当前位置:首页 >> 数学 >>

圆的方程 ---2013届高考理科数学第一轮基础复习


第三节 圆的方程

1.圆的定义 在平面内,到_______的距离等于_______的点的集合叫做圆. 定点 定长 圆心 半径 确定一个圆最基本的要素是________和________. 2.圆的方程 圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2(r>0) 圆的一般方程

x2+y2+Dx+Ey+F=0 ____________

__________ ______________________ 方程 (D2+E2-4F>0) D E (a,b) ___________ 圆心坐标 (- ,- ) 2 2 1 2 D +E2-4F r 半径 2 _______________

3.点M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系 (x0-a)2+(y0-b)2>r2 (1)若M(x0,y0)在圆外,则_________________________. (x0-a)2+(y0-b)2=r2 (2)若M(x0,y0)在圆上,则__________________________. (x0-a)2+(y0-b)2<r2 (3)若M(x0,y0)在圆内,则____________________________.

1.确定圆的方程必须有几个独立条件? 【提示】 不论圆的标准方程还是一般方程,都有三个字母

(a、b、r或D、E、F)的值需要确定,因此需要三个独立的条
件.利用待定系数法得到关于a、b、r(或D、E、F)的三个方 程组成的方程组,解之得到待定字母系数的值.

2.(1)方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是什么?
(2)若D2+E2-4F=0,方程表示什么图形? 【提示】 (1)充要条件是D2+E2-4F>0.

D E (2)表示一个点(- ,- ). 2 2

1.(教材改编题)圆的方程为 x2+y2+2by-2b2=0,则 圆的圆心和半径分别为( A.(0,b), 3b C.(0,-b), 3b ) B.(0,b), 3|b| D.(0,-b), 3|b|

【解析】 圆的标准方程为 x2+(y+b)2=3b2,从而圆的圆 心坐标为(0,-b),半径为 3|b|.
【答案】 D

2.方程 x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0 表示圆,则 a 的取值范围是( ) 2 B.- <a<0 3 2 D.-2<a< 3 2 A.a<-2 或 a> 3 C.-2<a<0

【解析】 由题意知 a2+4a2-4(2a2+a-1)>0, ∴3a2+4a-4<0, 2 解得-2<a< . 3
【答案】 D

3.圆C:x2+y2-2x-4y+4=0的圆心到直线l:3x+4y+4=0的 距离d=________.

【解析】 圆 C 的圆心坐标为(1,2),由点到直线的距离得 d |3+2×4+4| = =3. 2 2 3 +4
【答案】

3

4.(2011·辽宁高考)已知圆C经过A(5,1),B(1,3)两点,圆心在x轴 上,则C的方程为________.

【解析】

设圆心坐标为(a,0),易知 ?a-5?2+?-1?2 =

?a-1?2+?-3?2,解得 a=2, ∴圆心为(2,0),半径为 10, ∴圆 C 的方程为(x-2)2+y2=10.
【答案】 (x-2)2+y2=10

求圆的方程 圆心在直线y=-4x上,且与直线l:x+y-1=0相切于点 P(3,-2),求圆的方程.

【尝试解答】 =r2(r>0),

法一

设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2

?b=-4a, ??3-a?2+?-2-b?2=r2, 则有? ?|a+b-1|=r, ? 2
解得 a=1,b=-4,r=2 2. ∴圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8. 法二 过切点且与 x+y-1=0 垂直的直线 y+2=x-3, 与 y=-4x 联立可求得圆心为(1,-4). ∴半径 r=2 2, ∴所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.

1.用“待定系数法”求圆的方程.(1)若已知条件与圆的圆心和 半径有关,则设圆的标准方程,列出关于a,b,r的方程组求 解.(2)若条件没有明确给出圆的圆心或半径,则选择圆的一 般方程,列出关于D,E,F的方程组求解. 2.几何法:通过研究圆的性质,直线和圆的关系等求出圆心、 半径,进而写出圆的标准方程.

若不同的四点A(5,0),B(-1,0),C(-3,3),D(a,3)共圆, 求a的值.

【解】 设圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,则

?5D+F+25=0, ? 有?-D+F+1=0, ?-3D+3E+F+18=0. ?

