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河南2015届高三12月24日理科数学试卷


数 学 试 卷(理)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.复数 z ? A. ?

i (其中 i 为虚数单位)的虚部是 1? i
B. i

1 2

1 2

C.

1 2

D. ?

1 i 2

2. 已知: p :

1 ? 1.q :| x ? a |? 1 若 p 是 q 的充分不必要条件,则实数 a 的取值范围是 x?2 A. (2,3] B. [2,3] C. (2,3) D. (??,3]
A. 3 则该四棱锥的体积等于 A.1 C.3 B .2 D.4 C. 5 D. 6

3.设 S n 为等比数列 {a n } 的前 n 项和,已知 3S3 ? a4 ? 2,3S 2 ? a3 ? 2 ,则公比 q ? B. 4 4. 某四棱锥的底面为正方形,其三视图如图所示,

5.在 ?ABC 中, A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,其中

a ? 5, b ? 3,sin B ?
属于范围

2 ,则角 A 的取值一定 2
? 3? B. ( , ) 2 4
? ? ? 3? D. ( , ) ? ( , ) 4 2 2 4

? ? A. ( , ) 4 2

? 3? C. (0, ) ? ( , ? ) 4 4
6.为得到函数 y ? sin( 2 x ?

?
3

图象,只需把函数 y ? sin 2 x 的图象上所有点的 ) 的导函数 ...

A.纵坐标伸长到原来的 2 倍,横坐标向左平移 B.纵坐标缩短到原来的

?
6

1 ? 倍,横坐标向左平移 2 3 5? 12

C.纵坐标伸长到原来的 2 倍,横坐标向左平移

1

D.纵坐标缩短到原来的

1 5? 倍,横坐标向左平移 2 6

7.在正四面体 P-ABC 中,D,E,F 分别是 AB,BC,CA 的中点,下面四个结论中不成立 的 ... 是 A.BC∥平面 PDF C.平面 PDF⊥平面 ABC
2

B.DF⊥平面 PAE D.平面 PAE⊥平面 ABC

8.已知函数 f ( x) ? x ? 2 x , g ( x) ? ax ? 2 ? a ? 0 ? ,若 ?x1 ? [?1, 2] , ?x2 ? [?1, 2] ,使得

f ? x1 ? ? g ? x2 ? ,则实数 a 的取值范围是
A. (0, ]

1 2

B. [ ,3]

1 2

C. (0,3]

D. [3, ??)

AC ? 7, AB ? AC ? 6 ,则 ?ABC 面积的最大值为 9.在 ?ABC 中,若 AB·
A. 24 B. 16 C. 12 D. 8 3

10.正四面体 ABCD 的棱长为 1,G 是△ABC 的中心,M 在线段 DG 上,且∠AMB=90° ,则 GM 的长为 1 A. 2 B. 2 2 C. 3 3 D. 6 6

?3 x ? y ? 6 ? 0 ? 11.设 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 ,若目标函数 z ? ax ? by ?a ? 0, b ? 0 ? 的值是最大 ? x ? 0, y ? 0 ?
值为 12,则 A.

2 3 ? 的最小值为 a b
B.
x

25 6

8 3

C.

11 3

D. 4

12.已知函数 f ( x) ? e ? ax ? b ,若 f ( x) ? 0 恒成立,则 ab 的最大值为 A. e B. e 2 C. e D.

e 2

第Ⅱ 卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做 答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为 45° , 腰和上底均为 1 的等腰梯形, 那么原平面图形的面积是___________.
2

14.已知 a ?

