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高中数学学习必备的初中知识技能(5.二次函数的最值问题)


第五讲 二次函数的最值问题
二次函数 y = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0) 是初中函数的主要内容,也是高中学习的重要基 础.在初中阶段大家已经知道:二次函数在自变量 x 取任意实数时的最值情况(当 a > 0 时, 函数在 x = ?

b 4ac ? b 2 b 处取得最小值 ,无最大值;当 a < 0 时,函数在 x = ? 处取得 2a 4a 2a

4ac ? b 2 最大值 ,无最小值. 4a
本节我们将在这个基础上继续学习当自变量 x 在某个范围内取值时,函数的最值问 题.同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用.
2 【例 1】当 ?2 ≤ x ≤ 2 时,求函数 y = x ? 2 x ? 3 的最大值和最小值. 】

分析: 分析:作出函数在所给范围的及其对称轴的草图,观察图象的最高点和最低点,由此得 到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量 x 的值. 解:作出函数的图象.当 x = 1 时, ymin = ?4 ,当 x = ?2 时, ymax = 5 .

2 【例 2】当 1 ≤ x ≤ 2 时,求函数 y = ? x ? x + 1 的最大值和最小值. 】

解:作出函数的图象.当 x = 1 时, ymin = ?1 ,当 x = 2 时, ymax = ?5 . 由上述两例可以看到,二次函数在自变量 x 的给定范围内,对应的图象是抛物线上的一 段.那么最高点的纵坐标即为函数的最大值,最低点的纵坐标即为函数的最小值. 根据二次函数对称轴的位置,函数在所给自变量 x 的范围的图象形状各异.下面给出一 些常见情况:

【例 3】当 x ≥ 0 时,求函数 y = ? x (2 ? x ) 的取值范围. 】
2 解:作出函数 y = ? x (2 ? x ) = x ? 2 x 在 x ≥ 0 内的图象.

可以看出:当 x = 1 时, ymin = ?1 ,无最大值.

所以,当 x ≥ 0 时,函数的取值范围是 y ≥ ?1 . 【例 4】当 t ≤ x ≤ t + 1 时,求函数 y = 】

1 2 5 x ? x ? 的最小值(其中 t 为常数). 2 2

分析: 分析:由于 x 所给的范围随着 t 的变化而变化,所以需要比较对称轴与其范围的相对位 置. 解:函数 y =

1 2 5 x ? x ? 的对称轴为 x = 1 .画出其草图. 2 2
当 x = t 时, ymin =

(1) 当对称轴在所给范围左侧.即 t > 1 时:

(2) 当对称轴在所给范围之间.即 t ≤ 1 ≤ t + 1 ? 0 ≤ t ≤ 1 时:

1 2 5 t ?t ? ; 2 2

1 2 5 × 1 ? 1 ? = ?3 ; 2 2 (3) 当对称轴在所给范围右侧.即 t + 1 < 1 ? t < 0 时: 1 5 1 2 2 当 x = t + 1 时, ymin = (t + 1) ? (t + 1) ? = t ? 3 . 2 2 2
当 x = 1 时, ymin =

?1 2 ? 2 t ? 3, t < 0 ? 综上所述: y = ??3, 0 ≤ t ≤ 1 ?1 5 ? t2 ? t ? ,t > 1 2 ?2
在实际生活中,我们也会遇到一些与二次函数有关的问题: 【例 5】某商场以每件 30 元的价格购进一种商品,试销中发现这种商品每天的销售量 】

m (件)与每件的销售价 x (元)满足一次函数 m = 162 ? 3 x,30 ≤ x ≤ 54 .
(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润 y 与每件销售价 x 之间的函数关系式; (2) 若商场要想每天获得最大销售利润,每件商品的售价定为多少最合适?最大销售利 润为多少? 解:(1) 由已知得每件商品的销售利润为 ( x ? 30) 元, 那么 m 件的销售利润为 y = m( x ? 30) ,又 m = 162 ? 3 x .

∴ y = ( x ? 30)(162 ? 3 x) = ?3 x 2 + 252 x ? 4860,30 ≤ x ≤ 54
(2) 由(1)知对称轴为 x = 42 ,位于 x 的范围内,另抛物线开口向下

∴ 当 x = 42 时, ymax = ?3 × 422 + 252 × 42 ? 4860 = 432 ∴ 当每件商品的售价定为 42 元时每天有最大销售利润,最大销售利润为 432 元.

练 习
A
2



1. 抛物线 y = x ? ( m ? 4) x + 2m ? 3 , m = _____ 时, 当 图象的顶点在 y 轴上; m = _____ 当 时,图象的顶点在 x 轴上;当 m = _____ 时,图象过原点. 2.用一长度为 l 米的铁丝围成一个长方形或正方形,则其所围成的最大面积为 ________ . 3.求下列二次函数的最值: (1) y = 2 x ? 4 x + 5 ;
2 2

(2) y = (1 ? x )( x + 2) .

4.求二次函数 y = 2 x ? 3 x + 5 在 ?2 ≤ x ≤ 2 上的最大值和最小值,并求对应的 x 的值. 5.对于函数 y = 2 x 2 + 4 x ? 3 ,当 x ≤ 0 时,求 y 的取值范围. 6.求函数 y = 3 ? 5 x ? 3 x 2 ? 2 的最大值和最小值. 7.已知关于 x 的函数 y = x 2 + (2t + 1) x + t 2 ? 1 ,当 t 取何值时, y 的最小值为 0? B 组

1.已知关于 x 的函数 y = x 2 + 2ax + 2 在 ?5 ≤ x ≤ 5 上. (1) 当 a = ?1 时,求函数的最大值和最小值; (2) 当 a 为实数时,求函数的最大值. 2.函数 y = x 2 + 2 x + 3 在 m ≤ x ≤ 0 上的最大值为 3,最小值为 2,求 m 的取值范围. 3. a > 0 , ?1 ≤ x ≤ 1 时, 设 当 函数 y = ? x 2 ? ax + b + 1 的最小值是 ?4 , 最大值是 0, a, b 求 的值. 4.已知函数 y = x 2 + 2ax + 1 在 ?1 ≤ x ≤ 2 上的最大值为 4,求 a 的值. 5.求关于 x 的二次函数 y = x 2 ? 2tx + 1 在 ?1 ≤ x ≤ 1 上的最大值( t 为常数).

第五讲 二次函数的最值问题答案
A 组 1.4 14 或 2,

3 2

2.

l2 2 m 16 9 ,无最小值. 4

3.(1) 有最小值 3,无最大值;(2) 有最大值 4.当 x =

3 31 时, ymin = ;当 x = ?2 时, ymax = 19 . 4 8

5. y ≥ ?5 6.当 x =

5 3 2 时, ymin = 3 ? ;当 x = 或 1 时, ymax = 3 . 6 6 3

7.当 t = ?

5 时, ymin = 0 . 4
B 组

1.(1) 当 x = 1 时, ymin = 1 ;当 x = ?5 时, ymax = 37 . (2) 当 a ≥ 0 时, ymax = 27 + 10a ;当 a < 0 时, ymax = 27 ? 10a . 2. ?2 ≤ m ≤ ?1 . 3. a = 2, b = ?2 . 4. a = ?

1 或 a = ?1 . 4

5.当 t ≤ 0 时, ymax = 2 ? 2t ,此时 x = 1 ;当 t > 0 时, ymax = 2 + 2t ,此时 x = ?1 .


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