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高考数学复习:题型解法训练之选择题的解法


专题一 法

选择题的解

专题一

选择题的解法

试题特点

1. 选择题是高考数学的三大题型之一. 数学选择题 在当今高 考试题中,不但题目数量多,且占分比例高. 2005年为60分,占总分的40%,2006年一般省市 仍维持2005年的试题结构,选择题12个小题,总 分6

0分. 天津、重庆、浙江、湖南、广东等省市 的选择题有10个,分值50分. 2007年高考进一步 调整了试卷结构,其中湖南、天津、广东、江苏、 湖北、浙江有10个选择题,分值50分,北京只有 8个选择题,与上海4个选择题逐步接近.

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试题特点

2. 高考数学选择题具有概括性强、知识覆盖面广,小巧灵活, 有一定的综合性和深度等特点,主要是考查考生基本知 识、基本技能、基本数学思想方法的灵活运用;而且每 一题几乎都有两种或两种以上的解法,能有效地检测学 生的思维层次及观察、分析、判断和推理能力. 3. 高考数学选择题属于容易题和中档题,2007年高考适当降 低了起始题的难度,有些省市的高考选择题很多题目是 容易题,属于送分题,可一捅就破,马上获得解答,在 排序上按前易后难的顺序分布,有利于稳定考生的心态, 有利于考生的正常发挥.

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应试策略

由选择题的结构特点,决定了解选择题除常规方法 外还有一些特殊的方法. 解选择题的基本原则是:“小题 不能大做”,要充分利用题目中(包括题干和选项)提供的 各种信息,排除干扰,利用矛盾,作出正确的判断.

数学选择题的求解,一般有两种思路:一是从题干 出发考虑,探求结果;二是从题干和选择支联合考虑或 从选择支出发探求是否满足题干条件. 由此得到了解选择 题的几种常用方法:直接法、排除法、特例法、数形结 合法和代入验证法等.

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考题剖析

1. (2007·福建莆田四中五月模拟) 若方程x2+(1+a)x+1+a+b=0的两根分别为椭圆、双曲线 b 的离心率,则 的取值范围是 ( )
a

b A. -2< a <-1 1 b C. -2< <- 2 a

b b B. a <-2 或 a >-1 1 b b D. a >- 2 或 <-2 a

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考题剖析

[解析]方程的两根分别为椭圆与双曲线的离心率即方 程在区间(0,1),(1,+∞)内各有一根, 令f(x)= x2+(1+a)x+1+a+b, 则

< ? f (1) 0 必有 ? ? f (0)>0


> ?a ? b ? 1 0 ? < ?2a ? b ? 3 0



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考题剖析

在aOb直角坐标系中作出方程组①所表示的区域如图阴影 b 部分.直线a+b+1=0与2a+b+3=0的交点是(-2,1), 表示 a b 可行域上的点与原点连线的斜率,由图可知 a 满足:

b -2< <- a

1 2

[点评]本题主要考查椭圆、双曲线的离心率性质、一元 二 次方程根的分布,及利用函数思想、数形结合思 想 解题的能力.

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考题剖析

2. (2007·北京市四中)过抛物线y2=4x的焦点,作直线与此抛物 线相交于两点P和Q,那么线段PQ中点的轨迹方程是( A.y2=2x-1 B. y2=2x-2 )

C. y2=-2x+1

D. y2=-2x+2

[解析] (筛选法)由已知可知轨迹曲线的顶点为(1,0), 开口向右,由此排除答案A、C、D,所以选B;

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另解:(直接法)设过焦点的直线y=k(x-1),则

考题剖析

? y ? k ( x ? 1) ? 2 消y得:k2x2-2(k2+2)x+k2=0, ? y ? 4x

中点坐标为

? x1 ? x 2 k 2 ? 2 ? ?x ? ? 2 k2 ? 2 ? y ? k ( k ? 2 ? 1) ? 2 ? k k2 ?

,消k得y2=2x-2,选B.

