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河北省“名校联盟”(五校联考)2018届高三上学期教学质量监测(一)数学(理)试题


河北省“名校联盟”2018 届高三教学质量监测(一)数学(理)试卷
说明: 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分。考试时间 120 分钟

卷Ⅰ(选择题

共 60 分)

一.选择题(共 12 小题,每小题 5 分,计 60 分。在每小题给出的四个选项中,有且仅有一 个正确的) 1、已知复数 z1 ? 1 ? i, z2 ? 1 ? i ,则

z1 z2 等于 i
D. ?2 ? i

A. 2i

B. ? 2i

C. 2 ? i

2、设 P 和 Q 是两个集合,定义集合 P ? Q = ?x | x ? P, 且x ? Q?,如果 P ? x log2 x ? 1 ,

?

?

Q ? x x ? 2 ? 1 ,那么 P ? Q 等于

?

?

A.?x 0 ? x ? 1?
3、下列命题是真命题的是

?x 0 ? x ? 1? B.

?x1 ? x ? 2? C.

?x 2 ? x ? 3? D.

? A. 若 sin x ? cos y ,则 x ? y ? 2 ?? ? ? ? ? ? C. 若向量 a, b满足a / /b ,则a+b=0
4、 已知向量 a、 b 为单位向量,且 a ? b ? ?

B. ?x ? R, 2x?1 ? 0
D. 若 x ? y ,则 x 2 ? y 2

1 ,向量 c 与 a ? b 共线,则 a ? c 的最小值为 2

A.1

B.

1 2

C.

3 4

D.

3 2

5、若函数 y ? f (2 x ? 1) 是偶函数,则函数 y ? f ( x) 的图象的对称轴方程是

A. x ? 1

B. x ? ?1

C. x ? 2

D. x ? ?2

6、设等比数列 ?an ?的公比为 q ,则“ 0 ? q ? 1 ”是“ ?an ?是递减数列”的

A. 充分不必要条件
必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不

2 7、已知函数 f ( x) ? x , g ( x) ? lg x ,若有 f (a) ? g (b) ,则 b 的取值范围是

A. [0, +∞)
+∞)

B.(0, +∞)

C. [1, +∞)

D.(1,

8、 如图, 在扇形 OAB 中,?AOB ? 60? ,C 为弧 .AB 上且与 A, B 不重合 的一个动点, 且 OC ? xOA ? yOB , 若 u ?x ? y ? (? ?0 ) 存 ...

在最大值,则 ? 的取值范围为

A. (1,3)

1 B. ( ,3) 3

1 C. ( ,1) 2

1 D. ( ,2) 2

9、定义行列式运算

a1 a2 a3 a 4

= a1a4 ? a2 a3 .将函数 f ( x) ?

sin 2 x cos 2 x

3 1

的图象向左平移

? 个 6

单位,以下是所得函数图象的一个对称中心是

?? ? A. ? , 0 ? ?4 ?

?? ? B. ? , 0 ? ?2 ?

?? ? C. ? , 0 ? ?3 ?

?? ? D. ? , 0 ? ? 12 ?

10、 已知数列 ?an ?满足:a1 ? 1, an ?1 ?

an 1 (n ? N *) ,若 bn?1 ? (n ? ? )( ? 1), b1 ? ?? , 且 an ? 2 an

数列 ?bn ?是单调递增数列,则实数 ? 的取值范围是

A. ? ? 2

B.? ? 3

C.? ? 2

D.? ? 3

11 、 已 知 函 数 f ( x ) ? x cos

?x , 存 在 f ( x) 的 零 点 x0 , ( x0 ? 0) , 满 足 ?

? f '( x0 )?