? (e
0

1

x

? 2 x)dx ( e 为自然对数的底数),函数

?ln x , x ? 0 f ( x) ? ? ? x ,则 f (a ) ? f (log 2 1 ) ? __________. 6 ?2 , x ? 0
15.如图,在空间直角坐标系中有棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1,点 M 是线段 DC1 上的动点, 则点 M 到直线 AD1 距离的最小值是________. 16 .定义方程 f ( x) ? f ?( x) 的实数根 xo 叫做函数 f ( x) 的 “ 新驻点 ” ,如果函数 g ( x) ? x ,

? ?) )的“新驻点”分别为 ? , ? , ? ,那么 ? , h( x) ? ln( x ? 1) , ? ( x) ? cos x ( x ? ( , ? . ? , ? 的大小关系是
三、解答题:本大题共 5 小题,共计 70 分。解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 3 sin( x ?

?

) cos( x ? ) ? sin 2 x ? a 的最大值为 1 . 4 4

?

(1)求常数 a 的值; (2)求函数 f ( x) 的单调递增区间; (3)若将 f ( x) 的图象向左平移

?
6

个单位,得到函数 g ( x) 的图象,求函数 g ( x) 在区间

[0, ] 上的最大值和最小值. 2
18. (本小题满分 12 分) 如图所示,PA⊥ 平面 ABC,点 C 在以 AB 为直径的⊙ O 上,∠ CBA=30° , PA=AB=2,点 E 为线段 PB 的中点,点 M 在 AB 上,且 OM∥ AC. (1)求证:平面 MOE∥ 平面 PAC; (2)求证:平面 PAC⊥ 平面 PCB; (3)设二面角 M-BP-C 的大小为 θ,求 cosθ 的值.

?

19. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 3 ,前项和 S n ? (1) 求数列 ?an ? 的通项公式;

1 (n ? 1)(an ? 1) ? 1 . 2

3

(2) 设数列 ?

?

? 1 ? 的前项和为 Tn ,是否存在实数 M ,使得 Tn ? a n ? a n?1 ?

? M 对一切正整数都

成立?若存在,求出 M 的最小值;若不存在,请说明理由. 20.已知向量 a ? (sin x, ) , b ? (cos x, ?1) .

3 4 2 (Ⅰ ) 当 a // b 时,求 cos x ? sin 2 x 的值; (Ⅱ ) 设函数 f ( x) ? 2(a ? b) ? b ,已知在 ?ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,
若 a ? 3 , b ? 2 , sin B ?

? ? 6 ,求 f (x) ? 4cos(2 A ? ) ( x ? [0, ] )的取值范围. 6 3 3

21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ln x ? mx? m, m ? R . (1)是否存在实数 m ,使得不等式 f ( x) ? 0 在 (0,??) 上恒成立?若存在,求出 m 的值; 若不存在,请说明理由. (2)求证:(1 ?

2 4 8 2n )(1 ? )(1 ? )?[1 ? n?1 ] ? e(其中 n ? N* ,e 是 n 2?3 3? 5 5? 9 (2 ? 1)(2 ? 1)

自然对数的底数) .

请考生在第 22、23 二题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时请 写题号. 22.(本小题满分 10 分)【选修 4—1:几何证明选讲】 如图,在正△ ABC 中,点 D,E 分别在边 AC, AB 上, 且 AD=

1 2 AC, AE= AB,BD,CE 相交于点 F。 3 3

(1)求证:A,E,F,D 四点共圆; (2)若正△ ABC 的边长为 2,求,A,E,F,D 所在圆的半径.

23.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 对于任意的实数 a ( a ? 0 )和 b ,不等式 | a ? b | ? | a ? b |? M ? | a | 恒成立,记实数 M 的最大值 是m.
4

(1)求 m 的值;

(2)解不等式 | x ? 1 | ? | x ? 2 |? m .

数学(理科)试卷参考答案
1—12 CABBD CCDCD AD 13.
2?2

14. 7

15.

3 a 3

16. ? > ? > ?

17.(1)? f ? x ? ? 3 sin ? 2 x ?

? ?

??

? ? sin 2 x ? a ? 3 cos 2 x ? sin 2 x ? a 2?

?? ? ? 2 sin ? 2 x ? ? ? a ? 1 3? ?
(2)由 ?