[点评]筛选法适用于定性型或不易直接求解的选择题.当题 目中的条件多于一个时,先根据某些条件在选择支中 找出明显与之矛盾的,予以否定,再根据另一些条件 在缩小的选择支的范围内找出矛盾,这样逐步筛选, 直到得出正确的选择.它与特例法、图解法等结合使用 是解选择题的常用方法,近几年高考选择题中约占40%.

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考题剖析
2 ? x 2 ?| 2 sin 3x | 的实根的个数是

3. (2007·重庆南开二次调研)方程 A. 4 B. 6 C. 8

( D. 12 [解析]令y= 2 ? x 2 , y=|2sin3x|在同一直角坐 标系中作出它们的图形,如图所示,可知 两个图形有6个交点,故方程 2 ? x 2 =|2sin3x|的实根个数是6. [点评]本题主要是利用数形结合的思想来判断方程根 的个数.要求图形画得尽可能准确.



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1 3 2 4. (2007·重庆南开中学四月模拟)已知函数y= x +x +x的图象 3

C上存在一定点P满足:若过点P的直线l与曲线C交于不同于P 的两点M(x1, y1), N(x2, y2),且恒有y1+y2为定值y0,则y0的值为 ( ) 1 2 4 A. - B. - C. - D. -2
3
3 3

[解析] 2+2x+1=(x+1)2,当x= -1时,y= - 1 , 解法1:y′=x
1 可证得函数图形关于点(-1,- )对称, 3 2 3

故y1+y2= -

3

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解法2: 1 1 1 3 2 1 3- 可由奇函数y= x3向左平移 ∵y= x +x +x= (x+1)
1 一个单位, 再向下平移 3 得到,而奇函数图象关于原 1 1 3+x2+x的图象关于点(-1, - )对 点对称,则 y= x 3 3 3 3 3 3

称.故y1+y2= -

2 3

. 故选B.

[点评]本题主要考查函数的对称性及图象平移等基础知识.

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5. (2007·湖北地区适应考试3) 如图,虚线部分是四个 象限的角平分线,实线部分是函数y=f(x) 的部分图象,则f(x)可能是 ( )

A. xsinx C. x2cosx

B. xcosx D. x2sinx

[解析] 图形关于y轴对称,则函数是一 个偶函数,排除B、D答案,图形 恒在直线y=±x之间, 即有 |f(x)|≤x恒成立,则只有答案A.

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[点评] 由于函数图象是一个非常规图形,难以直接求出函 数表达式,于是根据图形的特征,主要是对称性、 单调性、定义域、值域和特殊点等来进行排除筛选.

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6. (2007·广东深圳市)y=f(x)有反函数y=f -1(x),将y=f(x) 的图象绕原点顺时针方向旋转90°后得到另一个函数的 图象,则得到的这个函数是 ( ) A. y= f -1(x) C. y= f -1 (-x) B. y=- f -1 (x) D. y=- f -1 (-x)

[解析]取特例,如令f(x)=2x作一个示意图. 选B. [点评]本题主要考查函数图形及反函数图形的关系,举例 结合图象处理较好

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7. (2007·湖北黄冈)将直线2x-y+λ=0沿x轴向左平移1个单 位,所得直线与圆x2+y2+2x-4y=0相切,则实数λ的值为 ( )

A. -3或7 C. 0或10

B. -2或8 D. 1或11

[解析] 由题意可知:直线2x-y+λ=0沿x轴向左平移1个单位 后的直线l为:2(x+1)-y+λ=0.已知圆的圆心为 O(-1,2),半径为 5 .

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解法1:直线与圆相切,则圆心到直线的距离等于圆的半径,

| 2 ? (?1 ? 1) ? 2 ? ? | ? 5 ,得λ= -3或7. 因而有 5
解法2:设切点为C(x, y),则切点满足2(x+1)-y+λ=0,即 y=2(x+1)+λ,代入圆方程整理得: 5x2+(2+4λ)x+(λ2-4)=0, (*) 由直线与圆相切可知,(*)方程只有一个解, 因而有Δ=0,得λ= -3或7.

