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【数学】第一章 解三角形 章末素质测控1(人教A版必修5)


知识改变命运,学习成就未来

第一章基本知能达标测控 1
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符号题目要求的。) 1.在△ABC 中,若 AB= 3-1,BC= 3+1,AC= 6,则 B 等于( A.30° C.60° [答案] C AB2+BC2-AC2 1 [解析] cosB= = ,∴B=60° . 2AB· BC 2 2.在△ABC 中,A=30° ,AB=2,BC=1,则△ABC 的面积等于( A. 3 2 1 B. 2 D.2 3 ) B.45° D.120° )

C. 3 [答案] A BC AB [解析] ∵由正弦定理知 = , sinA sinC AB· sinA ∴sinC= =1,∴∠C 为直角, BC 1 3 ∴AC= AB2-BC2= 3,则 S△ABC= AC· BC= . 2 2

3.在△ABC 中,A=45° ,AC=4,AB= 2,那么 cosB=( 3 10 A. 10 C. 5 5

)

3 10 B.- 10 D.- 5 5

[答案] D [解析] BC2=AC2+AB2-2AC· ABcosA =16+2-8 2cos45° =10,∴BC= 10, AB2+BC2-AC2 5 cosB= =- . 2AB· BC 5 4.在△ABC 中,a=2 3,b=2 2,B=45° ,则 A 等于( A.30° C.60° 或 120° [答案] C )

B.60° D.30° 或 150°

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a b 2 3 2 2 3 [解析] ∵ = ,∴ = ,∴sinA= ,∴A=60° 或 120° .∵asinB<b<a, sinA sinB sinA sin45° 2 故有两解. 5.等腰△ABC 底角 B 的正弦与余弦的和为 A.30° 或 150° C.30° [答案] A [解析] 由题意:sinB+cosB= 6 1 .两边平方得 sin2B= ,设顶角为 A,则 A=180° -2B. 2 2 6 ,则它的顶角是( 2 )

B.15° 或 75° D.15°

1 ∴sinA=sin(180° -2B)=sin2B= , 2 ∴A=30° 或 150° . 6.从 A 处望 B 处的仰角为 α,从 B 处望 A 处的俯角为 β,则 α、β 的关系为( A.α>β C.α+β=90° [答案] B [解析] 仰角和俯角都是水平线与视线的夹角,故 α=β. 2 3 7.已知△ABC 中,sinB= ,tanC= ,则( 5 4 A.A>C>B C.B>C>A [答案] A [解析] 3 3 π 1 2 1 π 3 ∵tanC= > ,∴C> ,∴sinC> ,sinB= < ,∴B< ,又 tanC= < 3,∴ 4 3 6 2 5 2 6 4 ) B.A>B>C D.C>B>A B.α=β D.α+β=180° )

π π C< ,∴B+C< ,∴A 为钝角,故 A>C>B. 3 2 8.△ABC 的三边分别为 2m+3,m2+2m,m2+3m+3(m>0),则最大内角度数为( A.150° C.90° [答案] B [解析] 解法 1:∵m>0,∴m2+3m+3>2m+3, m2+3m+3>m2+2m. 故边 m2+3m+3 对的角为最大角,由余弦定理, ?2m+3?2+?m2+2m?2-?m2+3m+3?2 cosθ= 2?2m+3??m2+2m? B.120° D.135° )

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1 =- ,∴θ=120° . 2 解法 2:特值法.取 m=1,则三边长为 5,3,7 52+32-72 1 ∴cosθ= =- ,∴θ=120° . 2 2×5×3 9.已知钝角三角形的三边长分别为 2,3,x,则 x 的取值范围是( A.1<x<5 C.1<x< 5或 13<x<5 [答案] C [解析] 当 x 为最大边时{3<x 当 3 为最大边时{1<x
2

)

B. 5<x< 13 D.1<x< 5

x2>32+22 ,∴ 13<x<5;

>x2+22 ,∴1<x< 5.

