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阻抗匹配中圆图的巧妙使用


阻抗匹配与史密斯(Smith)圆图: 基本原理

本文利用史密斯圆图作为 RF 阻抗匹配的设计指 南。文中给出了反射系数、阻抗和导纳的作图范 例,并用作图法设计了一个频率为 60MHz 的匹 配网络。 实践证明:史密斯圆图仍然是计算传输线阻抗的基本工具。
在处理 RF 系统的实际应用问题时,总会遇到一些非常困难 的工作,对各部分级联电路的不同阻抗进行匹配就是其中之 一。一般情况下,需要进行匹配的电路包括天线与低噪声放 大器(LNA)之间的匹配、功率放大器输出(RFOUT)与天线之 间的匹配、LNA/VCO 输出与混频器输入之间的匹配。匹配 的目的是为了保证信号或能量有效地从“信号源”传送到“负 载”。 在高频端,寄生元件(比如连线上的电感、板层之间的电容和 导体的电阻)对匹配网络具有明显的、不可预知的影响。频率 在数十兆赫兹以上时,理论计算和仿真已经远远不能满足要 求,为了得到适当的最终结果,还必须考虑在实验室中进行 的 RF 测试、并进行适当调谐。需要用计算值确定电路的结 构类型和相应的目标元件值。 有很多种阻抗匹配的方法,包括:

?

计算机仿真: 由于这类软件是为不同功能设计的而不 只是用于阻抗匹配,所以使用起来比较复杂。设计者必 须熟悉用正确的格式输入众多的数据。 设计人员还需要 具有从大量的输出结果中找到有用数据的技能。另外, 除非计算机是专门为这个用途制造的, 否则电路仿真软 件不可能预装在计算机上。

?

手工计算: 这是一种极其繁琐的方法,因为需要用到较 长(“几公里”)的计算公式、并且被处理的数据多为复数。

?

经验: 只有在 RF 领域工作过多年的人才能使用这种方 法。总之,它只适合于资深的专家。

?

史密斯圆图: 本文要重点讨论的内容。

本文的主要目的是复习史密斯圆图的结构和背景知识,并且 总结它在实际中的应用方法。讨论的主题包括参数的实际范 例,比如找出匹配网络元件的数值。当然,史密斯圆图不仅 能够为我们找出最大功率传输的匹配网络,还能帮助设计者 优化噪声系数,确定品质因数的影响以及进行稳定性分析。

图 1. 阻抗和史密斯圆图基础
基础知识 在介绍史密斯圆图的使用之前, 最好回顾一下 RF 环境下(大 于 100MHz) IC 连线的电磁波传播现象。这对 RS-485 传输 线、PA 和天线之间的连接、LNA 和下变频器/混频器之间的 连接等应用都是有效的。 大家都知道,要使信号源传送到负载的功率最大,信号源阻 抗必须等于负载的共轭阻抗,即: Rs + jXs = RL - jXL

图 2. 表达式 Rs + jXs = RL - jXL 的等效图

在这个条件下,从信号源到负载传输的能量最大。另外,为 有效传输功率,满足这个条件可以避免能量从负载反射到信 号源,尤其是在诸如视频传输、RF 或微波网络的高频应用 环境更是如此。 史密斯圆图 史密斯圆图是由很多圆周交织在一起的一个图。正确的使用 它,可以在不作任何计算的前提下得到一个表面上看非常复 杂的系统的匹配阻抗,唯一需要作的就是沿着圆周线读取并 跟踪数据。 史密斯圆图是反射系数(伽马,以符号 表示)的极座标图。反 射系数也可以从数学上定义为单端口散射参数,即 s11。 史密斯圆图是通过验证阻抗匹配的负载产生的。这里我们不 直接考虑阻抗,而是用反射系数 L,反射系数可以反映负载 的特性(如导纳、增益、跨导),在处理 RF 频率的问题时, L 更加有用。 我们知道反射系数定义为反射波电压与入射波电压之比:

图 3. 负载阻抗
负载反射信号的强度取决于信号源阻抗与负载阻抗的失配 程度。反射系数的表达式定义为:

由于阻抗是复数,反射系数也是复数。 为了减少未知参数的数量,可以固化一个经常出现并且在应 用中经常使用的参数。这里 Zo (特性阻抗)通常为常数并且是 实数, 是常用的归一化标准值, 如 50 、 75 、 100 和 600 。 于是我们可以定义归一化的负载阻抗:

