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20130909第一讲竞赛课


第一讲 集合的 n--分划

l 与 Z P ? v v ? 20 p ? 16q ? 12r , p, q, r ? Z 1. 集 合 M ? u u ?1 2 m ? 8 n ? 4 l, m, n, ?
的关系为( )

?

?

?

?

A.

M ?P

B.
2 2

M? P , P ?

M

C.

M ?P

D.

M ?P

2.设 A ? x x ? m ? n

?

m, n ? Z .

?

证明 (1)若 s, t ? A, 则 st ? A . (2) 若 s, t ? A, t ? 0 ,则

s ? p 2 ? q 2 , 其中 p, q ? Q . t

2 ) , B? 3. 设 f ( x) ? x ? ax ? b (a, b ? R) , 集 合 A ? x ? R x ? f( x

?

?

?

x? R x? (f (f )? x )

(1)证明: A ? B (2)当 A ? {?1,3} 时,求集合 B .

4. 设 S 为集合 ?1,2,3, 求 S 的最大值.

,50? 的具有下列性质的子集, S 中任意两个元素之和不被 7 整除 ,

5.一个集合含有 10 个互不相同的两位数. 试证:这个集合必有 2 个无公共元素的子集,此两子集的各数之和相等.

6.试确定所有的正整数 n ,使得集合 ?1,2,3, 元素之和相等.

, n?可以分成 5 个互不相交的子集,每个子集中

7.求最小的和次小的正整数 n ,使集合 ?1,2,3,

,3n ? 1,3n? 可以分为 n 个互不相交的三元组

?x, y, z? ,其中 x ? y ? 3z .

8. 试将集合 ?1,2,3,

,1989?分为 117 个互不相交的子集 Ai (i ? 1,2, ,117), 使得:

每个 Ai 都有 17 个元素;所有 Ai 中个元素之和都相同.

9. S 是集合 ?1,2, 多少个元素?

,2004? 的子集,S 中的任意两个数的差不等于 4 或 7,问 S 中最多含有

10. 设 集 合 A ? ?1,2,3,

, m? . 求 最 小 的 正 整 数 m , 使 得 对 A 的 任 意 一 个 14 ? 分 划

A1, A2 ,

4 , 一定存在某个集合 Ai (1 ? i ? 14) , 在 Ai 中有两个元素 a, b. 满足 b ? a ? b. , A1 4 3

11.(1) 证明 : 正整数 N 可以表示为三个彼此不相交的集合的并集 , 使得 : 若 m, n ? N , 且

?

?

m ? n ? 2 或 5 ,则 m, n 属于不同的集合.
(2) 证明 : 正整数 N 可以表示为 4 个彼此不相交的集合的并集 , 使得 : 若 m, n ? N , 且
?

?

m ? n ? 2 , 3 或 5 ,则 m, n 属于不同的集合.并说明:此时将 N ? 拆分为三个彼此不相交的集
合的并集时,命题不成立.

12.将正整数集拆分为两个不相交的子集 A, B ,满足条件: (1) 1 ? A (2) A 中没有两个不同的元素,使它们的和形如分为 2k ? 2(k ? 0,1,2,

) ;
.

(3) B 中也没有两个不同的元素,其和具有上述形式. 证明:这种分拆可以以唯一的方式实现,并确定 1987,1988,1989 所属的子集.


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