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2015秋高中数学 2.1.1指数与指数幂的运算(第2课时)课件 新人教A版必修1


2.1.1 指数与指数幂的运算
(第 二 课 时)

问题 1:当生物死亡后,它机体内原有的碳 14 会按确定的规律衰减,大约每经过 5730 年衰 减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.根据此规律,人们获得了生物体内碳 14 含量 P 与死亡年数 t 之间的关系,这个关系式应该怎样表示呢?

问题 2:考古学家根据上式可以知

道,当生物体死亡了 6000 年,10000 年,100000 年后,
6000 10000 100000 6000

1 1 1 1 1 它体内碳 14 的含量 P 分别 ( )5730 , ( ) 5730 , ( ) 5730 .那么这些数 ( )5730 , ( ) 2 2 2 2 2
10000 5730

1 , ( ) 2

100000 5730

的意义究竟是什么呢?它和我们初中所学的指数有什么区别?

问题 3:观察以下式子,你能总结出什么规律?(a>0)
2 5 ① 5 a10 = 3 (a ) =a2=a

10 5

;

4 2 8 ② a = (a ) =a4=a ;

8 2

③4 a ④2 a

12

3 4 = 4 (a ) =a3=a

12 4 10 2

; .

10

5 2 = 2 (a ) =a5=a

分析:当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成 分数作为指数的形式(分数指数幂形式).

问题 4:利用问题 3 中的规律,你能表示下列式子吗?
4

53 , 3 75 , 5 a 7 , n x m (x>0,m,n∈N*,且 n>1).
3
3 4

解: 4 5 =5 , 7 =7 , a =a , x

3

5

5 3 5

7

7 5

n

m

=x .

m n

问题 5:你能用方根的意义来解释问题 4 中的式子吗?

解:53 的四次方根是 5 ,75 的三次方根是 7 ,a7 的五次方根是 a ,xm 的 n 次方根是 x .

3 4

5 3

7 5

m n

问题 6:你能利用问题 3、4 中得到的结论推广到一般的情形吗?

规定:正数的正分数指数幂的意义是 a = n a m(a>0,m,n∈N*,n>1).

n m

问题 7:负整数指数幂的意义是怎样规定的?

1 a = n (a≠0),n∈N*. a
-n

问题 8:你能得出负分数指数幂的意义吗?
? n m

规定:正数的负分数指数幂的意义是 a

=

1 a
n m

=

1
n

am

(a>0,m,n∈N*,n>1).

问题 9:你认为应怎样规定零的分数指数幂的意义?
规定:零的分数指数幂的意义是:零的正分数次幂等于零,零的

1 1 负分数指数幂没有意义,例如 0 ? 2 ? . 0 0
?2

问题 10:综合上述问题 7、8、9,如何规定分数指数幂的意义?
正数的正分数指数幂的意义是 a = n a (a>0,m,n∈N*,n>1),正数的负分数指数幂的意义是 a
? n m n m

m

=

1 a
n m

=

1
n

am

(a>0,m,n∈N*,n>1),零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义.

问题 11:分数指数幂的意义中,为什么规定 a>0,去掉这个规定 会产生什么样的后果?
若没有 a>0 这个条件会怎样呢? 如 ? ?1? ?
2 6 1 3 3

?1 ? ?1 ,

2 6 ? 1 ? ( ? 1) ? 1 具有同样意义的两个式子出现了截然 ? ?

不同的结果,这只说明分数指数幂在底数小于零时是无意义 的.因此在把根式化成分数指数时,切记要使底数大于零.

问题 12:既然指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数 指数幂的运算性质是否也适用于有理数指数幂呢?
有理数指数幂的运算性质: 对任意的有理数 r,s, (1) a ? a ? a
r s r S r ?s

(a ? 0, r, s ? Q)

(2) (a ) ? a (a ? 0, r, s ? Q)
rs

(3) (a ? b) ? a b (Q ? 0, b ? 0, r ? Q)
r r r

问题 13:若 a >0,P 是一个无理数,则 a 该如何理解?
p

一般来说,无理数指数幂 a (a ? 0, p是一个无理数) 是一个确定
p

的实数,有理数指数幂的性质同样适用于无理数指数幂.无理指数 幂的意义,是用有理指数幂的不足近似值和过剩近似值无限地逼近 以确定大小.