2

2 ? ? 2 (? 2 ? x0 ) ,则 ? 的取值范围是

A. (? 3,0) ? (0, 3)

B. (?

3 3 , 0) ? (0, ) 3 3 3 3 ) ? ( , ??) 3 3

C. (??, ? 3) ? ( 3, ??)

D. (??, ?

3 ? 4 ? 8 | x ? |, 1 ? x ? 2 ? ? 2 12、已知定义在 [1, 8] 上的函数 f ( x) ? ? 则下列结论中,错误 的是 .. ? 1 f ( x ), 2 ? x ? 8 ? ?2 2

A. f (6) ? 1

B.函数 f ( x) 的值域为 [0,4]

C.将函数 f ( x) 的极值由大到小排列得到数列 {an }, n ? N * ,则 {an } 为等比数列 D.对任意的 x ? [1,8] ,不等式 xf ( x) ? 6 恒成立

卷Ⅱ(非选择题
二.填空题(共 4 小题,每小题 5 分,计 20 分)

共 90 分)

13 、 已知向量 b 为单位向量,向量 a ? (1,1) ,且 | a ? 2b |? 为 .

?

?

?

?

? ? 6 ,则向量 a , b 的夹角
y
? 1 3 O
?1

?

14、若函数 f ( x) ? A sin(? x ?

?
6

)( A ? 0, ? ? 0) 的图象
.

2? 3

x

如图所示,则图中的阴影部分的面积为

第 14 题图

15、 已知函数 f ( x) ? mx3 ? nx2 的图象在点 (?1,2) 处的切线恰好与直线 3x ? y ? 0 平行, 若

f ( x) 在区间 [t , t ? 1] 上单调递减,则实数 t 的取值范围是________.
2 ? ? x ? 2, x ? ? 0,1? , 且f ? x ? 2 ? ? f ? x ? , 16、已知定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足: f ? x ? ? ? 2 2 ? x , x ? ? 1, 0 , ? ? ? ? 2x ? 5 g ? x? ? ,则方程 f ? x ? ? g ? x ? 在区间 ? ?5,1? 上的所有实根之和为 . x?2

三.解答题(共 6 小题,计 70 分) 17、 (本题 12 分) 已知 A, B 是直线 y ? 0 与函数 f ( x) ? 2 cos 图像的两个相邻交点,且 | AB |? (Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)在锐角 ?ABC 中,a, b, c 分别是角 A,B,C 的对边,若 f ( A) ? ? 面积为 3 3 , 求 a 的值.
2

?x

?
2

? cos(? x ? ) ? 1(? ? 0) 2 3

?

.

3 , c ? 3, ?ABC 的 2

18、 (本题 12 分) 已知数列 {an },{bn } 分别是等差数列与等比数列, 满足 a1 ? 1 , 公差 d ? 0 , 且 a2 ? b2 , a6 ? b3 , a22 ? b4 . (Ⅰ)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)设数列 {cn } 对任意正整数 n 均有

c c1 c2 ? ? ? ? ? ? n ? an?1 成立,设 {cn } 的前 n 项和为 b1 b2 bn

Sn ,求证: S2017 ? e2017 ( e 是自然对数的底).

19、 (本题 12 分) 如图,在多面体 ABCDEF 中,底面 ABCD 是边长为 2 的的菱形,

E

?BAD ? 60 ,四边形 BDEF 是矩形,平面 BDEF ? 平面 ABCD ,
?

BF ? 3 , G 和 H 分别是 CE 和 CF 的中点.
(Ⅰ)求证:平面 BDGH / / 平面 AEF ; (Ⅱ)求二面角 H ? BD ? C 的大小.

F D

G
H

C
A B

20、 (本题 12 分)如图,设椭圆的中心为原点 O,长轴在 x 轴上,上顶点为 A,左、右焦 点分别为 F1,F2,线段 OF1,OF2 的中点分别为 B1,B2,且△AB1B2 是面积为 4 的直角三角 形. (Ⅰ)求该椭圆的离心率和标准方程; (Ⅱ)过 B1 作直线 l 交椭圆于 P,Q 两点, 使 PB2⊥QB2,求直线 l 的方程.

21、 (本题 12 分)已知函数 f ( x) ?

1 2 ax ? (2a ? 1) x ? 2ln x (a ? R) . 2 (Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 和 x ? 3 处的切线互相平行,求 a 的值; (Ⅱ)求 f ( x) 的单调区间;
(Ⅲ)设 g ( x) ? x ? 2 x ,若对任意 x1 ? (0, 2] ,均存在 x2 ? (0, 2] ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,
2

求 a 的取值范围.
请考生在第 22、23 两题中任选一题作答,如果多选,则按所做的第一题计分.

