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北京市房山区周口店中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷 Word版含解析


北京市房山区周口店中学 2014-2015 学年高二上学期期中数学试 卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每个小题给出的四个备选答案中, 只有一个是符合题目要求的. ) 1. (5 分)已知直线经过点 A(0,4)和点 B(1,2) ,则直线 AB 的斜率为() A.3 B . ﹣2 C. 2 D.不存在 2. (5 分)过点(﹣1,3)且平行于直线 x﹣2y+3=0 的直线方程为() A.x﹣2y+7=0 B.2x+y﹣1=0 C.x﹣2y﹣5=0 D.2x+y﹣5=0 3. (5 分)下列说法不正确的是() A.空间中,一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形 B. 同一平面的两条垂线一定共面 C. 过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一个平面内 D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直 4. (5 分)已知点 A(1,2) ,B(3,1) ,则线段 AB 的垂直平分线的方程是() A.4x+2y=5 B.4x﹣2y=5 C.x+2y=5 D.x﹣2y=5 5. (5 分)若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是()

A.

B.

C. 1

D.2

6. (5 分)直线 5x﹣2y﹣10=0 在 x 轴上的截距为 a,在 y 轴上的截距为 b,则() A.a=2,b=5 B.a=2,b=﹣5 C.a=﹣2,b=5 D.a=﹣2,b=﹣5
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7. (5 分)圆(x﹣1) +y =1 与直线 A.相交 B.相切

的位置关系是() C.相离 D.直线过圆心

8. (5 分)圆 C1: (x+2) +(y﹣2) =1 与圆 C2: (x﹣2) +(y﹣5) =16 的位置关系是() A.外离 B.相交 C.内切 D.外切 9. (5 分)若 M、N 分别是△ ABC 边 AB、AC 的中点,MN 与过直线 BC 的平面 β 的位置关 系是() A.MN∥β B. MN 与 β 相交或 MN?β C. MN∥β 或 MN?β D.MN∥β 或 MN 与 β 相交或 MN?β 10. (5 分)两圆相交于点 A(1,3) 、B(m,﹣1) ,两圆的圆心均在直线 x﹣y+c=0 上,则 m+c 的值为() A.﹣1 B. 2 C. 3 D.0

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二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分) 11. (5 分)若两个球的表面积之比是 4:9,则它们的体积之比是. 12. (5 分)底面直径和高都是 4cm 的圆柱的侧面积为 cm . 13. (5 分)已知直线 l1:x+2y+1=0 与直线 l2:4x+ay﹣2=0 垂直,那么 l1 与 l2 的交点坐标是. 14. (5 分)圆 x +y ﹣4x﹣4y﹣10=0 上的点到直线 x+y﹣14=0 的最大距离与最小距离之差是. 15. (5 分)直线 x+2y=0 被曲线 x +y ﹣6x﹣2y﹣15=0 所截得的弦长等于. 16. (5 分)如图,在三棱锥 P﹣ABC 中,PA⊥底面 ABC,∠BAC=90°,F 是 AC 的中点,E 是 PC 上的点,且 EF⊥BC,则 =.
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三、解答题(共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. ) 17. (12 分)直线 l 经过两点(2,1) , (6,3) . (1)求直线 l 的方程; (2)圆 C 的圆心在直线 l 上,并且与 x 轴相切于(2,0)点,求圆 C 的方程. 18. (12 分)已知△ ABC 三边所在直线方程为 AB:3x+4y+12=0,BC:4x﹣3y+16=0,CA: 2x+y﹣2=0,求 AC 边上的高所在的直线方程.

19. (14 分)如图,已知△ ABC 是正三角形,EA、CD 都垂直于平面 ABC,且 EA=AB=2a, DC=a,F 是 BE 的中点,求证: (1)FD∥平面 ABC; (2)AF⊥平面 EDB.

