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《二次根式复习》课件


练习、当x取何值时,下列二次根式 有意义:

1 (1) 2x ? 1   ( 2) 1 ? 3x x?2 2 ( 3)    (4) ( x ? 3) 2 x

( 5) a ? 1 ?

1 3?a

一.二次根式的概念及意义. 形如 a (a≥0 )这样的式子叫做二次根式, 其中a可以是数,

也可以是单项式和多项式.

注:两个非负:

①a≥0
② a ≥0

例1、当x取何值时,下列等式成立:

(1) 4 ? y ? 2 ? y ? 2 ? y
2

( 2) ( 3 ? 2x ) ? 2x ? 3
2

x ( 3) ? x?2

x x?2

已知y ?

2? x ?

5 y x ? 2 ? 5, 则 ? ____ 2 x

若 a ? ?a ,则实数a在数轴上 的对应点一定在( ) C
2

A、原点左侧 B、原点右侧

C、原点或原点左侧 D、原点或原点右侧

二、二次根式有以下二个基本性质

1.( a ) ? a(a ? 0)
2

? ?a  0 2 2. a ? a ? ?   ? ?? a  0

口算:
(1)( 2 )2

( 2) (1 ? 2 )

2

( 3) ( ? ? 4) 2
(6)( ?2 x )
2
2

( 4) 9 ? 2
2 2

3 ( 5) 4
2

(7) 3 ? 4 ? (?7) ? ( 11 )

(8) a ? 2ab ? b (a ? b)
2 2

例2、计算

(1)3 5 ? 2 15
40 ( 2) 45
(3)3 m n ? 5 m n (m、、 为正数)
6 5 4 2

1 1 (4) ? 48 ? 2 8

三、二次根式的乘除

1、积的算术平方根的性质

ab ? a ? b (a ? 0, b ? 0)
2、二次根式的乘法法则

a ? b ? ab (a ? 0, b ? 0)

3、商的算术平方根的性质

a ? b

a (a ? 0, b ? 0) b

4、二次根式的除法法则

a a ? (a ? 0, b ? 0) b b

例3、判断下列各式中哪些是最简二次根式, 哪些不是?为什么?(字母为正数)

(1) 3a b
(3) x ? y
2 2

2

(2) 1.5ab (4) a ? b

最简二次根式的两个条件:

(1)被开方数不含分母;(即因数是整数,

因式是整式
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数 或因式;

3、计算:

1 (1)2 3 ? 27 ? 3 3

2? 5 (3)( 3 ? 2)( 2 ? 3 )

(2)

(4) a b ? ab ? a
2 2

2

b ? ab a
2008

(2 - 3) (2 ? 3) ?
2007

四、二次根式的加减 1、同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式以后,如果 被开方数相同,这几个二次根式就叫做同类

二次根式
2、二次根式的加减(合并同类二次根式)

一化

二找

三合并

1、下列各式与 2是同类二次根式的是( C )

? A?

10

? B?

24

?C ?

72

? D?
3? X 是

2 3

2、若最简根式 X ? 1 与 同类二次根式,求 X 值

1 例3 :已知:m ? , 2? 3 1 ? 2m ? m m ? 2m ? 1 求 ? 的值. 2 m ?1 m ?m
2 2

例4
设a.b为实数,且
2

2 ?a ? b?2 ? 0
2
b?2 ?0

求a ? 2 2a ? 2 ? b 的值
解:
? 2 ? a ? 0,

而 2 ?a ? b?2 ?0

? 2 ?a ? 0 , b?2 ? 0

?a ? 2, b ? 2

?原式 ? (a ? 2) ? b ? ( 2 ? 2) ? 2
2 2

2

2

?4

练一练 :
1.如果最简根式
b?a

3b 和 2b ? a ? 2


是同类二次根式,那么a、b的值分别是( A.a=0,b=2 B.a=2,b=0 C.a=-1,b=1 D.a=1,b=-2 2.实数a在数轴上的位置如图所示,化简

a ? 1 ? ( a ? 2)
则a的取值范围是( A. a ? 2 C. 2 ? a ? 4

2

-1

0

a 1 2

=

.

(2 ? a ) 2 ? (a ? 4) 2 的值是常数2, 3.若代数式
) B. a ? 2 D. a ? 2或a ? 4

4、把 a ? 1 根号外的因式移到根号内得

a

( ) 5、若化简 1 ? x ? x 2 ? 8 x ? 16 的结果是2x-5, 则x的取值范围是( )

6. 观察下列分母有理化的计算:
1 2? 1
1 4? 3

? 2? 1 ,

1 3? 2
1 5? 4

? 3? 2 ,

? 4? 3



? 5? 4

,…,

从计算结果中找出规律,并利用这一规律计算:
1 1 1 1 ( ? ? ??? )( 2006 ? 1) 2? 1 3? 2 4? 3 2006 ? 2005

拓展延伸
1、试写出下列各式的整数部分和小数部分

3 的整数部分 15 的整数部分

1 ,小数部分

3 ?1 。 15 ? 3 。
2

3 ,小数部分
2

2、化简: ( 15 ? 3) ? ( 15 ? 4)

3、若a、b分别是 6 ?

13 的整数部分和 小数部分2a-b的值是 13 。

拓展2

细心观察图形,认真分析,思考下列问题.

(1)你能求出哪些线段的长? 1 A4 1 A3 2 OA2=___S1=___ 1 2 A5 2 OA3=___S =___ 1 3 S4 S3 S 2 2 2

1

A2

……

n OAn=___

……

A6

S5

1
A7

S6

n Sn=___ 2

1 S1 O 1 A1

1

(2)请计算 2 2 1 2

S1 =

S ? S ? S ??? S
2 3

1 2

S2=

2 2

…Sn=
2 n

n 2

A5

1
S5

A4
S4

1 A3 1
S3

n ( n ? 1) 8

1
A6

S2

A2

1
A7

S6

1 S1 O 1 A1

二次根式

概念

最简二次根式 同类二次根式

二 次 根 式

a ?0
?

?(??a ? 0) ?(??a ? 0)

( a? ? a

性质

( a 2 ? ?? a ?

ab ?
a a ? b b

a? b

?(??a ? 0, b ? 0??)

(??a ? 0, b ? 0??)

a ? b ? ab ??(??a ? 0, b ? 0??)
运算
a a ? ??(??a ? 0, b ? 0??) b b


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