22、(本题 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系中,以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 已 知 曲 线 C : ? sin
2

? ? 2a cos? (a ? 0), 过 点 P(?2,?4) 的 直 线 l 的 参 数 方 程 为 :

? x ? ?2 ? ? ? ? ? y ? ?4 ? ? ?

2 t 2 (t为参数) ,直线 l 与曲线 C 分别交于 M、N 两点. 2 t 2

(Ⅰ)写出曲线 C 和直线 l 的普通方程; (Ⅱ)若 PM 、 MN 、 PN 成等比数列,求 a 的值. 23、(本题 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? 2x ? 1 ? 2x ? 3 . (Ⅰ)求不等式 f ( x) ? 6 的解集; (Ⅱ)若关于 x 的不等式 f ( x) ? a ?1 的解集非空,求实数 a 的取值范围.

河北省“名校联盟”2018 届高三教学质量监测(一)数学(理)试卷答案
BABDA DCDBC DC

13.

2? 3 14.1 ? 15.[?2,?1] 16.- 7 3 2

17.解: (1)

1 3 ? f ( x) ? 1 ? cos wx ? cos wx ? sin wx ? 1 ? ? 3 sin( wx ? ) ?3 分 2 2 3

由函数的图象及 AB ?

?
2

,得到函数的周期 T ?

2? ? ? 2 ? ,解得 w ? 2 ???5 分 w 2

(2)? f ( A) ? ? 3 sin(2 A ? 又?? ABC 是锐角三角形 ? 由 S? ABC ?

?

3 ? 3 ) ? ? ,? sin(2 A ? ) ? 3 2 3 2

?
3

? 2A ?

?
3

?

2? ? ? ? , ? 2 A ? ? ,即A= ,????8 分 3 3 3 3
????????10 分

1 3b 3 bc sin A ? ? ? 3 3,得b=4 2 2 2
2 2 2 2 2

由余弦定理得 a ? b ? c ? 2bc cos A ? 4 ? 3 ? 2 ? 4 ? 3 ? 12 分

1 ? 13,即a ? 13 2

???

2 18、 (1)解:由题意可知 (1 ? 5d ) ? (1 ? d )(1 ? 21d ) ,结合 d ? 0 ,解得 d ? 3 ,

所以 an ? 3n ? 2 . bn ? 4

n ?1

??? 5 分

(2)证明:因为

c c1 c2 ? ? ? ? ? ? n ? an?1 , b1 b2 bn

所以

c c1 c2 ? ? ? ? ? ? n?1 ? an (n ? 2) , b1 b2 bn?1 cn ? an ?1 ? an ? 3 ,所以 cn ? 3bn ? 3 ? 4n?1 (n ? 2) bn
???8 分

两式作差可得,

当 n ? 1 时, c1 ? b1a2 ? 4 ,所以 cn ? ?

?4(n ? 1)
n ?1 ?3 ? 4 (n ? 2)

???10 分

于是 S2017 ? 4 ? 3 ? 4 ? 3 ? 42 ? ? ? ? ? 3 ? 42016

? 4 ? 3(41 ? 42 ? ? ? ? ? 42016 ) ? 4 ? 3 ?

4(1 ? 42016 ) ? 42017 ? e 2017 . ????12 分 1? 4

19、 (Ⅰ)证明:在 ?CEF 中,因为 G , H 分别是 CE, CF 的中点, 所以 GH / / EF , 又因为 GH ? 平面 AEF , EF ? 平面 AEF , 所以 GH / / 平面 AEF . 设 AC ? BD ? O ,连接 OH , 因为 ABCD 为菱形,所以 O 为 AC 中点 在 ?ACF 中,因为 OA ? OC , CH ? HF , 所以 OH / / AF , 又因为 OH ? 平面 AEF , AF ? 平面 AEF , 所以 OH / / 平面 AEF . ?????? 4 分
O