20. (14 分)如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E、F、G 分别是 CB、CD、CC1 的中点, (1)求证:平面 AB1D1∥平面 EFG; (2)求证:平面 AA1C⊥面 EFG.

21. (18 分)已知圆 C: (x﹣1) +y =9 内有一点 P(2,2) ,过点 P 作直线 l 交圆 C 于 A、B 两点. (1)当 l 经过圆心 C 时,求直线 l 的方程; (2)当弦 AB 被点 P 平分时,写出直线 l 的方程; (3)当直线 l 的倾斜角为 45°时,求弦 AB 的长.

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北京市房山区周口店中学 2014-2015 学年高二上学期期中 数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每个小题给出的四个备选答案中, 只有一个是符合题目要求的. )

1. (5 分)已知直线经过点 A(0,4)和点 B(1,2) ,则直线 AB 的斜率为() A.3 B . ﹣2 C. 2 D.不存在 考点: 斜率的计算公式. 专题: 计算题. 分析: 把直线上两点的坐标代入斜率公式进行运算,求出结果. 解答: 解:由直线的斜率公式得直线 AB 的斜率为 k= 故选 B. 点评: 本题考查直线的斜率公式的应用. 2. (5 分)过点(﹣1,3)且平行于直线 x﹣2y+3=0 的直线方程为() A.x﹣2y+7=0 B.2x+y﹣1=0 C.x﹣2y﹣5=0 D.2x+y﹣5=0 考点: 直线的一般式方程;两条直线平行的判定. 专题: 计算题. 分析: 由题意可先设所求的直线方程为 x﹣2y+c=0 再由直线过点(﹣1,3) ,代入可求 c 的 值,进而可求直线的方程 解答: 解:由题意可设所求的直线方程为 x﹣2y+c=0 ∵过点(﹣1,3) 代入可得﹣1﹣6+c=0 则 c=7 ∴x﹣2y+7=0 故选 A. 点评: 本题主要考查了直线方程的求解,解决本题的关键根据直线平行的条件设出所求的 直线方程 x﹣2y+c=0. 3. (5 分)下列说法不正确的是() A.空间中,一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形 B. 同一平面的两条垂线一定共面 C. 过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一个平面内 D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直 考点: 平面的基本性质及推论. 专题: 证明题. 分析: 根据证明平行四边形的条件判断 A,由线面垂直的性质定理和定义判断 B 和 C,利 用实际例子判断 D. 解答: 解:A、一组对边平行且相等就决定了是平行四边形,故 A 不符合题意; B、由线面垂直的性质定理知,同一平面的两条垂线互相平行,因而共面,故 B 不符合题意; C、由线面垂直的定义知,这些直线都在同一个平面内即直线的垂面,故 C 不符合题意; D、由实际例子,如把书本打开,且把书脊垂直放在桌上,则由无数个平面满足题意,故 D 符 合题意. 故选 D. 点评: 本题考查了平面几何和立体几何中的定理和定义,只要抓住定理中的关键条件进行 判断,可借助于符合条件的几何体进行说明,考查了空间想象能力和对定理的运用能力. =﹣2,

4. (5 分)已知点 A(1,2) ,B(3,1) ,则线段 AB 的垂直平分线的方程是() A.4x+2y=5 B.4x﹣2y=5 C.x+2y=5 D.x﹣2y=5 考点: 直线的点斜式方程;两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系;中点坐标公式. 专题: 计算题. 分析: 先求出中点的坐标,再求出垂直平分线的斜率, 点斜式写出线段 AB 的垂直平分线的 方程,再化为一般式. 解答: 解:线段 AB 的中点为 ,kAB= =﹣ ,

∴垂直平分线的斜率 k=

=2,

∴线段 AB 的垂直平分线的方程是 y﹣ =2(x﹣2)?4x﹣2y﹣5=0, 故选 B. 点评: 本题考查两直线垂直的性质,线段的中点坐标公式,以及用直线方程的点斜式求直 线方程的求法. 5. (5 分)若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是()

A.

