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空间向量几何运算二


空间向量及其运算(一)导学案
一、教学目标:1.理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论;
2.掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的 向量公式.

二、教学重、难点:共线、共面定理及其应用. 自主学习(认真自学课本 P86--P88)
1.共线(平行)向量: 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相 ________

____,则这些向量叫做 共线向量或平行向量。读作: a 平行于 b ,记作: a // b . 2.共线向量定理: 对空间任意两个向量 a, b (b ? 0), a // b 的充要条件是存在实数 ? ,使 a ? ?b ( ? 唯一) . 推论:如果 l 为经过已知点 A ,且平行于已知向量 a 的直线,那么对任一点 O , 点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数 t ,满足等式 OP ? OA ? t AB ① ,其中向量 a 叫做直线 l 的方向向量。在 l 上取 AB ? a ,则①式可化为 OP ? OA ? t AB 或

OP ? (1 ? t )OA ? tOB ②
1 1 当 t ? 时,点 P 是线段 AB 的中点,此时 OP ? (OA ? OB) ③ 2 2
l P B A a

①和②都叫空间直线的向量参数方程,③是线段 AB 的中点公式.
O

3.向量与平面平行: 已知平面 ? 和向量 a ,作 OA ? a ,如果直线 OA 平行于 ? 或在 ? 内,那么 我们说向量 a 平行于平面 ? ,记作: a // ? . a 通常我们把平行于同一平面的向量,叫做共面向量. 说明:空间任意的两向量都是共面的. a ?

1.

4.共面向量定理: 如果两个向量 a, b 不共线, p 与向量 a, b 共面的充要条件是存在实数 x, y 使

p ? xa ? yb .

推论:空间一点 P 位于平面 MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对 x, y ,使

MP ? xMA ? yMB 或对空间任一点 O ,有 OP ? OM ? xMA ? yMB ①

合作探究
(三)例题分析: 例 1 . 已 知 A, B, C 三 点 不 共 线 , 对 平 面 外 任 一 点 , 满 足 条 件
1 2 2 OP ? OA ? OB ? OC ,试判断:点 P 与 A, B, C 是否一定共面? 5 5 5

说明:在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候,首先 要选择恰当的充要条件形式,然后对照形式将已知条件进行转化运算. 【练习】 : 对 空 间 任 一 点 O 和 不 共 线 的 三 点 A, B, C , 问 满 足 向 量 式
OP ? xOA ? yOB ? zOC (其中 x ? y ? z ? 1 )的四点 P, A, B, C 是否共面?

例 2.已知

ABCD ,从平面 AC 外一点 O 引向量

OE ? kOA, OF ? KOB, OG ? kOC, OH ? kOD ,

O
D

(1)求证:四点 E , F , G, H 共面; (2)平面 AC // 平面 EG . .
A

C
B

H
E F

G

2.

目标检测
(一)增强信心 (一)选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的) 1.下列命题中正确的是( ) A.若 a 与共线 b , b 与 c 共线,则 a 与 c 共线 B.向量 a 、b 、 c 共面即它们所在的直线共面 C.相反向量共线 D.若 a // b ,则存在唯一的实数?,使 a ? ?b 2.如果 a 、 b 、 c 共面 b 、 c 、 d 也共面,则下列说法正确的是( )

A.若 b 与 c 不共线,则 a 、 b 、 c 、 d 共面 B.若 b 与 c 共线,则 a 、 b 、 c 、 d 共面 C.当且仅当 c ? 0 时 a 、 b 、 c 、 d 共面 D.若 b 与 c 不共线,则 a 、 b 、 c 、 d 不共面

3. p 、 q 是两个非零向量,M 是一个平面,下列所给命题中,正确的是( A. p 、 q 是共面向量,则 p // q B. p ∥ q 成立的充要条件是 p 、 q 是共面向量

)

C.设 p 、 q 所在的直线分别为 l1,l2(l1,l2 不重合),若 l1 ? M,l2 ? M, p // q , 则 l1∥l2 D.设 p 、 q 所在的直线分别为 l1,l2,若 l1 ? M,l2 ? M, p 、 q 共面,则 l1 与 l2 平行或异面

4.若 a 与 b 不平行, xa ? yb ? 0 ,则 x=______,y=______.

5.非零向量 e1 , e2 不共线,若 k e1 ? e2 与 e1 ? k e2 共线,则 k=______. 3.

(二):能力提升
1.对于不共面的三个向量 a 、b 、c ,若 xa ? yb ? zc ? 0 ,则 x =______,y= ______,z=______. 2.已知 A、B、C 三点不共线,对平面 ABC 外任一点 O,有
1 1 1 OM ? OA ? OB ? OC ,则 A、B、C、M______(共面、不共面) 3 3 3

3.空间四边形 OABC 中, OA ? a, OB ? b, OC ? c ,点 M 在 OA 上,且 OM= 2MA,N 为 BC 的中点,则 MN ? ______(用 a, b , c 表示).

(三)挑战自我
1.已知非零向量 e1 , e2 不共线,如果 AB ? e1 ? e2 , AC ? 2e1 ? 8e2 , AD ? 3e1 ? 3e2. , 求证:A、B、C、D 共面.

2.如图,已知长方体 AC1 中,M 为 DD1 的中点,N 在 AC 上,且 AN∶NC=2∶ 1,E 为 BM 的中点,求证:A1,E,N 三点共线.

老师寄语:在这个世界上,从来没有人会给一个落魄的失败者发
奖杯,当你从自己的内心开始奋斗,你就向成功迈出了第一步! 4.


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