?????? 2 分

z E

F
D

G
H

C

y

A B

又因为 OH ? GH ? H , OH , GH ? 平面 BDGH , 所以平面 BDGH / / 平面 AEF . (Ⅱ)解:取 EF 的中点 N ,连接 ON ,

x
??????5 分

因为四边形 BDEF 是矩形, O, N 分别为 BD, EF 的中点,所以 ON / / ED , 因为平面 BDEF ? 平面 ABCD ,所以 ED ? 平面 ABCD , 所以 ON ? 平面 ABCD ,

因为 ABCD 为菱形,所以 AC ? BD ,得 OB, OC , ON 两两垂直. 所以以 O 为原点, OB, OC , ON 所在直线分别为 x 轴, y 轴, z 轴, 如图建立空间直角坐标系. 因为底面 ABCD 是边长为 2 的菱形, ?BAD ? 60? , BF ? 3 , 所以 B(1, 0, 0) , D(?1, 0, 0) , E (?1, 0,3) , F (1, 0,3) , C(0, 3,0) ,

1 3 3 H( , , ). 2 2 2
所以 BH ? (? ,

??????????????????7 分

????

??? ? r 1 3 3 , ) , DB ? (2,0,0) . 设平面 BDH 的法向量为 n ? ( x, y, z) , 2 2 2

? ?n ? BH ? 0 ?? x ? 3 y ? 3 z ? 0 ?? ? ? 2x ? 0 ? n ? DB ? 0 ? ? 令 z ? 1 ,得 n ? (0, ? 3,1) .

?????9 分

由 ED ? 平面 ABCD ,得平面 BCD 的法向量为 DE ? (0,0,3) ,

??? ?

? ???? ? ???? n ? DE 0 ? 0 ? (? 3) ? 0 ? 1? 3 1 ? 则 cos ? n, DE ?? ? ???? ? 2?3 2 n DE
所以二面角 H ? BD ? C 的大小为 60 ? .

.?????11 分 ??????12 分

20、 (1) 如图,设所求椭圆的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0),右焦点为 F2(c,0). 因△AB1B2 是直角三角形, 又|AB1|=|AB2|, 故∠B1AB2 为直角, 因此|OA|=|OB2|,得 b= . 2 结合 c =a -b 得 4b =a -b ,
2 2 2 2 2 2

x2 y 2 a b

c

c 2 2 2 2 2 故 a =5b ,c =4b ,所以离心率 e= = 5.???3 分 a 5 1 c 2 在 Rt△AB1B2 中,OA⊥B1B2,故 S△AB1B2= ·|B1B2|·|OA|=|OB2|·|OA|= ·b=b .由题 2 2
设条件 S△AB1B2=4 得 b =4,从而 a =5b =20.因此所求椭圆的标准方程为:
2 2 2

+ = 20 4

x2

y2

1.???5 分 (2)由(1)知 B1(-2,0),B2(2,0).由题意知直线 l 的倾斜角不为 0,故可设直线 l 的方程 为 x=my-2.代入椭圆方程得(m +5)y -4my-16=0. 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 y1,y2 是上面方程的两根, 因此 y1+y2= 4m 16 ,y1·y2=- 2 ,???8 分 m2+5 m +5
2 2

→ → 又B2P=(x1-2,y1),B2Q=(x2-2,y2), → → 所以B2P·B2Q=(x1-2)(x2-2)+y1y2 =(my1-4)(my2-4)+y1y2=(m +1)y1y2-4m(y1+y2)+16 16?m +1? 16m 16m -64 =- - 2 +16=- 2 , m2+5 m +5 m +5 → → 由 PB2⊥QB2,得B2P·B2Q=0, 即 16m -64=0,解得 m=±2.???10 分 所以满足条件的直线有两条,其方程分别为 x+2y+2=0 和 x-2y+2=0. ????? 12 分
2 2 2 2 2