? 2 ? a ? 1 ,? a ? ?1

?

?

5? ? ? ? 5? ? ? k? ? x ? ? k? ,所以函数的单调递增区间 ?? ? k? , ? k? ?, k ? Z 12 12 12 ? 12 ?

2

? 2k? ? 2 x ?

?
3

?

?
2

? 2k? ,解得

(3)? 将 f ? x ? 的图象向左平移

?

6

个单位,得到函数 g ? x ? 的图象,

? ? ?? ?? ?? 2? ? ? ? ? g ? x ? ? f ? x ? ? ? 2 sin ?2? x ? ? ? ? ? 2 sin ? 2 x ? ? 6? 6 ? 3? 3 ? ? ? ? ? 2? ? 2? 5? ? ? ?? ? x ? ?0, ?,? 2 x ? ? , 3 ? ? 2? ? 3 3 ? ?
?当 2x ?

2? ? 3 2? 2? ? 时, sin ? 2 x ? , g ? x ? 取最大值 3 ? 1 ? ?? 3 3 3 ? 2 ? 2? 3? 2? ? ? 当 2x ? 时, sin ? 2 x ? ? ? ? ?1 , g ? x ? 取最小值-3. 3 2 3 ? ?
18. [解析] (1)因为点 E 为线段 PB 的中点, 点 O 为线段 AB 的中点, 所以 OE∥ PA. 因为 PA ? 平面 PAC,OE ? ?平面 PAC,所以 OE∥ 平面 PAC. 因为 OM∥ AC,又 AC ? 平面 PAC,OM ? 平面 PAC, 所以 OM∥ 平面 PAC. 因为 OE ? 平面 MOE,OM ? 平面 MOE,OE∩OM=O,所以平面 MOE∥ 平面 PAC. (2)因为点 C 在以 AB 为直径的⊙ O 上,所以∠ ACB=90° ,即 BC⊥ AC. 因为 PA⊥ 平面 ABC,BC ? 平面 ABC,所以 PA⊥ BC. 因为 AC ? 平面 PAC,PA ? 平面 PAC,PA∩AC=A,所以 BC⊥ 平面 PAC. 因为 BC ? 平面 PBC,所以平面 PAC⊥ 平面 PBC. (3)如图,以 C 为原点,CA 所在的直线为 x 轴,CB 所在的直线为 y 轴,建立空间直角坐 标系 C-xyz. 因为∠ CBA=30° ,PA=AB=2,所以 CB=2cos30° = 3,AC=1. 延长 MO 交 CB 于点 D.
5

1 3 1 3 因为 OM∥ AC,所以 MD⊥ CB,MD=1+ = ,CD= CB= . 2 2 2 2 3 3 所以 P(1,0,2),C(0,0,0),B(0, 3,0),M( , ,0). 2 2 → → 所以CP=(1,0,2),CB=(0, 3,0). 设平面 PCB 的法向量 m=(x,y,z). → ? CP=0, ?m· ?x,y,z ,0, =0, ?x+2z=0, 因为? 所以? 即? → ?x,y,z , 3, =0. ? 3y=0. ? CB=0. ?m· 令 z=1,则 x=-2,y=0. 所以 m=(-2,0,1). 同理可求平面 PMB 的一个法向量 n=(1, 3,1). m· n 1 1 所以 cos〈m,n〉= =- .所以 cosθ= . |m|· |n| 5 5 19. 解: (1) (解法一)∵S n ? ∴an ?1 ? S n ?1 ? S n ?