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解法3: 由直线与圆相切,可知CO⊥l,因而斜率相乘得-1,即
y?2 ? 2 ? ?1 ,又因为C(x, y)在圆上,满足方程x2+y2+2x- x ?1

考题剖析

4y=0,解得切点为(1,1)或(-3,3),又C(x, y)在直线2(x+1) -y+λ=0上,解得λ= -3或7. [点评]本题考查了平移公式、直线与圆的位置关系,只要正确 理解平移公式和直线与圆相切的充要条件就可解决.直线 与圆的位置关系历来是高考的重点.作为圆与圆锥曲线中 的特殊图形,具有一般曲线的解决方法外(解法2)还 有特别的解法,引起重点理解和掌握.

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8. (2007·湖南岳阳)若直线mx+ny=4和⊙O:x2+y2=4没有
x2 y2 交点,则过(m,n)的直线与椭圆 ? ? 1 的交点个数 9 4





A. 至多一个

B. 2个

C. 1个

D. 0个

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[解析]
∵直线mx+ny=4和⊙O:x2+y2=4没有交点, ∴
| 0? m ? 0? n ? 4 | m2 ? n2 2 m n 2 m2 n2 即m2+n2≤4,∴ , ? ? ? ?1 ?2 ,

9

∴点(m, n)在椭圆

y x ? ? 1 内,故过点(m, n)的 9 4

2

4

2

4

4

直线与该椭圆有两个交点.故选B

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[点评] 本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与 圆的位置关系一般可以用方程法判断,也可以用几 何法判断,直线与椭圆的位置关系一般用方程法来 判断,但是直线经过圆锥曲线内部一点时,直线与 圆锥曲线一定是相交的关系.

考题剖析 9. (山东省泰安市)半径为4的球面上有A、B、C、D四点, 且AB,AC,AD两两互相垂直,则△ABC、△ACD、 △ADB面积之和S△ABC+S△ACD+S△ABD的最大值为( ) A. 8 B. 16 C. 32 D. 64 [解析] 依题以AB,AC,AD为共顶点的棱作出球的内接长方体, 2 2 2 设AB=x, AC=y,AD=z, 则x +y +z =64, 1 2 2 2 2 2 2 1 S△ABC+S△ACD+S△ABD= (xy+yz+xz)≤ 4 (x +y +y +z +z +x ) 2 =32 当且仅当x=y=z时取等号.

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[点评]本题主要考查球与多面体的接切关系、基本不等 式求最值等知识.注意转化与构造方法的运用.

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10. (2007·河南郑州)设直线l:2x+y+2=0关于原点对称的直 y 2+ 线为l′,若l′与椭圆x =1的交点为A、B,点P为椭 4 1 圆上的动点,则使△PAB的面积为 的点P的个数为 2 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2

专题一 [解析]

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考题剖析

直线l:2x+y+2=0关于原点对称的直线为l′:2x+y-2=0,该 直线与椭圆相交于A(1, 0)和B(0, 2),P为椭圆上的点,且
1

△PAB的面积为 2 ,则点P到直线l′的距离为
5

5,在直线的 5

下方,原点到直线的距离为 2 5 ,所以在它们之间一定有两个

点满足条件,而在直线的上方,与2x+y-2=0平行且与椭圆
相切的直线,切点为Q(
2 , 2) 2

,该点到直线的距离小于

5 5



所以在直线上方不存在满足条件的P点.故该选B.

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[点评]

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考题剖析

本题主要考查对称性问题及直线与椭圆的位置关系问题. 将面积转化为点到直线的距离是处理问题的要点.

