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安徽省六校教育研究会2016届高三年级第一次联考数学文参考答案


安徽省六校教育研究会 2016 届高三第一次联考

数学文参考答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分 1-5 CBADD 6-10 ACBCA 11-12 DB

二、填空题: 本大题共 4 小题,每小题 5 分。 13. 1 14.24 15.

2015 2016

16

.

1 5

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 10 分) (Ι)? f ( x) ? sin x ? 3 cos x ? 3 ? 2 sin( x ?

?
3

)? 3,

? f ( x)的最小正周期为2? .
由 2k? ? 得 2k? ?

? ?
2

? x?

?
3

? 2k? ? 7? . 6

3? ,k ? Z . 2

6

? x ? 2k? ?

? f ( x)的单调递减区间是
(Ⅱ)∵ 0 ? x ?

?

2? ? ? ,∴ ? x ? ? ? . 3 3 3 ? 2? 当 x ? ? ? ,即 x ? 时, f ( x) 取得最小值. 3 3 2? 2? ∴ f ( x) 在区间 [0, ] 上的最小值为 f ( ) ? ? 3 . 3 3

7? ? 2k? ? , 2k? ? 6 6

?(k ? Z ).

. . . . . .6 分

. . . . . .10 分

18. (本小题满分12分) 证明: (Ι)由题设知 BC ? CC1 , BC ? AC , CC1 ? AC ? C ,

? BC ? 平面ACC1 A1 , 又DC1 ? 平面ACC1 A1 ,? DC1 ? BC ,
由题设知 ?A1 DC1 ? ?ADC ? 45? ,? ?CDC1 ? 90 , 即 DC1 ? DC , 又DC ? BC ? C ,? DC1 ? 平面BDC , 又 DC1 ? 平面BDC1 ,? 平面 BDC1 ? 平面 BDC . (Ⅱ)? AC ? BC ? 又 V棱柱ABC ? A1B1C1 ? . . . . . .6 分
?

1 1 1? 2 1 AA1 ? 1 ,由题意知 V棱锥B ? DACC1 ? ? ? 1? 1 ? , 3 2 2 2

?V多面体C1 A1DBB1

1 ? 1? 1? 2 ? 1 2 1 1 ? 1? ? . 2 2

. . . . . .12 分(其他方法酌情给分)

19. (本小题满分 12 分)
安徽省六校教育研究会 2016 届高三第一次联考(数学文参考答案) 第 1 页 共 4 页

(Ⅰ) 由已知 S n ? 2a n ? a1 ,有 a n ? S n ? S n ?1 ? 2a n ? 2a n ?1 ( n ? 2) 即 a n ? 2a n ?1 ( n ? 2) 从而 a 2 ? 2a1 , a3 ? 2a 2 ? 4a1 , 又因为 a1 , a 2 ? 1, a3 成等差数列 即 a1 ? a 3 ? 2(a 2 ? 1) 所以 a1 ? 4a1 ? 2( 2a1 ? 1) ,解得 a1 ? 2 所以,数列 ?a n ? 是首项为 2,公比为 2 的等比数列 故 a n ? 2 ( n ? N ?) .
n

. . . . . .6 分
n

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 n ? a n ? n ? 2
2

所以 Tn ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? n ? 2
3

n

2Tn ? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ? ? (n ?1) ? 2n ? n ? 2n?1
所以 Tn ? 2Tn ? ?Tn ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? n ? 2
2 3 n n ?1

? (1 ? n)2n?1 ? 2

所以 Tn ? (n ? 1)2

n ?1

?2.

. . . . . .12 分

20. (本小题满分 12 分) (1)

2 ?6 ? 4人 3

. . . . . . 3分

(2)6 人中甲班 4 人分别记为 A1 , A2 , A3 , A4 ,乙班 2 人分别记为 B1 , B2 ,在 6 人中选 2 人所有的情 况为 ? A1 , A2 ? ? A1 , A3 ? ? A1 , A4 ? ? A1 , B1 ? ? A1 , B2 ?

? A2 , A3 ? ? A2 , A4 ? ? A2 , B1 ? ? A2 , B2 ? ? A3 , A4 ? ? A3 , B1 ? ? A3 , B2 ? ? A4 , B1 ? ? A4 , B2 ? ?B1 , B2 ? 共 15 种选法,其中恰有 1 人有乙班的选法有 8 种,故
所求概率为

8 . 15
2 2

. . . . . . 9分

(3)利用公式计算 k ?