B.

C. 1

D.2

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题. 分析: 几何体的三视图可知几何体是放倒的三棱柱,底面是直角三角形,利用三视图的数 据,直接求出棱柱的体积即可. 解答: 解:由题意可知几何体的三视图可知几何体是放倒的三棱柱,底面是直角三角形, 直角边分别为:1, ,棱柱的高为 ,所以几何体的体积为: =1.

故选 C. 点评: 本题考查三视图与几何体的关系,考查想的视图能力与空间想象能力. 6. (5 分)直线 5x﹣2y﹣10=0 在 x 轴上的截距为 a,在 y 轴上的截距为 b,则()

A.a=2,b=5

B.a=2,b=﹣5

C.a=﹣2,b=5

D.a=﹣2,b=﹣5

考点: 直线的一般式方程. 专题: 计算题. 分析: 根据截距的定义可知,在 x 轴的截距即令 y=0 求出的 x 的值,在 y 轴上的截距即令 x=0 求出 y 的值,分别求出即可. 解答: 解:令 y=0,得到 5x﹣10=0,解得 x=2,所以 a=2;令 x=0,得到﹣2y﹣10=0,解得 y=﹣5,所以 b=﹣5. 故选 B 点评: 此题考查学生理解直线截距的定义,是一道基础题.
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7. (5 分)圆(x﹣1) +y =1 与直线 A.相交 B.相切

的位置关系是() C.相离 D.直线过圆心

考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 计算题. 分析: 要判断圆与直线的位置关系,方法是利用点到直线的距离公式求出圆心到此直线的 距离 d,和圆的半径 r 比较大小,即可得到此圆与直线的位置关系. 解答: 解:由圆的方程得到圆心坐标为(1,0) ,半径 r=1,

所以(1,0)到直线 y=

x 的距离 d=

= <1=r,则圆与直线的位置关系为相

交. 故选 A 点评: 考查学生灵活运用点到直线的距离公式化简求值,掌握直线与圆位置关系的判别方 法. 8. (5 分)圆 C1: (x+2) +(y﹣2) =1 与圆 C2: (x﹣2) +(y﹣5) =16 的位置关系是() A.外离 B.相交 C.内切 D.外切 考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 计算题. 分析: 先根据圆的标准方程得到分别得到两圆的圆心坐标及两圆的半径,然后利用圆心之 间的距离 d 与两个半径相加、相减比较大小即可得出圆与圆的位置关系. 2 2 2 2 解答: 解:由圆 C1: (x+2) +(y﹣2) =1 与圆 C2: (x﹣2) +(y﹣5) =16 得: 圆 C1:圆心坐标为(﹣2,2) ,半径 r=1;圆 C2:圆心坐标为(2,5) ,半径 R=4. 两个圆心之间的距离 d= 外切. 故选 D =5,而 d=R+r,所以两圆的位置关系是
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点评: 考查学生会根据 d 与 R+r 及 R﹣r 的关系判断两个圆的位置关系,会利用两点间的距 离公式进行求值. 9. (5 分)若 M、N 分别是△ ABC 边 AB、AC 的中点,MN 与过直线 BC 的平面 β 的位置关 系是() A.MN∥β B. MN 与 β 相交或 MN?β C. MN∥β 或 MN?β D.MN∥β 或 MN 与 β 相交或 MN?β 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 证明题. 分析: MN 是△ ABC 的中位线, 所以 MN∥BC, 因为平面 β 过直线 BC, 故 MN∥β 或 MN?β. 解答: 解:MN 是△ ABC 的中位线,所以 MN∥BC,因为平面 β 过直线 BC, 若平面 β 过直线 MN,符合要求; 若平面 β 不过直线 MN,由线线平行的判定定理 MN∥β. 故选 C 点评: 本题考查空间的线线、线面位置关系,考查空间想象能力和逻辑推理能力. 10. (5 分)两圆相交于点 A(1,3) 、B(m,﹣1) ,两圆的圆心均在直线 x﹣y+c=0 上,则 m+c 的值为() A.﹣1 B. 2 C. 3 D.0 考点: 圆与圆的位置关系及其判定. 专题: 综合题. 分析: 根据题意可知,x﹣y+c=0 是线段 AB 的垂直平分线,由垂直得到斜率乘积为﹣1,而 直线 x﹣y+c=0 的斜率为 1,所以得到过 A 和 B 的直线斜率为 1,利用 A 和 B 的坐标表示出直 线 AB 的斜率等于 1,列出关于 m 的方程,求出方程的解即可得到 m 的值,然后利用中点公 式和 m 的值求出线段 AB 的中点坐标,把中点坐标代入 x﹣y+c=0 中即可求出 c 的值,利用 m 和 c 的值求出 m+c 的值即可. 解答: 解:由题意可知:直线 x﹣y+c=0 是线段 AB 的垂直平分线,又直线 x﹣y+c=0 的斜 率为 1, 则 =﹣1①,且 ﹣ +c=0②,