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考题剖析

11. (2007·云南昆明)如图,非零向量 OA, OB 与x轴正半轴的夹
角分别为
π 6

和 2π
3

,且 OA ? OB ? OC =0,则 OC与x轴正半

轴的夹角的取值范围是(
π A. (0, ) 3


π 3

B. (

π 2π C. ( 2 , ) 3

2π 5π D. ( 3 , 6 )

5π , ) 6

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[解析]

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与x轴正半轴的夹角之间,故选B.

OC与x轴正半轴的夹角的取值范围应在向量-OA ,-OB

[点评] 本题主要考查向量的运算及向量的夹角知识.

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12. (2007·广西南宁)已知平面α∥β,直线l α,?点P∈l,平面 α,β之间的距离为8,则在β内到P点的距离为10且到直线l 的距离为9的点的轨迹是 ( ) A. 一个圆 C. 四个点 B. 两条直线 D. 两个点

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[解析] 如图:过点P作PO⊥β于点O, 则PO=8,在β 内取点Q,使PQ=10,则QO=6,所以点Q 的集合是β平面上以O为圆心,6为半径的 圆,在β内取点M,过M作直线n使n∥l, 过P作PN⊥n,则ON⊥n,可知当PN=9时, 17 ON= <6,即直线n与圆相交,且这样 的直线只有两条,故在β内满足条件的点即 直线n与圆的交点,共4个. [点评] 本题是一道立体几何中的平面轨迹问题,弄清各种距离的定 义并转化到同一平面结合图形进行处理.

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13. (2007?河北石家庄二模)若△ABC的外接圆的圆心为O, 半径为1,且 OA ? OB ? OC =0,则 OA· OB = ( 1 1 A. B. 0 C. 1 D. - 2
2



[解析] 取特例.取△ABC为正三角形,又由OA ? OB ? OC =0, 知O为三角形的重心, ∴ 〈 〉 | OA· =| OB |· OA | cos OA , OB OB
1 =1×1×cos120°= - , 故选D. 2

[点评]本题解法较多但用特例要简单.

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14. (2007·河北石家庄二模)已知半径为1的圆的圆心在双

x2 2 曲线y - =1上,当圆心到直线x-2y=0的距离最小 2
时,该圆的方程为
2
2





2 )2=1或(x- 2 )2+(y- 2)2=1 A.(x+ ) +(y+ 2 2 B. (x+ 2 ) +(y+ 2 ) =1 2 2 C. (x- 2 ) +(y+ 2 ) =1 2 2 2 2 D. (x- 2 ) +(y+ 2 ) =1或(x+ 2 ) +(y- 2 ) =1

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[解析] 解法1:作直线x-2y=0的平行直线x-2y-m=0使它与双 曲线相切, 由
?x ? 2 y ? m ? 0 ? ? ? 2 x2 ?1 ?y ? 2 ?

2y +4my+m +2=0,

2

2

令Δ=0,得m= 2 或m= - 2 当m= 2 时,圆心坐标为(- 2 ,- 2 ) 当m= - 2 ,圆心坐标为( 2 , 2 ) 又圆半径为1,所以圆的方程为 2 2 2 2 或(x- 2 ) +(y- 2 ) =1 (x+ 2 ) +(y+ 2 ) =1

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解法2:直线过双曲线的中心,由双曲线的对称性,知所求 圆应该有两个所以排除B、C,通过图形判断圆心在 第一或三象限,排除D. [点评] 本题主要考查圆的知识和点到直线的距离公式等知 识,直接运算较繁,但结合图形根据图形的对称性 处理则容易.

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规律总结

1. 解选择题的基本方法有直接法、排除法、特例法、验证 法 和数形结合法. 在解选择题时要注意灵活运用上述一种或 几种方法“巧解”,切忌盲目地采用直接法. 2. 解选择题时,要注意多观察、多分析,充分利用题干和 选择支两方面提供的信息,灵活选用各种方法,才能加 快解题速度. 作为训练,解完一道题后,还考虑一下能不 能用其它方法进行“巧解”,并注意及时总结,这样才 能有效地提高解选择题的能力.


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