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高二数学期末综合训练1




高二数学期末综合训练 1
一、选择题

x + 3i 1.若复数 z = ( x, y ∈ R, i为虚数单位) 是实数,则 x 的值为 ( 1? i
A. 3
2



A 10.已知数列{an} 的各项均为正数,若对于任意的正整数 p,q 总有 ap+q = ap·aq,且 a8 = 16, A.16 B.32 C.48 D.64

1 5 2 C. 小时 5
A. 小时

1 3 2 D. 小时 3
B. 小时

C 45°

105° B 则 a10 =

B. ? 3

C.0

D. 3

1 n 2. ( x ? ) 的展开式中,常数项为 15,则 n= x
A.3 B.4 C.5 D.6 3. 根据气象资料记载:一年中下雨天数的比例:威海为 20%,淄博为 15%,两地同时下雨为 6%,假设某 一天威海下雨,则这一天淄博也下雨的概率为 A. 6% B.15% C.30% D.40%

11.设 Sn 是各项都是正数的等比数列{an } 的前 n 项和,若 值范围是 A. q > 0 B. 0 < q ≤ 1

S n + Sn + 2 ≤ S n +1 ,则公比 q 的取 2
( ) D. 0 < q < 1 或 q > 1

C. 0 < q < 1

4.各项都是正数的等比数列{an } 的公比 q ≠ 1 且 2a2 , a3 , a1 成等差数列,则

a5 + a6 的值为( a3 + a4
D.

x ≥ 1, ? a+b+c ? 12. 已知 x, y 满足 ? x + y ≤ 4, 且目标函数 y = 3 x + y 的最大值为 7,最小值为 1,则 = a ?ax + by + c ≤ 0. ?
) A. ?

1 3

B.

1 3

C. 3

D. -3

A.1 +

3 2

B.1 ?

3 2

C.

1? 5 2

5 +1 2

二、填空题 13.若等差数列{an } 的前 n 项和为 Sn , a3 + a5 = ?30, a1 + a5 + a9 = ?39,

5.某单位要邀请 10 位教师中的 6 位参加一个会议,其中甲、乙两位教师 不能同时参加,则不同的邀请方法有 ( ) A.84 种 B.98 种 C.112 种 D.140 种 6.若 (1 ? x ) = 1 + a1 x + a2 x + a3 x + L + an x ( n ∈ N*) ,且 a1 : a3 = 1: 7 ,则 a5 等于(
n 2 3 n

则使 S n 取最小值的 n =



14.数列{a n } 满足 a n +1

A.-56 B.56 C.-35 7、若多项式 x3+x10 = a0+a1(x+1)+……+a9(x+1)9+ a10+a1(x+1)10,则 a9 = A.9 B.10 C.-9 D.-10

D.35

1 ? ? 2a n , ( 0 ≤ a n < 2 ) 6 =? ,若 a1 = ,则 a2010 的值为 1 7 ?2a n ? 1, ( ≤ a n < 1 ) 2 ?

8.在 ?ABC 中,a, b, c 为 ∠A, ∠B, ∠C 的对边,若 m = ( a ? b,1), n = (b ? c,1) 平行,且 sin B = 当 ?ABC 的面积为

4 , 5

? y ≤ x, ? 15.已知不等式组 ? y ≥ ? x ,表示的平面区域的面积为 4,点 P ( x, y ) 在所给平面区域内, ?x ≤ a ?
则 z = 2 x + y 的最大值为_________. 16、已知函数 y = x 2 与 y = kx ( k > 0 ) 的图象 所围成的阴影部分的面积为

3 时,则 b 的值为 2
B.2 C.4

(

)

A.

1+ 3 2

D. 2 + 3

9.如图,某船在海上航行中遇险发出呼救信号,我海上救生艇在 A 处获悉后,立即测出该船 在方位角 45° 方向,相距10 海里的 C 处,还测得该船正沿方位角105° 的方向以每小时 9 海里的速度行驶,救生艇立即以每小时 21 海里的速度前往营救,则救生艇与呼救船在 B 处相遇所需的最短时间为( )

9 ,则 k = 2

三、简答题 17. △ABC 中,b cos C = (2a ? c ) cos B ,a + c = 4 ,其中 A 、 B 、C 为△ABC 的内角,a 、b 、c 为角 A 、 B 、 C 所对的边. (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ) 若 b = 2 2 ,求△ABC 的面积.

20. 已知二次函数 f ( x ) = x ? ax + a ( a > 0, x ∈ R ) 有且只有一个零点,数列 {an } 的前 n 项和
2

Sn = f ( n ) ( n ∈ N * ) .
(Ⅰ)求数列{an } 的通项公式; (Ⅱ)设 c n = 1 ?

4 n ∈ N ? ,定义所有满足 cm ? cm +1 < 0 的正整数 m 的个数,称为这个数列{cn } an

(

)

的变号数,求数列{cn } 的变号数.