据此,将反射系数的公式重新写为:

从上式我们可以看到负载阻抗与其反射系数间的直接关系。 但是这个关系式是一个复数,所以并不实用。我们可以把史 密斯圆图当作上述方程的图形表示。

为了建立圆图,方程必需重新整理以符合标准几何图形的形 式(如圆或射线)。 首先,由方程 2.3 求解出;

并且

令等式 2.5 的实部和虚部相等,得到两个独立的关系式:

重新整理等式 2.6,经过等式 2.8 至 2.13 得到最终的方程 2.14。这个方程是在复平面( r, i)上、圆的参数方程(x-a)2 + (y-b)2 = R2,它以(r/r+1, 0)为圆心,半径为 1/1+r.

更多细节参见图 4a。

图 4a. 圆周上的点表示具有相同实部的阻抗。例如,R=1 的圆,以(0.5, 0)为圆心,半径为 0.5。它包含了代表反射零 点的原点(0, 0) (负载与特性阻抗相匹配)。以(0,0)为圆心、 半径为 1 的圆代表负载短路。负载开路时,圆退化为一个点
(以 1,0 为圆心,半径为零)。与此对应的是最大的反射系数 1,即所有的入射波都被反射回来。

在作史密斯圆图时,有一些需要注意的问题。下面是最重要 的几个方面:
? ? ? ?

所有的圆周只有一个相同的,唯一的交点(1, 0)。 代表 0 、也就是没有电阻(r = 0)的圆是最大的圆。 无限大的电阻对应的圆退化为一个点(1, 0) 实际中没有负的电阻,如果出现负阻值,有可能产生振 荡。

?

选择一个对应于新电阻值的圆周就等于选择了一个新 的电阻。

作图 经过等式 2.15 至 2.18 的变换,2.7 式可以推导出另一个参 数方程,方程 2.19。

同样,2.19 也是在复平面( r, i)上的圆的参数方程(x-a)2 + (y-b)2 = R2,它的圆心为(1, 1/x),半径 1/x。 更多细节参见图 4b。

图 4b. 圆周上的点表示具有相同虚部 x 的阻抗。例如,x=1 的圆以(1, 1)为圆心,半径为 1。所有的圆(x 为常数)都包括 点(1, 0)。与实部圆周不同的是,x 既可以是正数也可以是负 数。这说明复平面下半部是其上半部的镜像。所有圆的圆心 都在一条经过横轴上 1 点的垂直线上。
完成圆图 为了完成史密斯圆图,我们将两簇圆周放在一起。可以发现 一簇圆周的所有圆会与另一簇圆周的所有圆相交。若已知阻 抗为 r + jx, 只需要找到对应于 r 和 x 的两个圆周的交点就可 以得到相应的反射系数。 可互换性 上述过程是可逆的,如果已知反射系数,可以找到两个圆周 的交点从而读取相应的 r 和 x 的值。过程如下:

? ? ? ? ? ?

确定阻抗在史密斯圆图上的对应点 找到与此阻抗对应的反射系数 ( ) 已知特性阻抗和 ,找出阻抗 将阻抗转换为导纳 找出等效的阻抗 找出与反射系数对应的元件值(尤其是匹配网络的元 件,见图 7)

推论 因为史密斯圆图是一种基于图形的解法,所得结果的精确度 直接依赖于图形的精度。下面是一个用史密斯圆图表示的 RF 应用实例: 例: 已知特性阻抗为 50 ,负载阻抗如下: Z1 = 100 + Z2 = 75 j50 Z5 = 路) (开 -j100 Z6 = 0 (短 路) Z3 = j200 Z7 = 50

Z4 = 150 Z8 = 184 -j900

对上面的值进行归一化并标示在圆图中(见图 5): z1 = 2 + j z2 = 1.5 -j2 z3 = j4 z4 = 3 z5 = 8 z6 = 0 z7 = 1 z8 = 3.68 -j18S

图 5. 史密斯圆图上的点
现在可以通过图 5 的圆图直接解出反射系数 。画出阻抗点 (等阻抗圆和等电抗圆的交点),只要读出它们在直角坐标水 平轴和垂直轴上的投影, 就得到了反射系数的实部 r 和虚部 i (见图 6)。 该范例中可能存在八种情况,在图 6 所示史密斯圆图上可以 直接得到对应的反射系数 :
1