2 ( x ? 0) . ---------2 分 x 2 (Ⅰ) f ?(1) ? f ?(3) ,解得 a ? . ---------3 分 3 (ax ? 1)( x ? 2) ( x ? 0) . ---------4 分 (Ⅱ) f ?( x) ? x ①当 a ? 0 时, x ? 0 , ax ? 1 ? 0 , 在区间 (0, 2) 上, f ?( x) ? 0 ;在区间 (2, ??) 上 f ?( x) ? 0 , 故 f ( x) 的单调递增区间是 (0, 2) , 单调递减区间是 (2, ??) . ---------5 分 1 1 ②当 0 ? a ? 时, ? 2 , 2 a 1 1 在区间 (0, 2) 和 ( , ??) 上, f ?( x) ? 0 ;在区间 (2, ) 上 f ?( x) ? 0 , a a 1 故 f ( x) 的单调递增区间是 (0, 2) 和 ( , ??) , a 1 单调递减区间是 (2, ) . --------6 分 a 1 ( x ? 2 2) ? , ) ③当 a? 时 , f ( x) ? , 故 f ( x) 的 单 调 递 增 区 间 是 ( 0 ?? . 2 2x
21、 f ?( x) ? ax ? (2a ? 1) ? ---------7 分 ④当 a ?

1 1 时, 0 ? ? 2 , 2 a

在区间 (0, ) 和 (2, ??) 上, f ?( x) ? 0 ;在区间 ( , 2) 上 f ?( x) ? 0 , 故 f ( x) 的单调递增区间是 (0, ) 和 (2, ??) ,单调递减区间是 ( , 2) . 分 (Ⅲ)由已知,在 (0, 2] 上有 f ( x)max ? g ( x)max .---------9 分 由已知, g ( x)max ? 0 ,由(Ⅱ)可知,

1 a

1 a

1 a

1 a

---------8

1 时, f ( x) 在 (0, 2] 上单调递增, 2 故 f ( x)max ? f (2) ? 2a ? 2(2a ? 1) ? 2ln 2 ? ?2a ? 2 ? 2ln 2 , 所以, ?2a ? 2 ? 2 ln 2 ? 0 ,解得 a ? ln 2 ? 1, 1 故 ln 2 ? 1 ? a ? . ---------10 分 2 1 1 1 ②当 a ? 时, f ( x) 在 (0, ] 上单调递增,在 [ , 2] 上单调递减, 2 a a 1 1 ? 2 ln a . 故 f ( x) max ? f ( ) ? ?2 ? a 2a 1 1 1 由 a ? 可知 ln a ? ln ? ln ? ?1 , 2 ln a ? ?2 , ?2 ln a ? 2 , 2 2 e 所以, ?2 ? 2 ln a ? 0 , f ( x)max ? 0 , ---------11 分 综上所述, a ? ln 2 ? 1. ---------12 分
①当 a ?

22.( Ⅰ ) y 2 ? 2ax, y ? x ? 2.
? ? x ? ?2 ? ? (Ⅱ)直线l的参数方程为 ? ? y ? ?4 ? ? ?

?????5 分

2 t 2 (t为参数). 2 t 2

代入y 2 ? 2ax,得到t 2 ? 2 2 (4 ? a)t ? 8(4 ? a) ? 0, 则有t1 ? t2 ? 2 2 (4 ? a),t1 ? t2 ? 8(4 ? a),

? MN ? PM ? PN , ?(t1 ? t2 )2 ? (t1 ? t2 )2 ? 4t1 ? t2 ? t1t2 ,

2

即a 2 ? 3a ? 4 ? 0.解得a ? 1或a ? ?4(舍去). ?????10 分
3 1 3 ? ? ?x> , ?- ≤x≤ , 2 2 2 23、 解: (Ⅰ)原不等式等价于? 或? ? ?(2x+1)+(2x-3)≤6 ? ?(2x+1)-(2x-3)≤6 1 ? ?x<- , 2 或? ? ?-(2x+1)-(2x-3)≤6, 3 1 3 1 解得 <x≤2 或- ≤x≤ 或-1≤x<- . 2 2 2 2

故不等式的 解集为{x|-1≤x≤2}. (Ⅱ)∵f(x)=|2x+1|+|2x-3|≥|(2x+1)-(2x-3)|=4, ∴|a-1|>4,解此不等式得 a<-3 或 a>5.

?????5 分

?????10 分


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