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【高中数学讲义】函数求值域的十种方法


前言:

总有人求助如何学好数学, 这个问题很宽泛, 并非寥寥数语能够厘清。 有一点很明确,学好数学的必要条件是了解数学。 高中数学可以归结为两个“三位一体” :教学体系的三位一体和知识 结构的三位一体。

知识结构的三位一体:数学思想,数学方法,典型习题。 三要素之间的关系: 典型习题归纳数学思想, 数学思想指导数学方法, 数学方法解决典

型习题。 数学思想举例:数形结合的思想等。 数学方法举例:配方法、反证法、倍差法等。 典型习题举例:恒成立问题、是否存在问题等。

教学体系的三位一体:教、学、练。 老师教什么: 数学思想和数学方法。 熟练掌握各种方法的是优秀学生, 深入理解各种思想的是顶尖学生。 学生怎么学:课堂紧跟老师,课下善于提问。 如何做练习: 01,选题:中学数学最大的误区就是题海战术,有的老师不学无术只 会告诉你多做题。多做题没用,多做类型才有用。典型习题,做一顶

百。 02,做题:一题多解。对于选定的习题,运用尽量多的方法去解决, 然后比较各个方法的优劣,归纳出某类型题对应的最佳方法。 03,总结:针对错题。大量统计表明,我们在考试中所犯的错误大多 是重复性的。通过总结,避免两次踏入同一条水沟。

由上可知,我讲数学的特点是方法论、重总结。 工欲善其事,必先利其器:各种数学方法就是我们解决难题的利器。 总喊看题就没思路的童鞋,回忆一下高中阶段你能说出多少种方法。 说不出?有思路才怪!

言归正传,今天我们就来总结一下“函数求值域的十种方法” (高中数学最重要就是函数, 函数之于高中数学好比力学之于高中物 理。 高中数学函数的要点无非:三要素,四变换,五常见,六性质。 三要素中的求值域就是本讲的主题)

方法一:配方法

用于解决二次函数值域问题,考试中几乎不会单独考察配方法(太简 单) ,但常与其他方法综合使用。

y=ax2+bx+c(a≠0) 经过配方得到 y=a(x-m)2 +n 的形式,可直接 观察出值域。

方法二:函数性质法

高中阶段函数六性:奇偶性,单调性,周期性,对称性,凸凹性,有 界性(前三为重点) 。 巧用函数性质,往往可以大幅简化过程,最常用的性质是单调性(熟 练掌握导数工具) 。

方法三:换元法

换元法分为: 代数换元与三角换元。 前者针对非齐次, 后者针对齐次。 (详见例题)

方法四:判别式法

常用于二次分式或无理式求值域。 将 y 视为系数,整理为关于 x 的二次方程。由于方程有解,所以判别 式大于等于零,得到一个关于 y 的不等式,解之。 利用判别式法时,要注意自变量的取值范围。判别式法运算往往较为 繁琐,请优先考虑其他方法。

方法五:不等式法

均值不等式:两个正数(可以拓展到 N 个)的平方平均值 ≥ 代数平 均值 ≥ 几何平均值 ≥ 调和平均值。 利用特殊不等式的性质来求值域,要注意等号成立的条件。

方法六:分离常量法

常用于分式求值域,利用多项式除法分离出常数,从而简化问题。

方法七:反函数法

原函数的值域等于反函数的定义域, 求原函数值域可以转化为求反函 数定义域问题。 使用本方法的前提是原函数存在反函数。

方法八:函数图象法

基础函数值域易求,经过变换得到的新函数的值域亦可由此得到。 常见的函数图象变换:平移,对称,伸缩,翻折。

方法九:几何意义法(来源于数形结合的思想)

常用的几何意义有距离和斜率。

方法十:综合法

综合使用以上九种方法中的若干种,废话一句,但考题往往需要综合 法解决。

例题不难但很典型且可利用多种方法求解, 重点为方法的应用条件与 注意事项。

例 1:y=x+ x-1

解法一,代数换元法(题目中包括 x 的一次及二分之一次,属于非齐 次) 设 t= x-1 (t≥0) 易得 x=t2+1,则 y=t2+t+1=(t+ )2+ ,易犯错误 y≥
1 2 1 2 3 4 3 4 3 4

实际上由于 t≥0,t 不可能取到- ,因此 y 不可能取到 (换元后 要注意新变量的取值范围) 。

正确解法:易得 t=0 时,y 取到最小值 1

解法二,函数性质法(单调性) ∵
x-1

∴ x≥1 易知 y=x 与 y= x-1 均为增函数,则 y=x+ x-1 亦为增函数 当 x=1 时,y 取到最小值 1

可见性质法简单得多,几乎目测可得结果。

例 2:y = x+ 1? x2

解法一,判别式法 移项 y-x= 1? x2 平方 y2-2xy+x2=1-x2 整理 2x2-2yx+y2-1=0 关于 x 的方程在区间[-1,1]上有解,除判别式大于等于零外,还需考 虑其他条件,较为繁琐。