1 1 (n ? 1)(an ? 1) ? 1 ∴S n ?1 ? (n ? 2)(an ?1 ? 1) ? 1 2 2

1 [(n ? 2)(an ?1 ? 1) ? (n ? 1)(an ? 1)] 2 整理得 nan ?1 ? (n ? 1)an ? 1 ∴(n ? 1)an ? 2 ? (n ? 2)an ?1 ? 1
两式相减得 (n ? 1)an ? 2 ? nan ?1 ? (n ? 2)an ?1 ? (n ? 1)an 即 (n ? 1)an ? 2 ? 2(n ? 1)an ?1 ? (n ? 1)an ? 0 ∴an ? 2 ? 2an ?1 ? an ? 0 ,即 an ? 2 ? an ?1 ? an ?1 ? an 且 a1 ? 3 ,得 a2 ? 5 ,则公差 d ? 2 ∴ an ? 2n ? 1 ∴ 数列 ?an ? 是等差数列

1 1 (n ? 1)(an ? 1) ? 1 ∴S n ?1 ? (n ? 2)(an ?1 ? 1) ? 1 2 2 1 ∴an ?1 ? S n ?1 ? S n ? [(n ? 2)(an ?1 ? 1) ? (n ? 1)(an ? 1)] 2 整理得 nan ?1 ? (n ? 1)an ? 1 a a 1 等式两边同时除以 n(n ? 1) 得 n ?1 ? n ? , n ? 1 n n(n ? 1) a a 1 1 1 即 n ?1 ? n ? ? ? ? n ?1 n n(n ? 1) n ? 1 n a a a a a a a a 累加得 n ? n ? n ?1 ? n ?1 ? n ? 2 ? ? 2? 1? 1 n n n ?1 n ?1 n ? 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 得 an ? 2n ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ?1? 3 ? ? 2 n n ?1 n ?1 n ? 2 n ? 2 n ? 3 2 n (2) 由(1)知 an ? 2n ? 1 1 1 1 1 1 ∴ ? ( ? ) ? an an ?1 (2n ? 1)(2n ? 3) 2 2n ? 1 2n ? 3
(解法二) ∵S n ?

6

∴ Tn ?

1 1 1 1 1 ( ? ? ? ? 2 3 5 5 7 1 1 1 1 ? ( ? ) ? 2 3 2n ? 3 6

?

1 1 1 1 ? ? ? ) 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 3

则要使得 Tn ? M 对一切正整数都成立,只要 (Tn ) max ? M ,所以只要 M ? ∴ 存在实数 M ,使得 Tn ? M 对一切正整数都成立,且 M 的最小值为
2 20. (1) cos x ? sin 2 x ?

1 6

1 6

8 3 ?? 1 ? (2) ? 1 ? f ?x ? ? 4 cos? 2 A ? ? ? 2 ? 5 2 6? 2 ? 3 3 解: (1) a // b,? cos x ? sin x ? 0,? tan x ? ? 4 4 2 cos x ? 2sin x cos x 1 ? 2 tan x 8 cos 2 x ? sin 2 x ? ? ? sin x 2 ? cos 2 x 1 ? tan 2 x 5
(2) f ( x) ? 2(a ? b) ? b ?

2 sin(2 x ?

?
4

)+

3 2

由正弦定理得

a b 2 ? ? 可得 sin A ? , 所以A ? , 或 A ? 3? sin A sin B 2 4 4

因为 b

? a ,所以 A ?

?
4
? ? ? 11? ? ? ?? x ? ?0, ? ? 2 x ? ? ? , , 4 ? 4 12 ? ? 3? ?

?? ? 1 ? f ?x ? ? 4 cos? 2 A ? ? ? 2 sin(2 x ? ) ? , 6? 2 4 ?
所以 21.(1)

3 ?? 1 ? ? 1 ? f ?x ? ? 4 cos? 2 A ? ? ? 2 ? 2 6? 2 ?

(2)据(1)知 ln x ? x ? 1 在 (0,??) 上恒成立.所以 ln( x ? 1) ? x 在区间 ( ?1, ?? ) 上恒成立 又
2n 1 1 ? 2( n ?1 ? ), (2n ?1 ? 1)(2n ? 1) 2 ? 1 2n ? 1 2 4 8 )(1 ? )(1 ? )? 2?3 3? 5 5?9 ? [1 ? 2n ]} (2n ?1 ? 1)(2n ? 1)
7

∵ ln{(1 ?