∴x 的取值范围是:1<x< 5或 13<x<5. [点评] ∵此三角形为钝角三角形,三角形最多可有一个钝角,故当 x 为最大边时,必 有 x>3,当 3 为最大边时,必有 x<3,这与三角形为锐角三角形的讨论是有区别的. 10. 若△ABC 的三边长为 a, b, c, 且 f(x)=b2x2+(b2+c2-a2)x+c2, 则 f(x)的图象是( A.在 x 轴的上方 C.与 x 轴相切 [答案] A [解析] 由题意知 b2>0,Δ=(b2+c2-a2)2-4b2c2 =(2bccosA)2-4b2c2=4b2c2(cos2A-1) =-4b2c2sin2A<0,所以 f(x)的图象在 x 轴上方. 11.如图,一货轮航行到 M 处,测得灯塔 S 在货轮的北偏东 15° ,与灯塔 S 相距 20 海 里,随后货轮按北偏西 30° 的方向航行 30 分钟后,又测得灯塔在货轮的东北方向,则货轮 的速度为( ) B.在 x 轴的下方 D.与 x 轴交于两点 )

A.20( 2+ 6)海里/小时 B.20( 6- 2)海里/小时 C.20( 3+ 6)海里/小时 D.20( 6- 3)海里/小时

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[答案] B [解析] 由题意可知 ∠SMN=15° +30° =45° ,MS=20,∠MNS=45° +(90° -30° )=105° ,设货轮每小时航 1 行 x 海里,则 MN= x, 2 ∴∠MSN=180° -105° -45° =30° , 1 x 2 20 由正弦定理得 = , sin30° sin105° ∵sin105° =sin(60° +45° ) =sin60° cos45° +cos60° sin45° = ∴x=20( 6- 2),故选 B. 12.已知△ABC 中,sinA+sinB=sinC(cosA+cosB),则△ABC 的形状是( A.锐角三角形 C.等腰三角形 [答案] D [解析] ∵sinC=sin(π-A-B)=sin(A+B) =sinAcosB+sinBcosA, ∴sinA+sinB=sinAcosBcosA+sinAcos2B+sinBcos2A+sinBcosBcosA, ∴sinA(1-cos2B)+sinB(1-cos2A) =(sinA+sinB)cosBcosA, ∴sinAsinB(sinA+sinB)=(sinA+sinB)cosBcosA, ∵sinA+sinB≠0,∴sinAsinB=cosAcosB, π π ∴cos(A+B)=0,∴A+B= ,∴C= ,故选 D. 2 2 [点评] 可以通过角的关系来讨论,也可以利用正、余弦定理化角为边讨论: b2+c2-a2 a2+c2-b2 由正弦定理和余弦定理得,a+b=c( + )两边同乘以 2ab 得,2a2b 2bc 2ac +2ab2=ab2+ac2-a3+a2b+bc2-b3,∴a2b+ab2+a3+b3=ac2+bc2, ∴(a+b)(a2+b2)=(a+b)· c2,∴a2+b2=c2, ∴△ABC 为直角三角形. 二、填空题(本大题共 4 个小题,每个小题 4 分,共 16 分.将正确答案填在题中横线上) 13 .三角形一边长 14 ,它对的角为 60° ,另两边之比为 8 ∶ 5 ,则此三角形面积为 __________. [答案] 40 3 B.钝角三角形 D.直角三角形 ) 6+ 2 , 4

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[解析] 设另两边长为 8x 和 5x,则 cos60° = 64x2+25x2-142 ,∴x=2, 80x2

1 ∴另两边长为 16 和 10,此三角形面积 S= ×16×10· sin60° =40 3. 2 14.在△ABC 中,a=50,B=30° ,C=120° ,那么 BC 边上的高的长度是__________. [答案] 25 3 50 AB [解析] ∵A=30° , = ,∴AB=50 3. sin30° sin120° 1 ∴BC 边上的高 AD= AB=25 3. 2 15.在锐角△ABC 中,a=1,b=2,则最大边 c 的取值范围是__________. [答案] (2, 5) [解析] ∵c 是锐角△ABC 的最大边,
2 2 2 ∴{b<c a+b>c a +b >c

∴{c

c

c2<5 ,∴2<c< 5.