由①解得 m=5,把 m=5 代入②解得 c=﹣2,则 m+c=5﹣2=3. 故选 C 点评: 此题考查学生掌握两圆相交时两圆心所在的直线是公共弦的垂直平分线,掌握两直 线垂直时斜率所满足的关系,灵活运用中点坐标公式化简求值,是一道综合题. 二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分) 11. (5 分)若两个球的表面积之比是 4:9,则它们的体积之比是 8:27. 考点: 球的体积和表面积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 设出两个球的半径分别不是球的表面积和体积,由题意求出半径的比,体积比是半 径比的立方.

解答: 解:设两个球的半径分别为 R,r,则表面积之比是 4πR :4πr =4:9, 所以 R:r=2:3, 球的体积之比为 =8:27;

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故答案为:8:27. 点评: 本题考查了球的表面积告诉和体积公式的运用,两个球的表面积之比等于半径的平 方比,体积之比等于半径的立方比,属于基础题. 12. (5 分)底面直径和高都是 4cm 的圆柱的侧面积为 16πcm . 考点: 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积. 专题: 计算题. 分析: 根据所给的圆柱的底面直径和高,先做出圆柱的底面圆的周长,根据矩形的面积等 于长乘以宽,用圆柱的底面圆的周长乘以圆柱的高,得到圆柱的侧面积. 解答: 解:∵圆柱的底面直径和高都是 4cm, ∴圆柱的底面圆的周长是 2π×2=4π ∴圆柱的侧面积是 4π×4=16π, 故答案为:16π. 点评: 本题考查圆柱的侧面积,题目包含的运算比较简单,是一个基础题,这种题目一般 不会单独出现,要和其他的知识点结合. 13. (5 分)已知直线 l1:x+2y+1=0 与直线 l2:4x+ay﹣2=0 垂直,那么 l1 与 l2 的交点坐标是 ( ,﹣ ) .
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考点: 直线的一般式方程与直线的垂直关系;两条直线的交点坐标. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 由两条直线垂直, 建立关于 a 的方程并解之, 得 a=﹣2, 直线 l2 方程为 4x﹣2y﹣2=0. 再 将直线 l1 的方程和 l2 的方程联解,即可得到所求交点的坐标. 解答: 解:∵直线 l1:x+2y+1=0 与直线 l2:4x+ay﹣2=0 垂直 ∴1×4+2a=0,解之得 a=﹣2,直线 l2 方程为 4x﹣2y﹣2=0 由 ,联解得 x= ,y=﹣ ,得交点坐标为( ,﹣ )