18.已知直线 l 与函数 f ( x ) = ln x 的图象相切于点 (1,0) , l 与函数 g ( x ) = 且 图象也相切. (Ⅰ)求直线 l 的方程及 m 的值;

1 2 7 x + mx + (m < 0) 的 2 2
21. 已知函数 f ( x) = ( a ? ) x + ln x( a ∈ R )
2

1 2

(Ⅱ)若 h ( x ) = f ( x + 1) ? g ′( x ) (其中 g ′( x ) 是 g ( x) 的导函数),求函数 h( x ) 的最大值; (Ⅲ)当 0 < a < 1 时,求证: f (1 + a ) ? f ( 2) <

(Ⅰ)当 a = 1 时, ?x0 ∈ [1, e] 使不等式 f ( x0 ) ≤ m ,求实数 m 的取值范围; (Ⅱ)若在区间 (1, +∞) 上,函数 f ( x) 的图象恒在直线 y = 2ax 的下方,求实数 a 的取值范围。

a ?1 . 2

19. 为了让更多的人参与 2010 年在上海举办的“世博会”,上海某旅游公司面向国内外发行一定数量的旅 游优惠卡,其中向境外人士发行的是世博金卡(简称金卡),向境内人士发行的是世博银卡(简称银卡). 现有一个由 36 名游客组成的旅游团到上海参观旅游, 其中 27 名境外游客, 其余是境内游客.在境外游客中 有 持金卡,在境内游客中有 22.设等差数列{an } 的前 n 项和为 Sn ,且 S n = (Ⅰ)求 c 的值及数列{an } 的通项公式; (Ⅱ)证明:

1 nan + an ? c ( c 是常数, n ∈ N * ), a2 = 6 . 2

1 3

2 持银卡.. 3

(I)在该团中随机采访 3 名游客,求恰有 1 人持金卡,至多 1 人持银卡的概率; (Ⅱ)在该团的境内游客中随机采访 3 名游客,设其中持银卡人数为随机变量ξ , .. 求ξ 的分布列及数学期望 Eξ .

1 1 1 1 + +L+ < . a1 a 2 a 2 a3 a n a n+1 8

20.(本小题满分 12 分) 已知数列{an } 的前 n 项和为 S n , 且满足 3S n ? 4an = 2n ? 4 , n ∈ N 。
*

2 证明:{an- }为等比数列,并求数列{an } 的通项公式; 3
设 cn =

18.(本小题满分 12 分) 某甲有一个放有 3 个红球、2 个白球、1 个黄球共 6 个球的箱子;某乙也有一个放有 3 个红球、2 个白球、1 个黄球共 6 个球的箱子。 (Ⅰ)若甲在自己的箱子里任意取球,取后不放回,每次只取一个球,直到取到红球为 止,求甲取球次数ξ 的数学期望; (Ⅱ)若甲、乙两人各从自己的箱子里任取一球比颜色,规定同色时为甲胜,异色时为 乙胜,这个游戏规则公平吗?请说明理由。 22.(本小题满分 14 分) 已知数列{an } 的前 n 项和为 Sn , 对一切正整数 n , Pn ( n, S n ) 都在函数 f ( x ) = x 2 + 2 x 的图象上, 点 且在点 Pn ( n, S n ) 处的切线的斜率为 k n 。 (Ⅰ)求数列{an } 的通项公式; (Ⅱ)若 bn = 2 n ? an ,求数列{bn } 的前 n 项和Tn ;
k

an 2n + 1 , Tn 为数列{cn } 的前 n 项和,证明:Tn < 。 an +1 8

20.(本小题满分 12 分) 某大学开设甲、乙、丙三门选修课,学生是否选修哪门课互不影响.已知某学生只选修甲的概率 为 0.08 ,只选修甲和乙的概率是 0.12 ,至少选修一门的概率是 0.88 ,用ξ 表示该学生选修的课程 门数和没有选修的课程门数的乘积. (1)记“函数 f ( x ) = x 2 + ξ x 为 R 上的偶函数”为事件 A ,求事件 A 的概率; (2)求ξ 的分布列和数学期望.

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) = ln x ? a 2 x 2 + ax ( a ∈ R ) . (Ⅰ)当 a = 1 时,证明函数 f ( x ) 只有一个零点; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 在区间 (1,+∞ ) 上是减函数,求实数 a 的取值范围. 14.已知函数 f ( x ) = x 3 + ax 2 + bx (a, b ∈ R ) 的图象如图所示,它与直线 y = 0 在原点处 相切,此切线与函数图象所围区域(图中阴

( Ⅲ ) 设 A = {x | x = k n , n ∈ N } , B = {x | x = 2a n , n ∈ N } , 等 差 数 列 {cn } 的 任 一 项
* *

cn ∈ A I B ,其中 c1 是 A I B 中最小的数,110 < c10 < 115 ,求数列{cn } 的通项公式。

?x ≥ 0 2y ?3 ? 15.设 x、y 满足的约束条件 ? y ≥ x ,则 的取大值是 x +1 ?4 x + 3 y ≤ 12 ?



