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1.1.3.2 补集及综合应用1


第2课时 补集及综合应用

1.在理解两个集合并集与交集含义的基础上理解全集和 补集的概念.

2.能使用Venn图表示集合的关系和运算,体会直观图示
对理解抽象概念的作用. 3.能够正确的理解不同语言表示的集合的本质,并且能 够在解题时准确表达.

观察下列三个集合: S={高一年级的同学}

A={高一年级参加军训的同学}
B={高一年级没有参加军训的同学} 这三个集合之间有何关系? 显然,集合S中除去集合A之外就是集合B.

探究点1
定义

全集

如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元 素,那么就称这个集合为全集.(universe set) 通常记作U.

注意:全集是相对于所研究问题而言的一个相对概念,
它含有与所研究问题有关的各个集合的全部元素.因此

全集因问题而异.

探究点2
定义

补集

对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组
成的集合称为集合A相对于全集U的补集(complementary set),简称为集合A的补集,记作

即Cu A ? {x | x ? U, 且x ? A}
可用Venn图表示为

?UA
A

.

U

?UA

例1

(1) 设U={x|x是小于9的正整数},A={1,2,3}, . B U

B={3,4,5,6},求 痧A, U

(2)设全集U={x|x是三角形},A={x|x是锐角三角形}, B={x|x是钝角三角形},求 A I B, ? ( A U B) . U

解:(1) U ? ?1, 2,3, 4,5,6,7,8? ,

? U A ? ?4,5,6,7,8? ,
? 1, 2,7,8? UB ??

{x∣x直角三角形}. (2)A I B ? ?; ? U ( A U B) ?

1.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5},

B={1,3,5,7}
求A∩(CUB), (CUA)∩(CUB). 解:由题意可知 CUA={1,3,6,7},CUB={2,4,6},

则A∩(CUB)={2,4},
(CUA)∩(CUB)={6}.

例2

已知全集U=R,集合 A ? {x | x ? 3} ,

B ? {x | 2 ? x ? 4} , 求 (CU A) I B .

2

3

4

x

解: CU A ? ? x x ? 3?
(CU A) I B ? ? x 3 ? x ? 4?

2.已知全集U=R,集合A={x|1≤2x+1<9, 求CUA. 解: A ? ? x 0 ? x ? 4?

CU A ? ? x x ? 0或x ? 4? .

探究点3

补集的运算性质(1)

若全集为U,A ?U,则:

(1)CUU ? ?
(2)CU ? ? U

(3)CU (CU A) ? A
(4) A U (CU A) ? U

(5) A I (CU A) ? ?

补集的运算性质(2)

(1)CU ( A I B) ? (CU A) U(CU B)
(2)CU ( A U B) ? (CU A) I (CU B)

U

例3 已知全集U={所有不大于30的质数},A、B都 是U的子集,若 A I (CU B) ? ?5,13,23? ,

A U(CU B) ? ?2,3,5,7,13,17,23?, (CU A) I (CU B) ? ?3,7?,
你能求出集合A、B吗? 解: A ? ?2,5,13,17,23?, B ? ?2,11,17,29?

A
5,13,23

2 17 3,7

B

U

11,19,29

1. 设全集为U= {2, 4, a

2

CU A ? ?7? , 求实数a的值.
?a ? 1 ? 4 由 ? 2 得a=3. ?a ? a ? 1 ? 7.

? a ? 1}, A ? ?a ? 1, 2? ,

2.设U是全集,M、N是U的两个子集: (1)若 CU M ? N,则 M = CU N , (2)若 M ? N , 则 CU M ? C N .
U

3.设 U ? R, A ? ? x ?1 ? x ? 2? , B ? ? x 1 ? x ? 3? ,求 A I B ,
A U B, CU A, CU B, CU ( A U B),(CU A) I (CU B).

解: A I B ? ? x 1 ? x ? 2? ; A U B ? ? x ?1 ? x ? 3?

CU A ? ? x x ? ?1或x ? 2? ;CU A ? ? x x ? 1或x ? 3? ; CU ( A U B ) ? ? x x ? ?1或x ? 3? ; (CU A) I (CU B) ? ? x x ? ?1或x ? 3? ;

4. 某班有学生55人,其中音乐爱好者34人,体育爱好者43人, 还有4人既不爱好体育也不爱好音乐,班级中既爱好体育又 爱好音乐的有多少人?

解:34+43+4-55=26人

集合中元素的个数:P13 用card来表示有限集A中的元素个数. 如:A={a,b,c} 则card(A)=3 card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)
card(AUBUC) C A B

A B

= card(A) + card(B) + card(C)
+ card(A ? B ? C )

C

- card(A ? B) - card( B ? C) - card( A ? C )

回顾本节课你有什么收获 1.全集和补集的概念. 2.补集的性质. 3.用数轴法和图示法求交集、并集、补集.

课后作业
1. 阅读教材;

2. 教材P.12习题A组第9、10题;
3. 自学教材P13~ P14 .
只要时刻保持一份自信、一颗不息的

奋斗雄心,生命的硕果就会如影相随。

只要时刻保持一份自信、一颗不息的奋斗
雄心,生命的硕果就会如影相随。


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