50?20 ? 15 ? 5 ? 10? 25 ? ? 8.333 30 ? 20 ? 25 ? 25 3

? P(k 2 ? 3.841) ? 0.05
故按 95%可靠性要求能认为“成绩与班级有关”。 . . . . . . 12 分

21. (本小题满分 12 分) 解:由已知得圆 M 的圆心为 M (-1,0),半径 r1 =1,圆 N 的圆心为 N (1,0),半径 r2 =3. 设动圆 P 的圆心为 P ( x , y ),半径为 R.
安徽省六校教育研究会 2016 届高三第一次联考(数学文参考答案) 第 2 页 共 4 页

(Ⅰ)∵圆 P 与圆 M 外切且与圆 N 内切,∴|PM|+|PN|= ( R ? r1 ) ? (r2 ? R) = r1 ? r2 =4, 由椭圆的定义可知,曲线 C 是以 M,N 为左右焦点,长半轴长为 2,短半轴长为 3 的椭圆(左顶点除 外),其方程为

x2 y 2 ? ? 1( x ? ?2) . 4 3

. . . . . .4 分

3 x2 y2 ? 3? ? ? 1得 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 A ?1, ? ,设直线AE方程: y ? k ( x ? 1) ? ,代入 2 4 3 ? 2?
3 (3+4k 2)x 2 +4k (3 ? 2k ) x ? 4( ? k ) 2 ? 12 ? 0 2
设E( xE , yE ) ,F( xF , yF ) .因为点 A ?1, ? 在椭圆上,所以

? 3? ? 2?

3 4( ? k ) 2 ? 12 , xE ? 2 3 ? 4k 2 3 yE ? kxE ? ? k . 2 3 4( ? k ) 2 ? 12 , xF ? 2 3 ? 4k 2 3 yF ? ?kxF ? ? k . 2
所以直线 EF 的斜率 k EF ?

. . . . . . .8 分

又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数,在上式中以 ? k 代 k ,可得

y F ? y E ? k ( xF ? xE ) ? 2 k 1 ? ? . 2 x F ? xE x F ? xE
1 . 2
. . . . . . .12 分

即直线 EF 的斜率为定值,其值为 22. (本小题满分12分) (1)解:∵ h ? x ? ? 2 x ? ∴ h? ? x ? ? 2 ?

a2 ? ln x ,其定义域为 ? 0, ?? ? , x

a2 1 ? . x2 x ∵ x ? 1 是函数 h ? x ? 的极值点,
∴ h? ?1? ? 0 ,即 3 ? a ? 0 ,
2

∵ a ? 0 ,∴ a ? 经检验,当 a ? ∴a ?

3. 3 时, x =1是函数 h ( x) 的极值点,
  . . . . . . .4 分

3.

(2)解:对任意的 x1 , x2 ? ?1,e ? 都有 f ? x1 ? ≥ g ? x2 ? 成立等价于对任意的 x1 , x2 ? ?1,e ? ,都
安徽省六校教育研究会 2016 届高三第一次联考(数学文参考答案) 第 3 页 共 4 页

有? ? f ? x ?? ? min ≥ ? ? g ? x ?? ? max .

e ? 时, g ? ? x ? ? 1 ? 当 x ? ?1,
∴? ? g ? x ?? ?

1 ? 0. x ∴函数 g ? x ? ? x ? ln x 在 ?1,e ? 上是增函数.
max

? g ?e? ? e ?1 .

a 2 ? x ? a ?? x ? a ? ∵ f ?? x? ? 1? 2 ? ,且 x ? ?1,e ? , a ? 0 , x x2 ? x ? a ?? x ? a ? ? 0 , ,e ? 时, f ? ? x ? ? ①当 0 ? a ? 1 且 x ? ?1 x2 a2 在 ?1,e ? 上是增函数. ∴函数 f ? x ? ? x ? x 2 ∴? ? f ? x ?? ? min ? f ?1? ? 1 ? a .
由 1 ? a ≥ e ? 1 ,得 a ≥ e , 又 0 ? a ? 1 ,∴ a 不合题意; ②当1≤ a ≤ e 时,
2

x2 ? x ? a ?? x ? a ? ? 0 . 若 a ? x ≤ e ,则 f ? ? x ? ? x2 a2 ∴函数 f ? x ? ? x ? 在 ?1,a ? 上是减函数,在 ? a,e ? 上是增函数, x ?函数? f ( x)?min ? f ?a ? ? 2a ,由 2a ? e ? 1 ,? a ? ? e ?1 ? a ? e; 2
'

若1≤ x ? a ,则 f ? ? x ? ?

? x ? a ?? x ? a ? ? 0 ,

e ?1 , 又1 ? a ? e , 2

③当 a ? e 时,? x ? ?1, e? , f

?x ? ? ?x ? a ??2x ? a ? ? 0 ? f ?x ?在?1,e? 是减函数,
x

? ? f ? x ??min

a2 a2 ? f ( e) ? e ? ,由 e ? ? e ? 1 ,? a 2 ? e, 又a ? 0 ? a ? e ,? a ? e . e e ?e ?1 ? , ? ? ?. ? 2 ?
. . . . . . .12 分

综上,实数 a 的取值范围为 ?

安徽省六校教育研究会 2016 届高三第一次联考(数学文参考答案)

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