故答案为: ( ,﹣ ) 点评: 本题给出互相垂直的两条直线,求它们的交点坐标,着重考查了两条直线平行或垂 直的判定、求两条相交直线的交点坐标等知识,属于基础题. 14. (5 分)圆 x +y ﹣4x﹣4y﹣10=0 上的点到直线 x+y﹣14=0 的最大距离与最小距离之差是 6 . 考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 计算题;数形结合.
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分析: 把圆的方程化为标准方程,找出圆心坐标和圆的半径, 过圆心 M 作已知直线的垂线, 与圆分别交于 A 和 B 点,垂足为 C,由图形可知|AC|为圆上点到已知直线的最大距离,|BC| 为圆上点到已知直线的最小距离,而|AC|﹣|BC|等于圆的直径,由圆的半径即可求出直径,即 为最大距离与最小距离之差. 2 2 解答: 解:把圆的方程化为标准方程得: (x﹣2) +(y﹣2) =18, ∴圆心 M 坐标为(2,2) ,半径|AM|=|BM|=3 , 过 M 作出直线 x+y﹣14=0 的垂线,与圆 M 交于 A、B 两点,垂足为 C, 如图所示:

由图形可得|AC|为圆上点到直线 x+y﹣14=0 的最大距离, |BC|为圆上点到直线 x+y﹣14=0 的最 小距离, 则最大距离与最小距离之差为|AC|﹣|BC|=|AB|=2|AM|=6 . 故答案为:6 点评: 此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有:圆的标准方程,点到直线的距离 公式,利用了数形结合的思想,其中找出|AC|为圆上点到直线 x+y﹣14=0 的最大距离,|BC| 为圆上点到直线 x+y﹣14=0 的最小距离是解本题的关键. 15. (5 分)直线 x+2y=0 被曲线 x +y ﹣6x﹣2y﹣15=0 所截得的弦长等于 4
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考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 综合题;数形结合. 分析: 根据圆的方程找出圆心坐标和半径,过点 A 作 AC⊥弦 BD,可得 C 为 BD 的中点, 根据勾股定理求出 BC,即可求出弦长 BD 的长.

解答:

解:过点 A 作 AC⊥弦 BD,垂足为 C,连接 AB,可得 C 为 BD 的中点. 由 x +y ﹣6x﹣2y﹣15=0,得(x﹣3) +(y﹣1) =25. 知圆心 A 为(3,1) ,r=5. 由点 A(3,1)到直线 x+2y=0 的距离 AC= 在直角三角形 ABC 中,AB=5,AC= 根据勾股定理可得 BC= = , =2 , = .
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则弦长 BD=2BC=4 . 故答案为:4 点评: 本题考查学生灵活运用垂径定理解决实际问题的能力,灵活运用点到直线的距离公 式及勾股定理化简求值,会利用数形结合的数学思想解决数学问题,是一道综合题. 16. (5 分)如图,在三棱锥 P﹣ABC 中,PA⊥底面 ABC,∠BAC=90°,F 是 AC 的中点,E 是 PC 上的点,且 EF⊥BC,则 =1.

考点: 棱锥的结构特征. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 在三棱锥 P﹣ABC 中,由 PA⊥底面 ABC,∠BAC=90°,知 AB⊥平面 APC,所以 PA∥EF,由此能求出 .

解答: 解:在三棱锥 P﹣ABC 中, ∵PA⊥底面 ABC,∠BAC=90°, ∴AB⊥平面 APC, ∵EF?平面 PAC, ∴EF⊥AB, ∵EF⊥BC,∴EF⊥底面 ABC, ∴PA∥EF, ∵F 是 AC 的中点,E 是 PC 上的点, ∴E 是 PC 的中点, ∴ =1.

故答案为:1. 点评: 本题考查直线与平面垂直的判定定理和直线与平面垂直的性质定理的应用,是基础 题.解题时要认真审题,仔细解答.