= 0.4 +

2

= 0.51 -

3

= 0.875 +
4

= 0.5

0.2j

0.4j

0.48j

5

=1

6

= -1

7

=0

8

= 0.96 -

0.1j

图 6. 从 X-Y 轴直接读出反射系数 的实部和虚部
用导纳表示 史密斯圆图是用阻抗(电阻和电抗)建立的。一旦作出了史密 斯圆图,就可以用它分析串联和并联情况下的参数。可以添 加新的串联元件,确定新增元件的影响只需沿着圆周移动到 它们相应的数值即可。然而,增加并联元件时分析过程就不 是这么简单了,需要考虑其它的参数。通常,利用导纳更容 易处理并联元件。

我们知道,根据定义 Y = 1/Z,Z = 1/Y。导纳的单位是姆欧 或者
-1

(早些时候导纳的单位是西门子或 S)。并且,如果 Z

是复数,则 Y 也一定是复数。 所以 Y = G + jB (2.20),其中 G 叫作元件的“电导”, B 称“电纳”。 在演算的时候应该小心谨慎,按照似乎合乎逻辑的假设,可 以得出:G = 1/R 及 B = 1/X,然而实际情况并非如此,这样 计算会导致结果错误。 用导纳表示时,第一件要做的事是归一化, y = Y/Yo,得出 y = g + jb。但是如何计算反射系数呢?通过下面的式子进行 推导:

结果是 G 的表达式符号与 z 相反,并有 (y) = - (z). 如果知道 z,就能通过将的符号取反找到一个与(0,0)的距 离相等但在反方向的点。 围绕原点旋转 180° 可以得到同样的 结果。(见图 7).

图 7. 180° 度旋转后的结果
当然,表面上看新的点好像是一个不同的阻抗,实际上 Z 和 1/Z 表示的是同一个元件。(在史密斯圆图上,不同的值对应 不同的点并具有不同的反射系数, 依次类推)出现这种情况的 原因是我们的图形本身是一个阻抗图,而新的点代表的是一 个导纳。因此在圆图上读出的数值单位是姆欧。 尽管用这种方法就可以进行转换,但是在解决很多并联元件 电路的问题时仍不适用。 导纳圆图 在前面的讨论中,我们看到阻抗圆图上的每一个点都可以通 过以 复平面原点为中心旋转 180° 后得到与之对应的导纳

点。于是,将整个阻抗圆图旋转 180° 就得到了导纳圆图。这 种方法十分方便,它使我们不用建立一个新图。所有圆周的 交点(等电导圆和等电纳圆)自然出现在点(-1, 0)。 使用导纳圆 图,使得添加并联元件变得很容易。在数学上,导纳圆图由 下面的公式构造:

解这个方程

接下来,令方程 3.3 的实部和虚部相等,我们得到两个新的 独立的关系:

从等式 3.4,我们可以推导出下面的式子:

它也是复平面 ( r, i)上圆的参数方程(x-a)2 + (y-b)2 = R2 (方 程 3.12),以(-g/g+1, 0)为圆心,半径为 1/(1+g)。 从等式 3.5,我们可以推导出下面的式子:

同样得到(x-a)2 + (y-b)2 = R2 型的参数方程(方程 3.17)。 求解等效阻抗 当解决同时存在串联和并联元件的混合电路时,可以使用同 一个史密斯圆图,在需要进行从 z 到 y 或从 y 到 z 的转换时 将图形旋转。

考虑图 8 所示网络(其中的元件以 Zo=50 进行了归一化)。 串 联电抗(x)对电感元件而言为正数,对电容元件而言为负数。 而电纳(b)对电容元件而言为正数,对电感元件而言为负数。

图 8. 一个多元件电路
这个电路需要进行简化(见图 9)。从最右边开始,有一个电 阻和一个电感,数值都是 1,我们可以在 r=1 的圆周和 I=1 的圆周的交点处得到一个串联等效点,即点 A。下一个元件 是并联元件,我们转到导纳圆图(将整个平面旋转 180° ),此 时需要将前面的那个点变成导纳,记为 A'。现在我们将平面 旋转 180° ,于是我们在导纳模式下加入并联元件,沿着电导 圆逆时针方向(负值)移动距离 0.3,得到点 B。然后又是一个 串联元件。现在我们再回到阻抗圆图。

