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第3练 简单的逻辑联结词


第三练

简单的逻辑联结词? 全称量词与存在量词
)

一? 选择题:(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分,将正确答案的代号填在题后的括号内.)
1.关于全称命题与特称命题下列说法中不正确的是(

A.全称命题,对于取值集合中的每一个元素,命题都成立或都不成立 B.特称命题,对于取值集合中至少有一个元素使命题成立或不成立 C.全称命题的否定一定是特称命题 D.特称命题的否定一定不是全称命题 答案:D 2.(2009·山东淄博高三质检)下列命题既是全称命题又是真命题的个数是( ①所有的素数都是奇数; ②? x∈R,(x-1) +1≥1; ③有的无理数的平方还是无理数. A.0 C.2 B.1 D.3
2

)

解析:命题②是全称命题又是真命题;命题③是特称命题又是真命题;命题①是假命题.故选 B. 3.命题 p:x=π 是 y=|sinx|的一条对称轴,q:2π 是 y=|sinx|的最小正周期,下列命题:①p 或 q,②p 且 q,③ 非 p,④非 q,其中真命题的个数为( A.0 B.1 ) C.2 D.3

解析:依题意知 p 真 q 假,所以①? ④为真命题,有 2 个.故选 C. 4.(精选考题·辽宁)已知 a>0,则 x0 满足关于 x 的方程 ax=b 的充要条件是( A.? x∈R,?ax -bx≥?ax 0-bx0
2 2

)

B.? x∈R, ?ax -bx≤?ax 0-bx0
2 2

C.? x∈R, ?ax -bx≥?ax 0-bx0
2 2

D.? x∈R, ?ax -bx≤?ax 0-bx0
2 2

解析:设函数 f(x)= ?ax -bx,∴f′(x)=ax-b,由已知可得 f′(x0)=ax0-b=0,又因为 a>0,所以可知 x0 是
2

函数 f(x)的极小值点,也是最小值点.由最小值定义可知选项 C 正确. 5.(精选考题·新课标全国)已知命题 p1:函数 y=2 -2 在 R 上为增函数,p2:函数 y=2 +2 在 R 上为减函数.则 在命题 q1:p1∨p2,q2:p1∧p2,q3:(?p1)∨p2 和 q4:p1∧(?p2)中,真命题是( A.q1,q3 C.q1,q4 B.q2,q3 D.q2,q4 )
x -x x -x

解析:p1 是真命题,则?p1 为假命题;p2 是假命题,则?p2 为真命题;

∴q1:p1∨p2 是真命题,q2:p1∧p2 是假命题, ∴q3:(?p1)∨p2 为假命题,q4:p1∧(?p2)为真命题. ∴真命题是 q1,q4,故选 C. 6.已知 p:

2x <1,q:(x-a)(x-3)>0,若?p 是?q 的必要不充分条件,则实数 a 的取值范围是( x ?1
B.[1,3] D.[3,+∞)

)

A.(-∞,1) C.[1,+∞) 解析:

2x x ?1 -1<0? <0? (x-1)(x+1)<0? p:-1<x<1;当 a≥3 时,q:x<3 或 x>a,当 a<3 时,q:x<a 或 x ?1 x ?1

x>3.?p 是?q 的必要不充分条件,即 p 是 q 的充分不必要条件,即 p? q 且 q? p,可推出 a 的取值范围是 a≥1. 答案:C

二? 填空题:(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分,把正确答案填在题后的横线上.)
7.(精选考题·安徽)命题“存在 x∈R,使得 x +2x+5=0”的否定是________. 答案:对任何 x∈R,都有 x +2x+5≠0 8.若命题 p:关于 x 的不等式 ax+b>0 的解集是 ? x | x ? ? ? ,命题 q:关于 x 的不等式(x-a)(x-b)<0 的解集 是{x|a<x<b},则在命题“p 且 q”、“p 或 q”? “非 p”、“非 q”中,是真命题的有________. 解析:依题意可知命题 p 和 q 都是假命题,所以“p 且 q”为假?“p 或 q”为假?“非 p”为真?“非 q” 为真. 答案:非 p、非 q 9.已知命题 p:? x∈R,ax +2x+3>0,如果命题?p 是真命题,那么实数 a 的取值范围是________. 解析:因为命题?p 是真命题,所以命题 p 是假命题,而当命题 p 是真命题时,就是不等式 ax +2x+3>0 对 一切 x∈R 恒成立,这时应有 ?
2 2 2 2

? ?

b? a?

?a ? 0 , ?? ? 4 ? 12a ? 0

解得 a>?,因此当命题 p 是假命题,即命题?p 是真命题时实数 a 的取值范围是 a≤?. 10.设有 2012 个命题 p1,p2,?,p2012 满足:若命题 pi 是真命题,则命题 pi+4 是真命题.已知 p1∧p2 是真命 题,(p1∨p2)∧(p3∨?p4)是假命题,则 p2012 是________(填真或假)命题. 解析:“若命题 pi 是真命题,则命题 pi+4 是真命题”实质是告诉我们一个命题真假的周期性,即在 p1,p2,?,p2012 中命题的真假每 4 个命题一循环,p2012 的真假性应与 p4 的相同,所以我们只需判定 p4 的真假性 即可. 因为 p1∧p2 是真命题,所以 p1,p2,都是真命题,所以 p1∨p2 是真命题. 又因为(p1∨p2)∧(p3∨?p4)是假命题,所以 p3∨?p4 是假命题, 所以 p3 和?p4 都是假命题,所以 p4 是真命题.

所以 p2012 是真命题. 答案:真 评析:本题是一个以年份为数据的“与时俱进型”的创新题,近年,这类题比较“火爆”,请同学们予 以重视.本题将函数的周期性迁移到命题的真假问题中,又是一个创新点.由一个复合命题的真假判定其中 简单命题的真假,是对命题真假的逆向考查,须仔细分析,谨慎从事.

三? 解答题:(本大题共 3 小题,11? 12 题 13 分,13 题 14 分,写出证明过程或推演步骤.)
11.已知命题 p:? x∈[1,2],x -a≥0,命题 q:“? x0∈R,x 0+2ax0+2-a=0”,若命题“p 且 q 是真命题,求实数 a 的取值范围.” 解:由“p 且 q”是真命题,则 p 为真命题,q 也为真命题. 若 p 为真命题,a≤x 恒成立, ∵x∈[1,2],∴a≤1. 若 q 为真命题,即 x +2ax+2-a=0 有实根,Δ =4a -4(2-a)≥0, 即 a≥1 或 a≤-2, 综上所求实数 a 的取值范围为 a≤-2 或 a=1. 评析:先根据 p 真? q 真求出参数 a 的取值范围,再取其交集即为所求. 12.已知命题 p:对 m∈[-1,1],不等式 a -5a-3≥ m2 ? 8 恒成立;命题 q:不等式 x +ax+2<0 有解.若 p 是真
2 2 2 2 2 2 2

命题,q 是假命题,求 a 的取值范围. 解:∵m∈[-1,1], ∴ m2 ? 8 ∈[2 2 ,3]. ∵对 m∈[-1,1],不等式 a -5a-3≥ m2 ? 8 恒成立,可得 a -5a-3≥3,
2 2

∴a≥6 或 a≤-1. 故命题 p 为真命题时,a≥6 或 a≤-1. 又命题 q:不等式 x +ax+2<0 有解, ∴Δ =a -8>0,∴a>2 2 或 a<-2 2 .
2 2

从而命题 q 为假命题时,-2 2 ≤a≤2 2 , ∴命题 p 为真命题,q 为假命题时,a 的取值范围为-2 2 ≤a≤-1. 13.设命题 p:函数 f(x)=loga|x|在(0,+∞)上单调递增;q:关于 x 的方程 x +2x+loga?=0 的解集只有一个子集.
2

若 p∨q 为真,?p∨?q 也为真,求实数 a 的取值范围. 解:当命题 p 是真命题时,应有 a>1;当命题 q 是真命题时,关于 x 的方程 x +2x+loga?=0 无解,
2

所以 Δ =4-4loga? <0, 解得 1<a<?. 由于 p∨q 为真,所以 p 和 q 中至少有一个为真,又?p∨?q 也为真,所以?p 和?q 中至少有一个为真,即 p 和 q 中至少有一个为假,故 p 和 q 中一真一假. p 假 q 真时,a 无解;p 真 q 假时,a≥?. 综上所述,实数 a 的取值范围是 a≥?.


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