三、解答题(共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. ) 17. (12 分)直线 l 经过两点(2,1) , (6,3) . (1)求直线 l 的方程; (2)圆 C 的圆心在直线 l 上,并且与 x 轴相切于(2,0)点,求圆 C 的方程. 考点: 直线的一般式方程;圆的标准方程. 专题: 计算题. 分析: (1)先求出直线 l 的斜率,再代入点斜式然后化为一般式方程; (2)由题意先确定圆心的位置,进而求出圆心坐标,再求出半径,即求出圆的标准方程. 解答: 解: (1)∵直线 l 经过两点(2,1) , (6,3) ,∴直线 l 的斜率 k= ∴所求直线的方程为 y﹣1= (x﹣2) , 即直线 l 的方程为 x﹣2y=0. (5 分) (2)由(1)知, ∵圆 C 的圆心在直线 l 上,∴可设圆心坐标为(2a,a) , (6 分) ∵圆 C 与 x 轴相切于(2,0)点,∴圆心在直线 x=2 上, ∴a=1, (9 分) ∴圆心坐标为(2,1) ,半径 r=1, (11 分) ∴圆 C 的方程为(x﹣2) +(y﹣1) =1. (12 分) 点评: 本题考查了求直线方程和圆的方程的基本题型,以及对基本公式的简单应用. 18. (12 分)已知△ ABC 三边所在直线方程为 AB:3x+4y+12=0,BC:4x﹣3y+16=0,CA: 2x+y﹣2=0,求 AC 边上的高所在的直线方程. 考点: 直线的一般式方程与直线的垂直关系;两条直线的交点坐标. 专题: 计算题. 分析: 先解方程组解出 B 的坐标,再由高线 BD 和 CA 垂直,斜率之积等于﹣1,求出高线 的斜率,点斜式写高线的方程,并化为一般式. 解答: 解:由 得 B(﹣4,0) ,
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= , (2 分)

设 AC 边上的高为 BD,由 BD⊥CA,可知 BD 的斜率等于

= ,

用点斜式写出 AC 边上的高所在的直线方程为 y﹣0= (x+4 ) ,即 x﹣2y+4=0. 点评: 本题考查求两直线的交点坐标的方法,用点斜式求直线的方程. 19. (14 分)如图,已知△ ABC 是正三角形,EA、CD 都垂直于平面 ABC,且 EA=AB=2a, DC=a,F 是 BE 的中点,求证: (1)FD∥平面 ABC; (2)AF⊥平面 EDB.

考点: 直线与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题: 综合题. 分析: (1)要证 FD∥平面 ABC,可以通过证明 FD∥MC 实现.而后者可以通过证明 CD∥FM,CD=FM,证明四边形 FMCD 是平行四边形而得出. (2) 要证 AF⊥平面 EDB, 可以通过证明 AF⊥EB, AF⊥FD 实现. AF⊥EB 易证, 而 AF⊥FD 可通过 CM⊥面 EAB,结合 CM∥FD 证出. 解答: 证明(1)∵F 分别是 BE 的中点,取 BA 的中点 M, ∴FM∥EA,FM= EA=a ∵EA、CD 都垂直于平面 ABC,∴CD∥EA, ∴CD∥FM,又 CD=a=FM ∴四边形 FMCD 是平行四边形,∴FD∥MC, FD?平面 ABC,MC?平面 ABC ∴FD∥平面 ABC. (2)因 M 是 AB 的中点,△ ABC 是正三角形,所以 CM⊥AB 又 EA 垂直于平面 ABC∴CM⊥AE, 又 AE∩AB=A,所以 CM⊥面 EAB,∵AF?面 EAB ∴CM⊥AF,又 CM∥FD,从而 FD⊥AF, 因 F 是 BE 的中点,EA=AB 所以 AF⊥EB. EB,FD 是平面 EDB 内两条相交直线,所以 AF⊥平面 EDB. 点评: 本题考查空间直线和平面的位置关系,考查空间想象能力、转化、论证能力. 20. (14 分)如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E、F、G 分别是 CB、CD、CC1 的中点, (1)求证:平面 AB1D1∥平面 EFG; (2)求证:平面 AA1C⊥面 EFG.