实数指数幂的运算性质:
ar ? as ? ar ?s (a ? 0, r ? R, s ? R) (ar )s ? ars (a ? 0, r ? R, s ? R) (a ? b)r ? ar br (a ? 0, r ? R)

例 1(P56,例 2)求值 ① 8 ; ②25
2 3

2 3

?

1 2

16 ? 4 1 -5 ; ③( ) ; ④( ) . 81 2
3? 2 3

3

解:①8 =(2 ) =2 ②25
? 1 2

3

2 3

=2 =4; =5 =
-1

2

=(5 )

2

?

1 2

=5

1 2?( ? ) 2

1 ; 5

1 -5 -1 -5 -1 ③( ) =(2 ) =2 ×(-5)=32; 2 16 ? 4 2 4?( ? 4 ) 2 -3 27 ④( ) =( ) =( ) = . 81 3 3 8
3 3

例 2 用分数指数幂的形式表示下列各式.
2 3 a3· a ;a2· a ; a 3 a (a>0).

解:a3· a =a3· a =a
3 a2· a =a a =a2·
1 3 1 2

1 2

3?

1 2

=a ;
8 3

7 2

2

2 3

2?

3 2

=a ;
4 3 1 2 2 3

a 3 a =(a· a ) =(a ) =a .

解: (1)原式=[2× (-6)÷ (-3)]a (2)(m n
1 4 ? 3 8 8

2 1 1 ? ? 3 2 6 1 ?8 4

b

1 1 5 ? ? 2 3 6

=4ab0=4a;

) =(m ) (n

1 4 8

?

3 8 8

) =m

n

3 ? ?8 8

2 m =m2n-3= 3 . n

变式训练
求值:
3 6 (1)3 3 · 3· 3;
3 27 m 4 (2) 6 ( . ) 6 125n
1 2 1 3 1 6 1 1 1 1? ? ? 2 3 6

3 6 解:(1)3 3 · 3 · 3 · 3 =3 3· 3 =3·

=32=9;
4 6 4 6

2 3 3 3 3 3 3 9 m 9 2 ?4 27 m 27 m 3 m ( 3 ) ( m ) 4 6 6 mn . (2) 6 ( =( =( = = = ) ( ) ( ) 4 6 3 6 6 4 4 25 25n 125n 5 n 125n 3 6 6 6 (5 ) (n )

4

4

例 4 计算下列各式: (1)( 3 25 ? 125 )÷4 25 ; (2)

a2 a? a
3 2

(a>0).

解: (1)原式=(25 -125 )÷ 25 =(5 -5 )÷ 5 =5
2 1 ? 3 2

1 3

1 2

1 4

2 3

3 2

1 2

-5

3 1 ? 2 2

=5 -5= 6 5 -5; =

1 6

(2)

a2 a? a
3 2

a2 a ?a
1 2 2 3

=a

1 2 2? ? 2 3

=a = a .

5 6

6

5

课堂巩固 :
1.计算:

? 3? ?2 ? 1 ? 2 ? 2 ??2 ? (1) ? ? ? 5? ? 4?
) (2) (0.0001
? 1 4 2 ? (27) 3

0

?

1 2

? (0.01)0.5 .
1

49 ? 2 1 ? ( ) ? ( ) ?1.5 ; 64 9

(3) 81? 9

4

2 3

;

(4)2 3 ×3 1.5 ×6 12 .

2. 化简下列各式: (1)
3 7 a2
4 3

a ?3 ?
1 ? 8a 3 b 3

3

a ?8 3 a15 ?

3

a ?3

a ?1 ;

(2)

a
2 4b 3

? 2 ab ? a
3 2

2 3

? (1 ? 23

b )?3 a . a
1 3

(3) [(a (4)

?

b2)-1· (ab ) (b )7] ;
? 1 2

1 -3 2

1 2

1? a 1?

a
3

?

a ?a a ?1

?

1 2

;

(5) ( a

b 2 ) ?3 ? b ? 4 a ?1 .
2.(1) a ; (2) a ;
1 6

16 314 答案:1. (1) ; (2) ; (3) 3 6 3 ; (4)6; 15 7
(3) a ; (4)
2 3

1 2 a ; (5) . a a(1 ? a)

小结:
1.分数指数是根式的另一种写法. 2.无理数指数幂表示一个确定的实数. 3.掌握好分数指数幂的运算性质,其与整数指数幂的运算性质是一致的.

作业:
1. 课本 P 59 习题 2.1A 组第 2、3、4 题. 2.跟踪资料本节内容,及课时作业。


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