y A ? ? p 2 ,∴ y A ? ?

y p3 p2 p2 p3 ,∴ A ( , ? ) .∵A 在直线 , xA ? A ? y1 y1 2 p 2 y1 2 2 y12

2

∴ l1 : ax ? by ? c ? 0 上,
2

ap3 bp2 2 ? ? c ? 0 ? ap3 ? 2bp2 y1 ? 2cy12 ? 0 , 将 y1 ? 2 px1 2 y1 2 y1
3 2

代 入 得 4 pcx1 ? 2by1 p ? ap ? 0 , 即 4cx1 ? 2bpy1 ? ap ? 0 , 所 以 C 点 在 直 线

4cx ? 2bpy ? ap2 ? 0 上.同理 D 点也在直线 4cx ? 2bpy ? ap2 ? 0 上.而经过 C、D 两点
的直线有且只有一条,故直线 CD 的方程即为 4cx ? 2bpy ? ap ? 0 .
2

7.解: (1)设动圆 P 的半径为 r,则|PA|=r+

5 1 ,|PB|=r+ ,∴|PA|-|PB|=2,∴点 P 的 2 2
2

轨迹是以 A、 B 为焦点, 焦距为 4, 实轴长为 2 的双曲线的右支, 其方程为 x ?

y2 ? 1 ( x ? 1) . 3

若 a=

1 ,则 l 为双曲线的右准线,∴点 P 到点 B 的距离与到 l 的距离之比为双曲线的离 2

心率 e=2. (2)当 PC⊥QC 时,P、C、Q 构成直角三角形,

| PQ | =xR-a 2 y2 2 ? 1 上, 又点 P、Q 都在双曲线 x ? 3
∴R 到直线 l 的距离|RC|=



| PB | ? | QB | | PB | | QB | ? 2, ? ? 2, 1 1 x P ? xQ ? 1 xP ? xQ ? 2 2 | PQ | ?2 即|PQ|=4xR-2,xR= ② 4 | PQ | | PQ | ?2 ? ? a, 将②代入①得 2 4
∴ 而|PQ|=2-4a≥6, 8.解: (1)? c ? ∴a≤-1 .

2, a ? 3, ?b ? 1 ,

x2 ? y2 ? 1 2 2 ? 椭圆方程为 3 , 准圆方程为 x ? y ? 4 .
2) , (2) (ⅰ)因为准圆 x ? y ? 4 与 y 轴正半轴的交点为 P (0,
2 2

2) 且与椭圆相切的直线为 y ? kx ? 2 , 设过点 P (0,

? y ? kx ? 2, ? 2 ?x 2 ? ? y ? 1, (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 12kx ? 9 ? 0 所以由 ? 3 得 .
因为直线 y ? kx ? 2 与椭圆相切, 所以 ? ? 144k ? 4 ? 9(1 ? 3k ) ? 0 ,解得 k ? ?1 ,
2 2

所以

l1 , l2 方程为 y ? x ? 2, y ? ? x ? 2 . ? kl1 ? kl2 ? ?1 ,? l1 ? l2 . l1 , l2 中有一条斜率不存在时,不妨设直线 l1 斜率不存在,

(ⅱ)①当直线

l 则 1: x ? ? 3 ,
当 1: x ?

l

1), ( 3, ? 1) , 3 时, l1 与准圆交于点 ( 3 ,

此时 2 为 y ? 1 (或 y ? ?1 ) ,显然直线

l

l1 , l2 垂直;

l l, l 同理可证当 1 : x ? ? 3 时,直线 1 2 垂直
②当

l1 , l2

斜率存在时,设点

P( x0 , y0 )

,其中

2 2 x0 ? y0 ?4

. ,

设经过点

P( x0 , y0 )

与椭圆相切的直线为

y ? t ( x ? x0 ) ? y0

? y ? t ( x ? x0 ) ? y0 , ? 2 ?x 2 ? ? y ? 1, 所以由 ? 3



(1 ? 3t 2 ) x 2 ? 6t ( y0 ? tx0 ) x ? 3( y0 ? tx0 ) 2 ? 3 ? 0 .
2 2 2 (3 ? x0 )t ? 2 x0 y0t ? 1 ? y0 ?0,

由 ? ? 0 化简整理得 因为 设

2 2 2 2 2 x0 ? y0 ? 4 ,所以有 (3 ? x0 )t ? 2 x0 y0t ? ( x0 ? 3) ? 0 .

l1 , l2 的斜率分别为 t1 , t2 ,因为 l1 , l2 与椭圆相切,
2 2 2 t1 , t2 满足上述方程 (3 ? x0 )t ? 2 x0 y0t ? ( x0 ? 3) ? 0 ,

所以 所以

t1 ? t2 ? ?1 ,即 l1 , l2 垂直. l1 , l2 经过点 P( x0 , y0 ) ,又分别交其准圆于点 M , l2 垂直. N ,且 l1 ,
2 2

综合①②知:因为

所以线段 MN 为准圆 x ? y ? 4 的直径, | MN | =4 ,所以线段 MN 的长为定值.


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