?D=-4, ? 25 解得?E=- 3 , ? ?F=-5.

25 故圆的方程为 x2+y2-4x- y-5=0, 3 又点 D(a,3)在圆上,∴a2-4a-21=0, 解得 a=7 或 a=-3, 当 a=-3 时,点 C 与点 D 重合,故舍去. ∴a=7.

与圆有关的最值问题

(2012· 深圳调研)已知 M 为圆 C:x2+y2-4x-14y+45 =0 上任意一点,且点 Q(-2,3). (1)求|MQ|的最大值和最小值; n-3 (2)若 M(m,n),求 的最大值和最小值. m+2
【思路点拨】 (1)利用|CQ|-R≤|MQ|≤|CQ|+R 求范围. n-3 (2)利用斜率的几何意义求 的范围. m+2

【尝试解答】 (1)由 C:x2+y2-4x-14y+45=0,可得(x -2)2+(y-7)2=8, ∴圆心 C 坐标为(2,7),半径 r=2 2. 又|QC|= ?2+2?2+?7-3?2=4 2 ∴|MQ|max=4 2+2 2=6 2,|MQ|min=4 2-2 2=2 2. n-3 (2)可知 表示直线 MQ 的斜率, m+2 设直线 MQ 的方程为:y-3=k(x+2), n-3 即 kx-y+2k+3=0,则 =k. m+2 |2k-7+2k+3| 由直线 MQ 与圆 C 有交点,所以 ≤2 2, 2 1+k 可得 2- 3≤k≤2+ 3, n-3 所以 的最大值为 2+ 3,最小值为 2- 3. m+2

与圆有关的最值问题,常见的有以下几种类型: y-b (1)形如 u= 型的最值问题,可转化为过点(a,b) x-a 和(x,y)的直线的斜率的最值问题; (2)形如 t=ax+by 型的最值问题, 可转化为动直线的截 距的最值问题; (3)形如(x-a)2+(y-b)2 型的最值问题,可转化为动点 到定点的距离的最值问题.

已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0. (1)求y-x的最大值和最小值;

(2)求x2+y2的最大值和最小值.

【解】 (1)原方程可化为(x-2)2+y2=3, 设 y-x=b,y-x 可看作是直线 y=x+b 在 y 轴上的截距, 当直线 y=x+b 与圆相切时,纵截距 b 取得最值. |2-0+b| 此时 = 3,解得 b=-2± 6. 2 所以 y-x 的最大值为-2+ 6,最小值为-2- 6.

(2)x2+y2 表示圆上的一点与原点距离的平方, 由平面几何知识知,在原点与圆心连线与圆的两个交点处 取得最大值和最小值. 又圆心到原点的距离为 ?2-0?2+?0-0?2=2, 所以 x2+y2 的最大值是(2+ 3)2=7+4 3, x2+y2 的最小值是(2- 3)2=7-4 3.

与圆有关的轨迹问题 设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,点O是坐

标原点,以OM、ON为两边作平行四边形MONP,求点P的轨
迹.

→ → 【思路点拨】 四边形 MONP 为平行四边形?OP=OM+ → ON?把点 P 的坐标转移到动点 N 上?而点 N 在圆上运动, 故可求解.需注意 O、M、N 三点共线的情况.

【尝试解答】 ∵四边形 MONP 为平行四边形 → → → ∴OP=OM+ON 设点 P(x,y),点 N(x0,y0),则 → → → ON=OP-OM=(x,y)-(-3,4) =(x+3,y-4), 又点 N 在圆 x2+y2=4 上运动, ∴(x+3)2+(y-4)2=4. 又当 OM 与 ON 共线时,O、M、N、P 构不成平行四边形. 9 12 21 28 故动点 P 的轨迹是圆且除去点(- , )和(- , ). 5 5 5 5

1.本例中点P是平行四边形MONP的一个顶点,因此在点M、O、

N三点共线时,点P是不存在的,故所求的轨迹中应除去两
点. 2.求与圆有关的轨迹问题常用的方法:直接法、定义法和相关

点法.

