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安徽省皖南八校2015届高三第一次联考数学(文)试题(扫描版)


皖南八校 2015 届第一次联考数学(文科) 参考答案 一.选择题 题号 答案 1 B 2 D 3 C 4 D 5 C 6 D 7 A 8 C 9 C 10 B

二.填空题 11.
12 25

12. (?2, 2)

13. ln 2 ? 1

14.

? 3

15.①②④

三.解答题
16.(满分 12 分)解析:
(1) ? cos A ? 1 2 2 ?sin A ? ??? 2分 3 3

又B ? C ? ? ? A

?sin(B ? C ) ? sin(? ? A) ? sin A ?
1 (2)由S ?ABC ? 2得 bc sin A ? 2 2

2 2 ???6分 3

?bc ? 3???8分
又a2 ? b2 ? c2 ? 2bccos A
?b2 ? c2 ? 6???10分
由上解得 b ? c ? 3 ???12分

17.(满分 12 分)解析:

对于命题 p :

? x( x ? 1) ? 0 x ?1 ? 0 ,得 ? x ? x?0

,∴ 0 ? x ? 1 ………3 分

对于命题 q : ( x ? m)( x ? m ? 2) ? 0 得 m ? 2 ? x ? m ………………6 分

又因为 p 是 q 的充分不必要条件

∴p?q

?m ? 2 ? 0 ∴? ? m ?1
∴ 1 ? m ? 2 ………………………………………………………………12 分 18.(满分 12 分)解析:
f ( x) 在 (0, ??) 上单调递减 …………3 分

任取x1 ? x2 , 且x1 , x2 ? (0,??) 则f ( x2 ) ? f ( x1 ? x2 x ) ? f ( x1 ) ? f ( 2 )?? 6分 x1 x1 x2 ) x1

? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( ? 0 ? x1 ? x2 ?f(

x2 ) ? 0???? 9分 x1

? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0即f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x)在(0,??)单调递减????12分
注:第 2 小题由于校稿失误,故不评分,提供答案,仅供参考

题:若 f (2) ? ?1 ,试求解关于 x 的不等式 f ( x) ? f ( x ? 3) ? ?2 .

? f (4) ? f (2) ? f (2) ? ?2 ? 原不等式可化为f ( x( x ? 3)) ? f (4) 又 ? f ( x)在(0, ? ?)上单调递增 ? x?0 答案: ? ?? x ? 3 ? 0 ? x( x ? 3) ? 4 ? 解得3 ? x ? 4

? 原不等式解集为?x 3 ? x ? 4}

19.(满分 13 分)解析 r r r r Q a ? b ,? agb ? 0
? m cos ? ? 2( 2 n ? sin ? ) ? 0 即 m cos? ? n ? 2 sin ? ? 0 ………………2 分 2

⑴ Q m ? 2,n ? 1
? 2 cos? ? 2 sin ? ?1 ? 0 即 2 cos? ? 2 sin ? ? 1

? 1 ? sin(? ? ) ? ? ………………6 分 4 2

⑵Qm ? 2

? 2 c o?s? n ?

2? si ?n

0

? n ? 2(cos ? ? sin ? ) ? 2 cos(? ? ),? ? (0, ) ………………9 分 4 2 ? ? ? 3 ? Q ? ? (0, ) ? ?? ? ? 2 4 4 4

?

?

??

2 ? 2 ? cos(? ? ) ? 2 4 2

?? 2 ? n ? 2 ………………13 分
20.(满分 13 分)解析:

⑴令 ? ? 0, ? ?

3? 2

得 cos 0 ? 1, 2 ? sin
? f (1 ) =0

3? ?1 2

? f (1 ) ? 0,f (1 ) ?0
?1+b ? c ? 0

即 b ? c ? ?1 ………………6 分
? b ? ?c ? 1

⑵ Q b ? c ? ?1

? f ( x) ? x2 ? (c ? 1) x ? c ? ( x ?1)( x ? c)
Q ?1 ? sin ? ? 1 ?1 ? 2 ? s i?n ? 3

又 f (2 ? sin ? ) ? 0

?f(3? )

0

? c ? 3 ………………13 分

21.(满分 13 分)解析 (1)当 a ? 1 时 f ( x) ? x3 ? x2 ? x ? m ,

因为 f ( x) 有三个互不相同的零点,所以 f ( x) ? x3 ? x2 ? x ? m ,

即 m ? ? x3 ? x 2 ? x 有三个互不相同的实数根。

令 g ( x) ? ? x3 ? x2 ? x ,则? g ' ( x) ? ?3x2 ? 2 x ? 1 ? ?(3x ?1)( x ? 1)
1 1 易知 g ( x) 在和 (??, ?1) 和 ( , ??) 上为减函数,在 (?1, ) 为增函数 3 3

? f min (?1) ? ?1, f max ( x) ?
? ?1 ? m ? 5 27

5 27

………………6 分

a (2)∵ f / ( x) ? 3x 2 ? 2ax ? a 2 ? 3( x ? )( x ? a) ,且 a ? 0 , 3
a a ∴函数 f ( x) 的递减区间为 (?a, ) ,递增区间为 (??, ?a) 和 ( , ??) ; 3 3 a 当 a ? [3, 6] 时, ? [1, 2], ? a ? ?3 又 x ? [?2, 2] , 3

∴ fmax ( x) ? { f (?2), f (2)}

又 f (?2) ? f (2) ? 4a2 ?16 ? 0

∴ fmax ( x) ? f (2) ? ?8 ? 4a ? 2a2 ? m , 又∵ f ( x) ? 1在 x ? [?2, 2] 上恒成立,

∴ f max ( x) ? 1 ,即 ?8 ? 4a ? 2a 2 ? m ? 1 ,即 m ? ?2a 2 ? 4a ? 9 在 a ? [3, 6] 恒成立。
? m ? ?87
………………13 分


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