图 9. 将图 8 网络中的元件拆开进行分析
在返回阻抗圆图之前, 还必需把刚才的点转换成阻抗(此前是 导纳),变换之后得到的点记为 B',用上述方法,将圆图旋转 180° 回到阻抗模式。 沿着电阻圆周移动距离 1.4 得到点 C 就 增加了一个串联元件,注意是逆时针移动(负值)。进行同样 的操作可增加下一个元件(进行平面旋转变换到导纳),沿着 等电导圆顺时针方向(因为是正值)移动指定的距离(1.1)。这 个点记为 D。最后,我们回到阻抗模式增加最后一个元件(串 联电感)。于是我们得到所需的值,z,位于 0.2 电阻圆和 0.5 电抗圆的交点。至此,得出 z=0.2 + j0.5。如果系统的特性 阻抗是 50 ,有 Z = 10 + j25 (见图 10)。

图 10. 在史密斯圆图上画出的网络元件
逐步进行阻抗匹配 史密斯圆图的另一个用处是进行阻抗匹配。这和找出一个已 知网络的等效阻抗是相反的过程。此时,两端(通常是信号源 和负载)阻抗是固定的,如图 12 所示。我们的目标是在两者 之间插入一个设计好的网络已达到合适的阻抗匹配。

图 11. 阻抗已知而元件未知的典型电路
初看起来好像并不比找到等效阻抗复杂。但是问题在于有无 限种元件的组合都可以使匹配网络具有类似的效果,而且还 需考虑其它因素(比如滤波器的结构类型、 品质因数和有限的 可选元件)。 实现这一目标的方法是在史密斯圆图上不断增加串联和并 联元件、直到得到我们想要的阻抗。从图形上看,就是找到 一条途径来连接史密斯圆图上的点。同样,说明这种方法的 最好办法是给出一个实例。 我们的目标是在 60MHz 工作频率下匹配源阻抗(ZS)和负载 阻抗(ZL) (见图 12)。网络结构已经确定为低通,L 型(也可以 把问题看作是如何使负载转变成数值等于 ZS 的阻抗,即 ZS 复共轭)。下面是解的过程:

图 12. 图 11 的网络,将其对应的点画在史密斯圆图上
要做的第一件事是将各阻抗值归一化。如果没有给出特性阻 抗,选择一个与负载/信号源的数值在同一量级的阻抗值。假 设 Zo 为 50 。于是 zS = 0.5 -j0.3, z*S = 0.5 + j0.3, ZL = 2 -j0.5。 下一步,在图上标出这两个点,A 代表 zL,D 代表 Z*S 然后判别与负载连接的第一个元件(并联电容), 先把 zL 转化 为导纳,得到点 A'。

确定连接电容 C 后下一个点出现在圆弧上的位置。 由于不知 道 C 的值,所以我们不知道具体的位置,然而我们确实知道 移动的方向。并联的电容应该在导纳圆图上沿顺时针方向移 动、直到找到对应的数值,得到点 B (导纳)。下一个元件是 串联元件,所以必需把 B 转换到阻抗平面上去,得到 B'。B' 必需和 D 位于同一个电阻圆上。从图形上看,从 A'到 D 只 有一条路径,但是如果要经过中间的 B 点(也就是 B'),就需 要经过多次的尝试和检验。在找到点 B 和 B'后,我们就能够 测量 A'到 B 和 B'到 D 的弧长, 前者就是 C 的归一化电纳值, 后者为 L 的归一化电抗值。 A'到 B 的弧长为 b = 0.78, 则B= 0.78 x Yo = 0.0156 姆欧。因为 C = B,所以 C = B/ = B/(2 f) = 0.0156/(2 607) = 41.4pF。B 到 D 的弧长为 x = 1.2, 于是 X = 1.2 × Zo = 60 .由 L = X, 得 L = X/ = X/(2 f) = 60/(2 607) = 159nH。 总结 在拥有功能强大的软件和高速、高性能计算机的今天,人们 会怀疑在解决电路基本问题的时候是否还需要这样一种基 础和初级的方法。 实际上,一个真正的工程师不仅应该拥有理论知识,更应该 具有利用各种资源解决问题的能力。在程序中加入几个数字 然后得出结果的确是件容易的事情,当问题的解十分复杂、

并且不唯一时,让计算机作这样的工作尤其方便。然而,如 果能够理解计算机的工作平台所使用的基本理论和原理,知 道它们的由来,这样的工程师或设计者就能够成为更加全面 和值得信赖的专家,得到的结果也更加可靠。


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