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2.1 直线和圆锥曲线的参数方程 学案 (北师大选修4-4)


§ 2 直线和圆锥曲线的参数方程 2.1 直线的参数方程 1.掌握直线参数方程的标准形式,理解参数 t 的几何意义. 2.能依据直线的几何性质,写出它的两种形式的参数方程,体会参数的几何意义. 3.能利用直线的参数方程解决简单的实际问题. 1.经过点 P(x0,y0)、倾斜角是 α 的直线的参数方程 经过点 P(x0,y0)、倾斜角是 α 的直线的参数方程为________________. 其中 M(x,y)为直线上的任意一点,参数 t 的几何意义是______________,可以用有向 → 线段PM的数量来表示. 3π 【做一做 1-1】经过点 M(-2,3),倾斜角为 的直线 l 的参数方程是__________. 4 ?x=-2+tcos 30° , ? 【做一做 1-2】直线? (t 为参数)的倾斜角 α 等于( ). ? ?y=3-tsin 60° A.30° B.60° C.-45° D.135° 2.经过两个定点 Q(x1,y1),P(x2,y2)(其中 x1≠x2)的直线的参数方程 经过两个定点 Q(x1,y1),P(x2,y2)(其中 x1≠x2)的直线的参数方程为_________________. → 其中 M(x,y)为直线上的任意一点,参数 λ 的几何意义是动点 M 分有向线段QP的数量 QM 比 . MP 当______时,M 为内分点; 当 λ<0 且 λ≠-1 时,M 为外分点; 当 λ=0 时,____________. x +λx x= ? ? 1+λ , 直线的参数方程? y +λy y= ? ? 1+λ 1 2 1 2 (λ 为参数,λ≠-1)可以表示点 Q(x1,y1)(λ=0 时),但 不能表示点 P(x2,y2).如果遇到与点 P(x2,y2)有关的问题时,可对点 P 进行单独检验. 【做一做 2】经过点 Q(1,2),P(3,7)的直线的参数方程为( ). 2+3λ ? ?x= 1+λ , A.? 1+7λ ?y= 1+λ ? 1+3λ ? ?x= 1+λ , B.? 2+7λ ? ?y= 1+λ (λ 为参数,λ≠-1) (λ 为参数,λ≠-1) -1+3λ ? ?x= 1+λ , C.? -2+7λ ?y= 1+λ ? 1-3λ ? ?x= 1+λ , D.? 2-7λ ? ?y= 1+λ (λ 为参数,λ≠-1) (λ 为参数,λ≠-1) 由直线的参数方程求直线的倾斜角 ? ?x=x0+tcos θ, 剖析:如果直线的参数方程是? (t 为参数)的形式,由方程直接可得出倾 ?y=y0+tsin θ ? ?x=1+tcos 15° , ? 斜角,即方程中的角 θ,例如,直线的参数方程为? 则直线的倾斜角为 15° . ? , ?y=1+tsin 15° ? , ?x=1+tsin 15° 如果不是上述形式,例如直线 ? (t 为参数 )的倾斜角就不能直接判断 ?y=1+tcos 15° ? ? , ?x-1=tsin 15° 1 了.第一种方法:把参数方程改写为? 消去 t,有 y-1= (x-1),即 tan 15° ? , ?y-1=tcos 15° y - 1 = tan 75° (x - 1) , 故 倾 斜 角 为 75° .第二种方法:把原方程化为标准形式,即 ? , ?x=1+tcos75° ? 可以看出直线的倾斜角为 75° . ? , ?y=1+tsin 75° 答案: ? ?x=x0+tcos α, 1.? (t 为参数) 从点 P 到 M 的位移

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