20. (本小题满分 12 分) 某大学开设甲、 丙三门选修课, 乙、 学生是否选修哪门课互不影响. 已知某学生只选修甲的概率为 0.08 , 只选修甲和乙的概率是 0.12 ,至少选修一门的概率是 0.88 ,用ξ 表示该学生选修的课程门数和没有选修 . 的课程门数的乘积. (1)记“函数 f ( x ) = x 2 + ξ x 为 R 上的偶函数”为事件 A ,求事件 A 的概率; (2)求ξ 的分布列和数学期望.
2 2 2

27 影部分)的面积为 ,则 a 的值为 4
17.(本小题满分 12 分)

在 ?ABC 中, a、、 分别为角 A、、 的对边,且满足 b + c ? a = bc 。 BC bc (Ⅰ)求角 A 的值; (Ⅱ)若 a =

3 ,设角 B 的大小为 x, ?ABC 的周长为 y ,求 y = f ( x) 的最大值。

21. (本小题满分 12 分)

1 3 2 已知函数 f ( x ) = x + ax ? bx ( a, b ∈ R ) 3 11 (1) 若 y = f (x ) 图象上的点 (1,? ) 处的切线斜率为 ? 4 ,求 y = f ( x ) 的极大值; 3
(2) 若 y = f ( x ) 在区间 [? 1,2] 上是单调减函数,求 a + b 的最小值. 18.甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛:第一局由甲、乙参加而丙轮空,以后每一局由前一局 的获胜者与轮空者进行比赛,而前一局的失败者轮空,比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局 或打满 6 局时停止设在每局中参赛者胜负的概率均为 (1)打满 3 局比赛还未停止的概率; (2)比赛停止时已打局数ξ 的分布列与数学期望 Eξ 。 20.已知函数 f ( x ) = x 2 ? ax + b( a, b ∈ R) 的图象经过坐标原点,且 f ′(1) = 1 ,数列{an } 的前 n 项和

为 1 或 2 或 3,则甲得 1 分;若数字为 4 或 5,则乙得 1 分;若数字为 6,则丙得 1 分.一共抽取 3 次,得 2 分或 3 分者获胜. (Ⅰ)求乙获胜的概率; (Ⅱ)记ξ 为甲得的分数,求随机变量ξ 的概率分布列和数学期望. (20)已知 { an } 是各项都为正数的数列,其前 n 项和为 Sn ,且满足 2 an S n ? an = 1 .
2

1 ,且各局胜负相互独立。求: 2

(Ⅰ)求 a1 , a2 , a3 的值; (Ⅱ)求数列 { an } 的通项公式; (Ⅲ)令 Tn =

1 1 1 2n ? 1 + +L + ,求证 Tn ≤ 2 2 2 S1 2 S 2 nS n n

S n = f (n)(n ∈ N * )
(1)求数列{an } 的通项公式; (2)若数列{bn } 满足 an + log 3 n = log 3 bn ,求数列{bn } 的前 n 项和。 19.(本小题满分 12 分)今天你低碳了吗?近来,国内网站流行一种名为“碳排放计算器”的软件,人们 可以由此计算出自己每天的碳排放量。例如:家居用电的碳排放量(千克) = 耗电度数× 0.785,汽车的 碳排放量(千克)=油耗公升数× 0.785 等。某班同学利用寒假在两个小区逐户进行了一次生活习惯是否符 合低碳观念的调查。若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”,否则称为“非低碳族”。这二族人数占 各自小区总人数的比例 P 数据如下:

(I)如果甲、乙来自 A 小区,丙、丁来自 B 小区,求这 4 人中恰有 2 人是低碳族的概率; (II)A 小区经过大力宣传,每周非低碳族中有 20%的人加入到低碳族的行列。如果 2 周后随机地从 A 小 区中任选 25 人,记ξ 表示 25 个人中低碳族人数,求 E ξ 。 (18)(本小题满分 12 分) 甲、乙、丙三人玩游戏,规定每次在写有数字 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片中随机抽取一张,若数字

6.已知等差数列 1, a, b ,等比数列 3, a + 2, b + 5 , 则该等差数列的公差为 ( ) A.3 或 ?3 B.3 或 ?1 C.3 D. ?3

2.若 ( a ? 2i)i = b ? i ,其中 a 、 b ∈ R , i 是虚数单位,则 a i 3b 等于 A.1 B.2
n

C.

5 2

D.5

? 1 ? 1 ? 的展开式中二项式系数之和为 128 ,则展开式中 3 的系数是 10.如果 ? 3 x ? ? 2 ? 3 x x ? ?
A. 7 B. ? 7 C. 21 D. ? 21

1. 若复数 z 满足

z = 2i, 则 z 对应的点位于 1+ i
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 )

A.第一象限

2.已知等比数列{ a n }的前 n 项和为 S n ,且 S3 = 7 a1 ,则数列 {an } 的公比 q 的值为 ( A.2 B.3 C.2 或-3 D. 2 或 3

2.记者要为 4 名志愿者和他们帮助的 1 位老人拍照, 要求排成一排, 且老人必须排在正中间, 那么不同的排法共有 A.120 种 B.72 种 C.56 种 D.24 种

13. y =

1 , x = 1, x = 2, y = 0 所围成的封闭图形的面积为__________. x

12.在二项式 ( x ? ) 的展开式中, x 的系数是 ?10 ,则实数 a 的值为_________.
2 5

a x


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