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解三角形综合(含答案)


解三角形综合
1、在 ?ABC 中,内角 A , B , C 所对的边分别是 a,b,c ,已知 8b =5c , C =2 B ,则 cos C ? ( A. )

7 25

B. ?

7 25

C. ?

7 25

D.

/>24 25

解:? 8b ? 5c, 由正弦定理得 8sin B ? 5sin C ,又? C ? 2 B ,? 8sin B ? 5sin 2 B , 所以 8sin B ? 10sin B cos B ,易知 sin B ? 0,? cos B ?

4 7 , cos C ? cos 2 B ? 2 cos 2 B ? 1 ? . 5 25

o 2、已知 ?ABC 中, ?A, ?B, ?C 的对边分别为 a, b, c 若 a ? c ? 6 ? 2 且 ?A ? 75 ,则 b ?

( A.2
0

)

B.4+ 2 3
0 0

C.4— 2 3
0 0

D. 6 ? 2
0 0

解: sin A ? sin 75 ? sin(30 ? 45 ) ? sin 30 cos 45 ? sin 45 cos30 ? 由 a ? c ? 6 ? 2 可知, ?C ? 75 ,所以 ?B ? 30 , sin B ?
0 0

2? 6 4

1 2

由正弦定理得 b ?

a ? sin B ? sin A

2? 6 1 ? ? 2 ,故选 A 2? 6 2 4
)

2 3、在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分 a, b, c .若 a cos A ? b sin B ,则 sin A cos A ? cos B ? (

A.-

1 2

B.

1 2

C. -1

D. 1

2 解:∵ a cos A ? b sin B ,∴ sin A cos A ? sin B ,

∴ sin A cos A ? cos B ? sin B ? cos B ? 1 .
2 2 2

4、在 ?ABC 中,已知 ?BAC ? 60?, ?ABC ? 45?, BC ?

3 ,则 AC ? _______.

解:由正弦定理得

AC 3 ? ? AC ? 2 sin 45? sin 60?

5、在 ? ABC 中,若 b ? 5, ?B ?

?

1 ,sin A ? ,则 a ? 4 3

.

解:由正弦定理得

a b ? 1 a 5 5 2 ? ,a ? 又 b ? 5, ?B ? ,sin A ? 所以 ? 。 1 ? sin A sin B 4 3 3 sin 3 4

地址:莲湖区土门十字向南 200 米路西,万强艺术家小区 3-709 电话:李老师 18991265436

6、设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 cos A ?

3 5 , cos B ? , b ? 3, 则 c ? ______ 5 13

4 3? b sin A 3 5 4 12 a b 5 ? 13 , 解:由 cos A ? , cos B ? 得a ? ? ? sin A ? ,sin B ? ,由正弦定理 ? 12 sin B 5 5 13 5 13 sin A sin B 13 14 由余弦定理 a 2 ? c 2 ? b 2 ? 2bc cos A ? 25c 2 ? 90c ? 56 ? 0 ? c ? 。 5
7、△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.己知 a sin A ? csin C ? 2a sin C ? b sin B . (I)求 B; (Ⅱ)若 A ? 750 , b ? 2, 求a,c . 解: (I) 由正弦定理得 a ? c ? 2ac ? b , 由余弦定理得 b ? a ? c ? 2ac cos B . 故 cos B ?
2 2 2
2 2 2

2 ? ,B ? 45 。 2

? ? (II) sin A ? sin(30 ? 45 ) ? sin 30 cos 45 ? cos30 sin 45 ?
? ? ? ?

2? 6 , 4

sin C sin 60? sin A 2? 6 ? 2? ? 6. 故 a ? b? ? ? 1? 3 , c ? b ? sin B sin 45? sin B 2
8、△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 3cos(B-C)-1=6cosBcosC. (1)求 cosA; (2)若 a=3,△ABC 的面积为 2 2 ,求 b,c.

?3(cos B cos C ? sin B sin C ) ? 1 ? 6 cos B cos C ? 3cos B cos C ? 3sin B sin C ? ?1 ? ? 解:(1) ? 3cos( B ? C ) ? ?1 ? 1 ? cos(? ? A) ? ? ? 3 ?
(2)由(1)得 sin A ?

则 cos A ?

1 . 3

2 2 ,由面积可得 bc=6①,则根据余弦定理 3

cos A ?

? b2 ? c2 ? a 2 b2 ? c2 ? 9 1 ?b ? 3 ? ?a ? 3 ? ? 则 b 2 ? c 2 ? 13 ②,①②两式联立可得 ? 或? . 2bc 12 3 a ? 2 b ? 2 ? ? ? ?

9、在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 所对的边长,a= 3 ,b= 2 , 1 ? 2cos( B ? C ) ? 0 ,求边 BC 上的高.

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解:∵A+B+C=180° ,所以 B+C=A,又 1 ? 2cos( B ? C ) ? 0 ,∴ 1 ? 2cos(180 ? A) ? 0 ,
?

即 1 ? 2 cos A ? 0 , cos A ?

1 ,又 0° <A<180° ,所以 A=60° . 2

b sin A 2 sin 60? 2 a b sin B ? ? ? ? 在△ABC 中,由正弦定理 得 , a 2 3 sin A sin B
又∵ b ? a ,所以 B<A,B=45° ,C=75° , ∴BC 边上的高 AD=AC· sinC= 2 sin 75? ? 2 sin(45? ? 30? )

? 2(sin 45? cos30? ? cos 45? sin30? )
? 2( 2 3 2 1 3 ?1 . ? ? ? )? 2 2 2 2 2

10、在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c.角 A,B,C 成等差数列. (I)求 cos B 的值; (Ⅱ)边 a,b,c 成等比数列,求 sin A sin C 的值.

1 3 2 3 2 2 (Ⅱ)解法一: b ? ac ,由正弦定理得 sin A sin C ? sin B ? , 4
解:(I)由已知 2 B ? A ? C , A ? B ? C ? ? ,? B ?

?

, cos B ?

1 a 2 ? c 2 ? b2 a 2 ? c 2 ? ac 2 2 2 b ? ac , ? cos B ? ? 解法二: , 由 此 得 a ? b ? ac ? ac , 得 a ? c , 所 以 2 2ac 2ac
A? B?C ?

?
3

, sin A sC i n?

3 4

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