已知圆C:(x-1)2+(y-1)2=9,过点A(2,3)作圆C的任意 弦,求这些弦的中点P的轨迹方程 .

【解】 法一 设 P(x,y),圆心 C(1,1), ∵P 点是过点 A 的弦的中点, → → ∴PA⊥PC, → → 又PA=(2-x,3-y),PC=(1-x,1-y), ∴(2-x)(1-x)+(3-y)(1-y)=0, 3 5 即(x- )2+(y-2)2= , 2 4 32 5 2 ∴中点 P 的轨迹方程是(x- ) +(y-2) = . 2 4

法二

由已知得,PA⊥PC.

由圆的性质知点 P 在以 AC 为直径的圆上, 又圆心 C(1,1), ∴|AC|= ?2-1?2+?3-1?2= 5, 3 线段 AC 的中点坐标为( ,2), 2 3 5 故中点 P 的轨迹方程为(x- )2+(y-2)2= . 2 4

从近两年高考看,圆的方程的求法每年均有涉及,是高

考热点,命题形式主要有两大类,一是以选择题、填空题的形
式考查圆的定义及标准方程的求法,另一类是与直线、向量、 圆锥曲线综合命题,注重数形结合思想及圆的几何性质的考查, 在求解与圆有关的解答题时,应注意解题的规范化.

规范解答之十五 与圆有关的探索性问题的求解策略 (14分)(2012·广州模拟)在平面直角坐标系xOy中,设二

次函数f(x)=x2+2x+b(x∈R)的图象与两个坐标轴有三个交点,
经过这三点的圆记为C. (1)求实数b的取值范围;

(2)求圆C的方程;
(3)问圆C是否经过定点(其坐标与b无关)?请证明你的结论.

【规范解答】 (1)显然 b≠0,否则,二次函数 f(x)=x2+ 2x+b 的图象与两个坐标轴只有两个交点(0,0),(-2,0),这 与题设不符.·················· 分 ··················1 由 b≠0 知, 二次函数 f(x)=x2+2x+b 的图象与 y 轴有一个 非原点的交点(0,b),故它与 x 轴必有两个交点, ∴方程 x2+2x+b=0 有两个不相等的实数根, 因此方程的判别式 4-4b>0,即 b<1. 所以,b 的取值范围是(-∞,0)∪(0,1).······ 分 ······4 (2)由方程 x2+2x+b=0,得 x=-1± 1-b. 于是,二次函数 f(x)=x2+2x+b 的图象与坐标轴的交点是 (-1- 1-b,0),(-1+ 1-b,0),(0,b).····6 分 ···

设圆 C 的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0, 因圆 C 过上述三 点,将它们的坐标分别代入圆 C 的方程,得

??-1- 1-b?2+D?-1- 1-b?+F=0, ? ??-1+ 1-b?2+D?-1+ 1-b?+F=0, ?b2+Eb+F=0 ? ?D=2, ? 解上述方程组,因 b≠0,得?E=-?b+1?, ?F=b. ?
所以,圆 C 的方程为 x2+y2+2x-(b+1)y+b=0.·· 分 ··9

(3)圆 C 过定点,证明如下: 假设圆 C 过定点(x0,y0)(x0,y0 不依赖于 b), 将该点的坐标代入圆 C 的方程,并变形为: x2+y2+2x0-y0+b(1-y0)=0. 0 0 ①·····11 分 ···· 为使①式对所有满足 b<1(b≠0)的 b 都成立, 必须有 1-y0=0,结合①式得 x2+y2+2x0-y0=0, 0 0
?x0=0, ?x0=-2, 解得? 或? y0=1, ? ?y0=1.

经检验知,点(0,1),(-2,1)均在圆 C 上. 因此,圆 C 过定点.·············· ··············14 分

【解题程序】 第一步:说明b≠0,根据关系求b的范围. 第二步:求出二次函数图象与坐标轴的三个交点坐标.

第三步:用待定系数法求圆C的方程.
第四步:假设圆C经过定点(x0,y0),代入圆的方程,分离出参 数b. 第五步:列方程组求x0,y0.