? ln(1 ?
?

2 4 8 ) ? ln(1 ? ) ? ln(1 ? )? 2?3 3? 5 5? 9
? (2
n ?1

? ln[1 ?

2n ] (2n ?1 ? 1)(2n ? 1)

2 4 8 ? ? ? 2 ? 3 3? 5 5? 9

2n 1 1 1 1 1 1 ? 2[( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? 1)(2 n ? 1) 2 3 3 5 5 9

1 1 ? 2[( ? n )] ? 1 , 2 2 ?1

2 4 8 )(1 ? )(1 ? )? ∴ (1 ? 2?3 3? 5 5?9

2 2n ? [1 ? n ?1 ]? e. (2 ? 1)(2n ? 1)

?(

1
n ?1

1 )] ?1 2 ?1 ?
n

22. (本小题满分 10 分) 【选修 4—1:几何证明选讲】 2 1 (Ⅰ )证明: AE ? AB ,? BE ? AB . 3 3 1 在正△ ABC 中, AD ? AC ,? AD ? BE , 3 又 AB ? BC , ?BAD ? ?CBE , △ CBE,? ?ADB ? ?BEC , ? △ BAD≌ 即 ?ADF ? ?AEF ? π ,所以 A , E , F , D 四点共圆.

1 (Ⅱ )解:如图 6,取 AE 的中点 G ,连结 GD ,则 AG ? GE ? AE . 2 2 1 2 AE ? AB ,? AG ? GE ? AB ? , 3 3 3 1 2 AD ? AC ? , ?DAE ? 60? ,? △ AGD 为正三角形, 3 3 2 2 ? GD ? AG ? AD ? ,即 GA ? GE ? GD ? , 3 3 2 所以点 G 是△ AED 外接圆的圆心,且圆 G 的半径为 . 3
由于 A , E , F , D 四点共圆,即 A , E , F , D 四点共圆 G ,其半径为 23.解: (1)不等式 | a ? b | ? | a ? b |? M ? | a | 恒成立,即 M ?

图6

|a ?b|?|a ?b| 对于任意的实数 |a|

2 .…(10 分) 3

a ( a?0 ) 和 b 恒 成 立 , 只 要 左 边 恒 小 于 或 等 于 右 边 的 最 小 值 . 因 为 | a ? b | ? | a ? b |?| (a ? b) ? (a ? b) |? 2 | a | , 当 且 仅 当 (a ? b)(a ? b) ? 0 时 等 号 成 立 , 即 |a ?b|?|a ?b| |a ? b|?|a ?b| | a |?| b | 时, ? 2 成立,也就是 的最小值是 2. |a| |a| 1 5 ?x? (2) | x ? 1 | ? | x ? 2 |? 2 . 解法 1:利用绝对值的意义得: 2 2 1 解法 2:当 x ? 1 时,原不等式化为 ? ( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 2 ,解得 x ? ,所以 x 的取值范围是 2 1 ? x ? 1 . 当 1 ? x ? 2 时 , 原 不 等 式 化 为 ( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 2 , 得 x 的 取 值 范 围 是 2 5 1 ? x ? 2 .当 x ? 2 时,原不等式化为 ( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 2 ,解得 x ? , 2
8

y

5 1 5 .综上所述: x 的取值范围是 ? x ? . 2 2 2 解法 3:构造函数 y ?| x ? 1 | ? | x ? 2 | ?2 作
所以 x 的取值范围是 2 ? x ?

?? 2 x ? 1, ( x ? 1) 1 5 ? y ? ? ? 1, (1 ? x ? 2) 的图象,利用图象有 y ? 0 得: ? x ? . 2 2 ? 2 x ? 5, ( x ? 2) ?

1

9


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