16.若△ABC 的面积为 S= [答案] 30° [解析]

a2+b2-c2 ,则∠C=__________. 4 3

a2+b2-c2 1 absinC= ,∴ 3sinC=cosC, 2 4 3 3 ,∴C=30° . 3

∴tanC=

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本题满分 12 分)在△ABC 中,已知 a= 6,A=60° ,b-c= 3-1,求 b,c 和 B, C. [解析] 由余弦定理得,6=b2+c2-2bccos60° , ∴b2+c2-bc=6 ① 由 b-c= 3-1 平方得:b2+c2-2bc=4-2 3 ①、②两式相减得 bc=2+2 3. 由{b-c= 3- bc=2+2 3 ,解得{b= 3+ c=2 , ②

bsinA ? 3+1?sin60° 6+ 2 由正弦定理 sinB= = = . a 4 6 ∵ 6< 3+1,∴B=75° 或 105° . ∵a2+c2>b2,∴B 为锐角,∴B=75° ,C=45° . csinA 2 [点评] 求角 B 时,若先求得 sinC= = ,∵a>c,∴C=45° ,从而得 B=75° . a 2

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a2+c2-b2 6- 2 若用余弦定理 cosB= = ,∴B=75° . 2ac 4 18.(本题满分 12 分)在△ABC 中,若 sin2A=sin2B+sin2C,且 sinA=2sinBcosC,判断 △ABC 形状. [解析] 由正弦定理得 a2=b2+c2, ∴△ABC 为 Rt△,且 A=90° . 又由 sinA=2sinBcosC 得:sin(B+C)=2sinBcosC ∴sin(B-C)=0,∴B=C=45° ,∴△ABC 为等腰直角三角形. 19.(本题满分 12 分)△ABC 三内角 A、B、C 的对边 a、b、c,面积 S=a2-(b-c)2,且 b+c=8. (1)求 cosA. (2)求 S 的最大值. [解析] (1)由条件 S=a2-(b-c)2 可得: 1 bcsinA=b2+c2-2bccosA-(b2+c2-2bc) 2 ∴sinA=4(1-cosA) 3 ∵0<sinA<1,∴ <cosA<1, 4 又 sin2A=16(1-cosA)2 15 ∴17cos2A-32cosA+15=0.∴cosA= . 17 (2)sinA= 1-cos2A= 8 1 4 4 4 64 .S= bcsinA= bc= b(8-b)= [-(b-4)2+16]≤ (当 b= 17 2 17 17 17 17

64 4 时,取等号.),∴S 最大值为 . 17 a-ccosB sinB 20.(本题满分 12 分)在△ABC 中,求证: = . b-ccosA sinA c?a2+c2-b2? a- 2ac a2-c2+b2 2b b sinB [解析] 证法一: 化角为边, 左边= ·2 2 2= = = 2 2 2 = 2 a c?b +c -a ? b +a -c a sinA b- 2bc 右边. 证法二:化边为角,左边= 右边. 21. (本题满分 12 分)在△ABC 中, a、 b、 c 分别是∠A、 ∠B、 ∠C 的对边长, 已知 2sinA = 3cosA. (1)若 a2-c2=b2-mbc,求实数 m 的值; sinA-sinC· cosB sin?B+C?-sinCcosB sinBcosC sinB = = = = sinB-sinC· cosA sin?A+C?-sinCcosA sinAcosC sinA

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(2)若 a= 3,求△ABC 面积的最大值. [解析] (1)由 2sinA= 3cosA两边平方得:2sin2A=3cosA, 即(2cosA-1)(cosA+2)=0, 1 解得:cosA= ,或 cosA=-2(舍去), 2 b2+c2-a2 m ∵a2-c2=b2-mbc 可以变形为 = , 2bc 2 m 1 即 cosA= = ,∴m=1. 2 2 1 3 (2)由(1)知,cosA= ,∴sinA= , 2 2 又 b2+c2-a2 1 = , 2bc 2

∴bc=b2+c2-a2,∴bc≥2bc-a2,∴bc≤a2, 1 a2 3 3 3 故 S△ABC= bcsinA≤ · = . 2 2 2 4 22.(本题满分 14 分)△ABC 中,设 a>b>c,记 x=sinAcosC,y=sinCcosA,z=sinBcosB, 试比较 x、y、z 的大小. [解析] ∵a>b>c,∴A>B>C,y=cosx 在(0,π)上为减函数且 A、B、C∈(0,π),∴

cosA<cosB<cosC. ∵a>b>c,由正弦定理 sinA>sinB>sinC. 若 A 为锐角,则 cosA>0,从而可知, sinAcosC>sinBcosB>sinCcosA,∴x>z>y π 若 A∈[ ,π),则 cosC>cosB>0≥cosA. 2 ∴sinAcosC>sinBcosB>sinCcosA ∴x>z>y 综上知 x>z>y.

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