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最新人教A版必修5高中数学 2.4 等比数列 构造等比数列的三种方法素材(精品)


谈一类递推数列求通项公式的典型方法 除了我们经常接触的最基本的等差数列和等比数列之外,我们还经常遇到一类递推数列 求通项的问题 .它的基本形式是 :已知 a1 及递推关系 an?1 ? pan ? q ( pq( p ? 1) ? 0) 求 an . 其求解方法有多种,下面结合具体例子介绍三种较为典型的解法. 1 1 an ? 2 且 a1 ? ,求数列 {an } 的通项公式. 2 3 1 1 1 解法一:因为 an ?1 ? an ? 2 ,所以, an ? an ?1 ? 2 ,所以, an ?1 ? an ? ( an ? an ?1 ) ,所以,数 2 2 2 1 11 11 1 n ?1 列 {an?1 ? an } 是 公 比 为 的 等 比 数 列 . 又 a2 ? a1 ? , 所 以 , an ?1 ? an ? ? ( ) , 将 2 6 6 2 1 11 1 an ?1 ? an ? 2 代入上式可得 an ? 4 ? ? ( ) n ?1 . 2 3 2 题目:在数列 {an } (不是常数数列)中, an ?1 ? [ 评 注 ] 这 种 方 法 叫 做 差 分 法 . 即 由 条 件 an?1 ? pan ? q ( pq( p ? 1) ? 0) 进 行 递 推 可 得 an ? pan?1 ? q ,进一步可得 an?1 ? an ? p(an ? an?1 ) ,数列 {an?1 ? an } 是公比为 p 的等比数 列 , 所 以 , an?1 ? an ? (a2 ? a1 ) pn?1 , 再 将 an?1 ? pan ? q 代 入 即 可 求 得 an ? (a2 ? a1 ) p n?1 ? q . p ?1 解法二:所给数列对应的特征方程为: x ? 1 x?2 ,所以,特征根为 x ? 4 .因为 2 1 1 1 an ?1 ? an ? 2 , 所以 , an ?1 ? 4 ? (an ? 4) , 即数列 {an ? 4} 是公比为 的等比数列 , 又 2 2 2 11 11 1 11 1 a1 ? 4 ? ? ,所以, an ? 4 ? ? ? ( ) n ?1 .故 an ? 4 ? ? ( ) n ?1 . 3 3 2 3 2 [评注]:这种方法叫做特征根法 ,因为 p ? 1 ,所以满足 x ? px ? q ( 叫做此数列对应的特征 方 程 ) 的 x 存 在 , 由 an?1 ? pan ? q 可 得 an?1 ? x ? ( pan ? q) ? x ? p(an ? x) , 所 以 , 数 列 {an ? x} 是 以 a1 ? x 为 首 项 , 以 p 为 公 比 的 等 比 数 列 或 各 项 均 为 0, 于 是 再 根 据 条 件 an ? x ? (a1 ? x) pn?1 ,所以, an ? (a1 ? x) pn?1 ? x . 解 法 三 : 设 an ?1 ? ? ? 1 1 1 1 (an ? ? ) , 即 an ?1 ? an ? ? 与 已 知 an ?1 ? an ? 2 对 比 可 得 2 2 2 2 1 1 1 ? ? ? 2 ,所以, ? ? ?4 .所以,可得 an ?1 ? 4 ? (an ? 4) ,即数列 {an ? 4} 是公比为 的等 2 2 2 1 比数列或者各项均为 0.(下同解法二). [评注]:这种方法通常叫做构造法.即由已知递推式的特点构造一个等比数列,再求通项公式. 设 an?1 ? ?

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