解法二,三角换元(+前后 x 的最高次均为一次,属于齐次) 设 x=sinθ 则 1? x2 =cosθ

由于 sinθ 无符号限制,而 cosθ 大于等于零,可以设θ ∈[- , ] (换元后要注意新变量的取值范围) 则 y=sinθ +cosθ = 2 sin(θ + ∵θ ∈[- , ] ∴θ +π /4∈[- , ∴ y∈[-1, 2 ]
? 4
3? ] 4

? 2

? 2

? 2

? 2

? ) 4

例 3:y = x+

1 x

解法一:函数性质法(单调性,奇偶性) 当 x>0 时,求导 y'= 11 x2

x∈(0,1)时,导数小于零,单调递减。 x∈(1,+∞)时,导数大于零,单调递增。 x=1 时,取到最小值 2 因此 x>0 时,y≥2 根据奇函数性质,x<0 时,y≤-2 综上 y∈(-∞,-2]∪[2,+∞)

解法二:不等式法 当 x>0 时,y=x+
1 1 ≥ 2 x. = 2 x x

根据奇函数性质,x<0 时,y≤-2

综上 y∈(-∞,-2]∪[2,+∞)

x2 ? x ?1 例 4:y= x2 ?1

解法一:判别式法,不再赘叙

解法二:分离常量法 x=0 时,y=1 x≠0 时

1 x2 ? x ?1 x y= =1+ 2 =1+ 1 x ?1 x2 ?1 x? x
∵ x ? ∈(-∞,-2]∪[2,+∞) ∴ y∈[ ,1)∪(1, ] 综上 y∈[ , ]
1 2 3 2 1 2 3 2 1 x

可见某些形式的二次分式求值域,分离常量法比判别式法简便得多。

例 5:y=

1 ? sinx 2 ? cosx

解法一:万能公式+判别式法

x 设 tan =t 2

2t sinx= 1? t2

1? t2 cosx= 1? t2

t 2 ? 2t ? 1 y= t2 ? 3

下略

解法二:辅助角公式+函数性质法(有界性)

2y+ycosx=1+sinx sinx-ycosx=2y-1

1 ? y 2 six(x+θ )=2y-1
six(x+θ )=
2y ? 1 1 ? y2
2y ?1 1 ? y2

利用正弦函数的有界性,得到

∈[-1,1]

解得 y∈[0,

4 ] 3

解法三:几何意义法(斜率)

sin x ? (?1) y= cosx ? ? ?2 ?
该式的几何意义为(cosx,sinx)与(-2,-1)两点连线的斜率 (cosx,sinx)为单位圆上的任意一点,画图。 通过几何方法确定单位圆上的动点与定点(-2,-1)连线斜率的取值范 围,过程略。

完整使用三种方法得到正确答案的童鞋可以自行比较三种方法的繁 简程度。

例 6:y= x ? 3 ? x ?1

解法一:函数图像法(分类讨论去绝对值,化为分段函数,画草图观 察值域)

解法二:几何意义法(距离)

x ? 3 ? x ?1 的几何意义为数轴上一个动点到-3 及+1 两个定点距离
之和,易得 y≥4

例 7:y=

x2 ? 4 ? x2 ? 2x ?10

解法:几何意义法(距离)

y=

? x ? 0 ? ? ? 2 ? 0?
2

2

?

? x ? 1? ? ? 3 ? 0?
2

2

上式的几何意义为 x 轴上的动点(x,0)到两个定点(0,2)与(1,3) 的距离之和 画图:A 点为(0,2) ,B 点为(1,3) ,做出 A 点关于 x 轴的对称点 A' 。 连结 A'与 B 线段的距离即为 y 的最小值。 线段与 x 轴交点的横坐标即为 y 取最小值时 x 的取值。

例 8:y=

5?x 3? x

解法一:函数图象法

y=

8 5?x x ?3?8 = = -1+ x+3 3? x x?3

据上式可知所求函数可由函数 y= 个单位得到。

8 向左平移 3 个单位,向下平移 1 x

据图像易得 y∈(-∞,-1)∪(-1,+∞)

解法二:反函数法

∵ y=

5?x 3? x

∴ xy+3y=5-x ∴ xy+x=5-3y ∴ x=

5 ? 3y y ?1

∴ 原函数的反函数为 y=

5 ? 3x x ?1

∵ 反函数的定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞) ∴ 原函数的值域亦为(-∞,-1)∪(-1,+∞)

2x ? 1 例 9:y= x 2 ?1

解法一:分离常量法

y=1-

2 2 ?1
x

∵ 2x>0 ∴ 2x+1>1 ∴

2 ∈(0,2) 2x ? 1

∴ y∈(-1,1)

解法二:反函数法

y·2x+y=2x-1 y+1=(1-y)·2x

y ?1 2= 1? y
x

原函数的反函数为 y=log2

1? x 1? x

反函数的定义域为(-1,1) 原函数的值域为(-1,1)

例 10:y=sin3x+cos3x,x∈[0,

3? ] 4

解法:综合法

提示:换元法+函数性质法(单调性) ,接下来的过程请童鞋们完成。


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