易错提示:(1)第(1)小题中忽视了b≠0;
(2)第(2)小题中求过三点的圆的方程时,不会解方程组, 或解方程组出现错误;

(3)第(3)小题中,不会处理曲线系过定点的问题.
防范措施:(1)题目中出现参数,常考虑参数等于0的情 况. (2)解方程组时,应把b作为常量求解. (3)曲线系过定点问题,可把曲线系中的x,y作为常量, 把参数作为变量,把方程看作参数的恒等式来解决.

1.(2012· 肇庆调研)若实数 x,y 满足 x2+y2-2x+4y= 0,则 x-2y 的最大值为( A. 5 C.9
【解析】

) B.10 D.5+2 5

原方程可化为(x-1)2+(y+2)2=5,表示以(1,

-2)为圆心, 5为半径的圆. 设 x-2y=b,则 x-2y 可看作直线 x-2y=b 在 x 轴上的截 距,当直线与圆相切时,b 取得最大值或最小值. 此时 |1+4-b| = 5. 5

∴b=10 或 b=0, ∴x-2y 的最大值是 10.
【答案】 B

2.(2012·梅州质检)过点A(4,1)的圆C与直线x-y-1=0相切于点 B(2,1),则圆C的方程为________.

【解析】 由题意知 A、B 两点在圆上, ∴直线 AB 的垂直平分线 x=3 过圆心. 又圆 C 与直线 y=x-1 相切于点 B(2,1), ∴kBC=-1. ∴直线 BC 的方程为 y-1=-(x-2), 即 y=-x+3. y=-x+3 与 x=3 联立得圆心 C 的坐标为(3,0), ∴r=|BC|= ?3-2?2+?0-1?2= 2. ∴圆 C 的方程为(x-3)2+y2=2.
【答案】 (x-3)2+y2=2

课时知能训练


相关文章:
2013年高考数学理科一轮复习经典例题——圆的方程
2013高考数学理科一轮复习经典例题——圆的方程_从业资格考试_资格考试/认证_教育专区。典型例题一 例 1 圆 ( x ? 3) ? ( y ? 3) ? 9 上到直线 3...
高考第一轮复习数学:圆的方程
高考第一轮复习数学:圆的方程 隐藏>> 7.5 圆的方程 ●知识梳理 1.圆的方程 (1)圆的标准方程 圆心为(a,b) ,半径为 r 的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b...
2016届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)圆的方程
2016届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)圆的方程_数学_高中教育_教育专区。2016届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)圆的方程...
2013届高考理科数学第一轮复习测试题01
2013届高考理科数学第一轮复习测试题01_数学_高中教育...A级 基础达标演练 满分:60 分) (时间:40 分钟 ...(1)设所求圆的半径为 r, 则圆的方程可设为(x...
2016届高考数学第一轮总复习检测11-圆的方程
2016届高考数学第一轮总复习检测11-圆的方程_数学_小学教育_教育专区。2016届高考数学第一轮总复习检测11-圆的方程 1.经过点(1,0),且圆心是两直线 x=1 与...
2013高考数学第一轮复习讲座7 ----直线和圆的方程
2013届高三理科数学一轮总... 13页 免费 2013高考...2013 高三一轮复习讲座七 ---直线和圆的方程 复习...在掌握点关于点及直线对称的基础上,理解曲线与曲线...
2013年普通高考数学科一轮复习精品学案 第13讲 直线与圆的方程
本资料来自于资源最齐全的21世纪教育网 www.21cnjy.com 2013 年普通高考数学一轮复习精品学案第 13 讲 直线与圆的方程一.课标要求: 1.直线与方程 (1)在平...
2014高考数学第一轮复习精品学案第13讲_直线与圆的方程
2014高考数学第一轮复习精品学案第13讲_直线与圆的方程_数学_高中教育_教育专区...对数换底公式、 对数方程、 指数方程等基础知识, 考查运算能力和分析问题的能力...
2013届高考数学第一轮基础训练卷13
2014年高考理科数学北京... 2013届高考数学第一轮基...基础训练卷(十三) [考查范围:第 41 讲~第 44 ...圆(x+2)2+y2=5 关于原点(0,0)对称的圆方程...
更多相关标签: