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江苏省西亭高级中学2005-2006学年度第一学期期中考试高一数学试题


2005- 江苏省西亭高级中学 2005-2006 学年度第一学期 高一数学期中测试卷
制卷人: 制卷人:王志锋 (全卷满分:150 分 考试时间:120 分钟)

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 选择题 符合题目要求的) 1.下列指数式与对数式互化不正确的一组是 . A. e = 1 与 ln1 = 0
0

B. 8

?

1 3

=

1 1 1 与 log 8 = ? 2 2 3
1

C. log 3 9 = 2 与 9 2 = 3

1

D. log 7 7 = 1 与 7 = 7

2.点 P (3, ?4) 在角 α 的终边上,则 sin α 的值是 A. ?

4 3

B. ?

3 4

C.

3 5

D. ?

4 5

3.不等式(x+1) (2-x)>0 的解集为 A. {x | x < ?1或x > 2} C. {x | ?2 < x < 1} B. {x | x < ?2或x > 1} D. {x | ?1 < x < 2}

4. a = 0.3 2 , b = log 2 0.3, c = 2 0.3 之间的大小关系是 A. a < c < b B. a < b < c C. b < a < c D. b < c < a

5.设 lg 2 = a , lg 3 = b ,则 log 5 12 等于 A.

2a + b 1+ a

B.

a + 2b 1+ a

C.

2a + b 1? a

D.

a + 2b 1? a

6.设 f ( x ) = 3 x + 3 x ? 8 ,用二分法求方程 3 x + 3 x ? 8 = 0在x ∈ (1,2 ) 内近似解的过程中得

f (1) < 0, f (1.5) > 0, f (1.25) < 0, 则方程的根落在区间
A.(1,1.25)
π

7.函数 y = log 3 x + 2 x ? 3 的递减区间为
2

(

B.(1.25,1.5)

)

C.(1.5,2)

D.不能确定

A. ( ?1, +∞ )

B. (1, +∞ )

C. ( ?∞, ?1)
第 1 页共 9 页

D. ( ?∞, ?3)

8.设函数 f ( x ) 对 x ∈ R 都满足 f (3 + x ) = f (3 ? x ) ,且函数 y = f ( x) 恰有 6 个不同的零点, 则这 6 个零点的和为 A.0 B.9
2

C.12

D.18
2 2

9.设 α , β 是关于 x 的方程 x ? 2ax + a + 6 = 0 的两个实根,则 (α ? 1) + ( β ? 1) 的最小值 为 A. ?

49 4
a

B.18
b c

C.8

D.0

10.函数 y = x , y = x , y = x 的大致图像如图所示, 数 a , b , c 的大小关系是 A. c < b < a C. b < c < a B. a < b < c D. c < a < b 1 O

y

y = xa y = xb y = xc
1

则 实

x

11.已知函数 y = f ( x) 对任意实数都有 f ( ? x) = f ( x) , f ( x) = ? f ( x + 1) ,且在[0,1]上单 调递减,则 A. f ( ) < f ( ) < f ( )

7 2 7 3

7 3 7 2

7 5 7 5

B. f ( ) < f ( ) < f ( )

7 5 7 5

7 2 7 3

7 3 7 2

C. f ( ) < f ( ) < f ( )

D. f ( ) < f ( ) < f ( )

12.某商场对顾客实行购物优惠活动,规定一次购物付款总额:①如果不超过 200 元,则不 予优惠;②如果超过 200 元,但不超过 500 元,则按标价给予 9 折优惠;③如果超过 500 元, 500 元内部分按第②规定实施超过 500 元的部分给予 7 折优惠. 某人两次购物, 分别付款 168 元和 423 元.假设他只去购买一次,上述同样的商品,则应付款为 A.413.7 元 B.513.7 元 C.546.6 元 D.548.7 元

第Ⅱ卷(非选择题
13.满足{ x x 2 = x , x ∈ R }

共 90 分)

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分.把答案填在题中横线上) 填空题

A ? {不大于 4 的自然数}的所有集合 A 的个数是

.

第 2 页共 9 页

? x + 1 ( x > 0) ? 14.已知 f ( x) = ?π ( x = 0) ,则 f f ? f ( ?2 ) ? =______ . ? ? ?0 ( x < 0) ?

{

}

15.将

100π 化为 2kπ + α ( 0 ≤ α < 2π , k ∈ Z )的形式,则 α = 3

. .

16.若函数 f ( x ) = (a ? 2 )x 2 + (a ? 1)x + 3 是偶函数,则 f ( x ) 的增区间是 17.定义运算 a ? b = ?

?b(a ≥ b) ?x x ,则函数 f ( x ) = 3 ? 3 的值域为 ? a ( a < b)

.

18.给出下面四个条件:① ?

?0 < a < 1 ?0 < a < 1 ?a > 1 ?a > 1 ,② ? ,③ ? ,④ ? ,能使函数 ?x < 0 ?x > 0 ?x < 0 ?x > 0
.

y = log a x ?2 为单调减函数的是

. 三、解答题(本大题共 5 小题,共 66 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 解答题 19. (本题共两小题,每小题 6 分,满分共 12 分 )

(a 3 + a ?3 )(a 2 + a ?2 ? 3) (1)已知 a ? a = 1 ,求 . a 2 ? a ?2
?1

(2)计算 (lg 2)3 + 3lg 2 ? lg 5 + (lg 5)3 的值. 20. (本题共两小题,每小题 6 分,满分共 12 分 ) (1)已知 sin α ? cos α =

2 ,求 sin 3 α ? cos3 α 的值.
2 2

(2)已知 tan α = ?3 ,求 2 sin α ? cos α 的值.

21.(本题满分 14 分)已知 f ( x ) = log a (1)求 f ( x ) 的定义域; (2)判断并证明 f ( x ) 的奇偶性;

1+ x (a > 0, 且a ≠ 1) 1? x

(3)求使 f ( x ) > 0 成立的 x 的取值范围.
第 3 页共 9 页

22. (本小题满分 14 分)A、B 两城相距 100km,在两地之间距 A 城 x km 处 D 地建一核电站给

A、B 两城供电,为保证城市安全.核电站距市距离不得少于 10km.已知供电费用与供电距离
的平方和供电量之积成正比,比例系数 λ = 0.25 .若 A 城供电量为 20 亿度/月,B 城为 10 亿度 /月. (1)把月供电总费用 y 表示成 x 的函数,并求定义域; (2)核电站建在距 A 城多远,才能使供电费用最小.
2 23. (本小题满分 14 分)已知二次函数 f ( x) = ax + 8 x + 3 .

(1)若函数 f ( x) = ax + 8 x + 3 的图象恒在直线 y = 5 的下方,求实数 a 的范围;
2

(2)对于给定的负数 a ,有一个最大的正数 l ( a ) ,使得在整个区间[0, l ( a ) ]上,不等式

f ( x) ≤ 5 都成立.问 a 为何值时 l (a ) 最大?求出这个最大的 l (a ) ,证明你的结论.

第 4 页共 9 页

2005- 江苏省西亭高级中学 2005-2006 学年度第一学期


高一数学期中测试卷答卷 第Ⅱ卷(非选择题
共 90 分)

考号:______________________



二、填空题 填空题(本大共 6 小题.每小题 4 分,共 24 分) 填空题 13. 15. 17. 14. 16. 18.



三、解答题 解答题(本大题共 5 小题,共 66 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 解答题 19. (本题共两小题,每小题 6 分,满分共 12 分 )

姓名:____________________

(1)


(2)

班级:_____________________





线



第 5 页共 9 页

20. (本题共两小题,每小题 6 分,满分共 12 分 ) (1) (2)

21. (本题满分 14 分)

第 6 页共 9 页

班级:_____________________
线 内 请 勿 答 题

姓名:____________________

考号:______________________





22. (本小题满分 14 分)

23. (本小题满分 14 分)

第 7 页共 9 页

2005- 江苏省西亭高级中学 2005-2006 学年度第一学期 高一数学期中测试卷答案
1-5 13. 7 CDDCC 6-10 BBDCA 15. 11-12 BC 14. π + 1

4π 3

16. (?∞,0]

17. ( 0,1]

18. ①④

19.(1)0

(2)1

20.(1)

2 17 (2) 2 10

21.解: (1)Q

1+ x x +1 > 0,∴ < 0, 即( x + 1)( x ? 1) < 0. 1? x x ?1

∴ ?1 < x < 1,∴ f ( x )的定义域为(? 1, ) 1
(2)证明:
?1

1+ x 1? x ?1+ x ? Q f (x ) = log a ,∴ f (? x ) = log a = log a ? ? 1? x 1+ x ?1? x ?

= ? log a

1+ x = ? f (x ) 1? x

∴ f ( x ) 为奇函数.
(3)解:当 a>1 时, f ( x ) >0,则

1+ x 1+ x 2x > 1 ,则 + 1 < 0, <0 1? x x ?1 x ?1

∴ 2 x( x ? 1) < 0,∴ 0 < x < 1
因此当 a>1 时,使 f ( x ) > 0 的 x 的取值范围为(0,1).

当0 < a < 1 时, f ( x ) > 0, 则0 <

1+ x <1 1? x

?1 + x ? x ?1 +1 > 0 ? 则? ,解得 ? 1 < x < 0 1+ x ? <0 ? x ?1 ?
因此 当0 < a < 1 时, 使 f ( x ) > 0 的 x 的取值范围为(-1,0) 22. 解: (Ⅰ)y=5x2+

5 (100—x)2(10≤x≤90) ; 2 50000 ? 100 ? . ?x? ? + 3 3 ? ?
2

15 2 15 5 x -500x+25000= (Ⅱ)由 y=5x + (100—x)2= 2 2 2
2

第 8 页共 9 页

100 米时,y 最小. 3 100 米时,才能使供电费用最小. 故当核电站建在距 A 城 3
则当 x= 4 16 16 23. 解 将 f(x)配方得:f(x)=a(x+ )2+3,由于 a<0,于是 f(x)max=3- . a a a (1)由 30

16 <5 得 a < ?8 a

y
5 3

y
5 3 O

16 >5, 即-8<a<0 时, 如图 4 甲) ( , (2) 当 31 a 有 l(a)∈(0,4 ),且 f(l(a))=5. a

x
l(a)

l(a)

x

-5 (乙)

O (甲)

于是方程有两不等实数根. 由 令 ax2+8x+3=5, 于函数 y= f(x)=ax2+8x+3 的图像关于直线 x= 对称,故方程的一根大于是 l(a)= -4 + 16+2a a 4 a

图4

4 4 ,另一根小于- ,l(a)只能取方程 ax2+8x+3=5 的较小根,于 a a = 2 2 1 < = . 4 2 16+2a + 4

20 当 3-

16 4 ≤5,即 a≤-8 时,如图 4(乙) ,有 l(a)> ,且 f(l(a))= -5. a a 4 4 ,另一根小于- , a a

令 ax2+8x+3= -5,于是方程有两不等实数根.且方程的一根大于l(a)必须取方程 ax2+8x+3= -5 的较大根,于是 l(a)= -4 16-8a = a 4 ≤ 4-2a - 2 4 = 20-2

5+1 ,当且仅当 a = -8 时,取“=” . 2



5+1 1 > ,故可取 l(a) = 2 2

5+1 为最大,此时 a = -8. 2

点评

(1)对于二次函数与二次方程及二次不等式相结合的问题,常常画出示意图,

利用图形的直观性进行问题的等价变形,直至问题的最终解决; -4- 16+2a ,第(2)种情形下方程的 (2)容易误认为第(1)种情形下方程的最小根为 a -4+ 16-8a 最大根为 . a

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