考点: 平面与平面垂直的判定;平面与平面平行的判定. 专题: 证明题. 分析: (1)连接 BD、BC1,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中利用对角面 BB1D1D 是平行四边 形得到 B1D1∥BD,再利用三角形 BCD 的中位线得到 EF∥BD,从而得到 EF∥B1D1.结合 直线与平面平行的判定定理,得到 EF∥平面 AB1D1,同理可得 EG∥平面 AB1D1.最后用平 面与平面平行的判定定理,可以证出平面 AB1D1∥平面 EFG; (2)利用正方体的侧棱垂直于底面,得到 AA1⊥平面 ABCD,从而 AA1⊥EF,再利用正方形 ABCD 中,对角线 AC、BD 互相垂直且 EF∥BD,得到 AC⊥EF,结合直线与平面垂直的判定 定理,得到 EF⊥平面 AA1C,最后用平面与平面垂直的判定定理,可得平面 AA1C⊥面 EFG. 解答: 解: (1)连接 BD、BC1 ∵正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,BB1∥DD1 且 BB1=DD1 ∴四边形 BB1D1D 是平行四边形,B1D1∥BD 又∵△BCD 中,E、F 分别是 CB、CD 的中点 ∴EF∥BD?EF∥B1D1 又∵EF?平面 AB1D1,B1D1?平面 AB1D1 ∴EF∥平面 AB1D1,同理可得 EG∥平面 AB1D1 ∵EF∩EG=E,EF、EG?平面 EFG ∴平面 AB1D1∥平面 EFG (2)∵AA1⊥平面 ABCD,EF?平面 ABCD, ∴AA1⊥EF ∵正方形 ABCD 中,AC⊥BD 且 EF∥BD ∴AC⊥EF ∵AA1∩AC=A,AA1、AC?平面 AA1C ∴EF⊥平面 AA1C ∵EF?面 EFG ∴平面 AA1C⊥面 EFG.

点评: 本题以正方体中的平面与平面平行、平面与平面垂直为例,考查了平面与平面平行 的判定定理和平面与平面垂直的判定定理,属于中档题. 21. (18 分)已知圆 C: (x﹣1) +y =9 内有一点 P(2,2) ,过点 P 作直线 l 交圆 C 于 A、B 两点. (1)当 l 经过圆心 C 时,求直线 l 的方程; (2)当弦 AB 被点 P 平分时,写出直线 l 的方程; (3)当直线 l 的倾斜角为 45°时,求弦 AB 的长.
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考点: 直线和圆的方程的应用;直线的一般式方程. 专题: 计算题;综合题. 分析: (1)求出圆的圆心,代入直线方程,求出直线的斜率,即可求直线 l 的方程; (2)当弦 AB 被点 P 平分时,求出直线的斜率,即可写出直线 l 的方程; (3)当直线 l 的倾斜角为 45°时,求出直线的斜率,然后求出直线的方程,利用点到直线的距 离,半径,半弦长的关系求弦 AB 的长. 解答: 解: (1)已知圆 C: (x﹣1) +y =9 的圆心为 C(1,0) ,因直线过点 P、C,所以直 线 l 的斜率为 2,直线 l 的方程为 y=2(x﹣1) ,即 2x﹣y﹣2=0. (2)当弦 AB 被点 P 平分时,l⊥PC,直线 l 的方程为 y﹣2= (x﹣2) ,即 x+2y﹣6=0.
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(3)当直线 l 的倾斜角为 45°时,斜率为 1,直线 l 的方程为 y﹣2=x﹣2,即 x﹣y=0. 圆心到直线 l 的距离为 ,圆的半径为 3,弦 AB 的长为 .

点评: 本题是基础题,考查直线与圆的位置关系,计算直线的斜率,点到直线的距离;直 线与圆的特殊位置关系的应用是本题的关键.


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