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重庆市第十一中学学高一数学下学期期中试题理-精


2015-2016 学年(下)半期高 2018 级 数学试题(理)
考试说明:1.考试时间: 120 分钟 2.试题总分:150 分

一、选择题: (本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个备选选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.在等差数列 {a n } 中, a1 ? 1,公差 d ? 2 ,则 a7 等于 A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 2.平行四边形 ABCD 中,E 是 CD 的中点,且 AB ? a , AD ? b ,则 BE = A. b ?

1 a 2

B. a ?

1 b 2

C. b ?

1 a 2

D. a ?

1 b 2

3.已知向量错误!未找到引用源。=(3,4),错误!未找到引用源。=(k,2-k),且错误! 未找到引用源。∥错误!未找到引用源。,则实数 k= A.8 B.-6 6 C. 7 4 D.- 3

4. 已 知 {an } 是 由 正 数 组 成 的 等 比 数 列 , Sn 表 示 {an } 的 前 n 项 的 和 。 若 a1 ? 3 ,

a2 a4 ? 144 ,则 S10 的值是
A.511 B .1023 C.1533 D.3069
0

5.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,已知 a ? 1, b ? 2, C ? 120 ,则 ?ABC 的外接圆半径

15 21 C. D. 4 3 3 6.已知等比数列 ?an ? 的首项 a1 ? 1, 公比 q ? 2 ,则 log2 a1 ? log2 a2 ? ?? log2 a11 ?
A.

2 21 3

B.

A.50

B.44

C.55

D.46

? 7. 设 i , j 是 两 个 夹 角 为 120 ? 的 单 位 向 量 , 若 向 量 a ? (m ? 1)i ? 3 j ,

b ? i ? (m ? 1) j ,且 (a ? b) ? (a ? b) ,则实数 m 的值为
A.-2 B.2 C. ?

5 4

D.不存在

8.等比数列 {an } 中,已知 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 20, a5 ? a6 ? a 7 ?a8 ? 10 ,则数列 {an } 的 前 16 项和 S16 为 A.20 B.

75 2

C.

125 2

D. ?

75 2
1

9.已知 ?ABC 内角 A, B, C 的对边分别是 a , b, c ,若 cos B ? 则 ?ABC 的面积为 A.

1 ,b=3, sin C ? 2 sin A , 4

9 15 8

B.

3 5 4

C.

9 5 8

D.

9 15 16

10.甲船在岛 B 的正南 A 处,AB=10 千米,甲船以每小时 8 千米的速度向正北航行,同 时乙船自 B 出发以每小时 12 千米的速度向北偏东 60°的方向驶去, 当甲、 乙两船相距最 近时,它们所航行的时间是 75 5 A. 分钟 B. 小时 C.10.75 分钟 D.2.15 分钟 7 7 11.△ABC 中,根据下列条件,能确定△ABC 有两解的是 A.a=18, b=20, A=120° B.a=60, c=48, B=60° C.a=6, b=12, A=30° D.a=7, b=8, A=45° 12.已知 a , b, c 为 ?ABC 的三个内角 A, B, C 的对边,向量 m ?

??

?

3, -1 ,

?

?? ? ? ? n ? ? cos A,sin A? ,若 m与n 夹角为 ,则 a cos B ? b cos A ? c sin C ,则角 B ?
A.

?
6

B.

?
3

C.

?
4

3

D.

2? 3

二、 填空题: (本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案分别填写在答题卡相应位 置) 13.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,若 a ? 3 3, c ? 2, B ? 则b = 14. 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 a3 ? a9 ? a15 ? a17 ? 4 2 ,则 S 21 =

5? , 6

? ?? a ? ?? 15. 设三个非零向量 a, b, c ,若 m ? ? ? a
则 a7 ? _____。

? ? ?? b c ? ? ? ,那么 m 的取值范围为______。 b c

16.在数列 {an } 中,已知 a1 ? 1, an ? 2(an?1 ? an?2 ? ? ? a2 ? a1 )(n ? 2) ,

2

三 、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤) 17. (本小题满分 10 分) 已知向量 OA ? (3, ?4), OB ? (6, ?3), OC ? (5 ? x, ?3 ? y) , OD ? (4,1) 。 (1)若四边形 ABCD 是平行四边形,求 x , y 的值; (2)若 ?ABC 为等腰直角三角形,且 ?B 为直角,求 x , y 的值。

??? ?

??? ?

??? ?

????

18. (本小题满分 12 分)

已知数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 3n ? 1 ,前 n 项和记为 Sn 。 (1)求证:数列 ?an ? 是等差数列; (2)若 bn ?

1 1 1 Sn ? ?? ? ,求 n b1b2 b2b3 bn ?1bn

? n ? 2?



19. (本小题满分 12 分)

(1)已知 a ? 4 , b ? 5 ,且 a 与 b 的夹角为 60°,求 2a ? 3b 的值; (2)在矩形 ABCD 中, AB ?

?

?

?

?

?

?

2,BC ? 2 ,点 E 为 BC 的中点,点 F 在 CD 边上,若

AB ? AF ? 2 ,求 AE ? BF 的值。

3

20.(本小题满分 12 分) 已知锐角 ?ABC 的三内角 A, B, C 所对的边分别是 a , b, c ,且 2c sin A ? 3a 。 (1)求角 C 的大小; (2)若 a=5, S?ABC ?

15 3 ,求 ?ABC 的 AB 边上中线 CD 的长。 2

21. (本小题满分 12 分) 已知 ?ABC 内角 A, B, C 的对边分别是 a , b, c ,且 (1)求角 A; (2)当 sin B ? cos ? C ?

ac sin A cos A ? 。 2 2 b ?a ?c cos( A ? C )
2

? ?

b ? 取最大值时,求 a 的值。 12 ?

? ?

22. (本小题满分 12 分) 有 n 个 首 项 都 是 1 的 等 差 数 列 , 第 m 个 数 列 的 第 k 项 表 示 为 amk (m, k ? 1, 2,3,?, n, n ≥ 3) ,公差为 d m ,并且 a1n , a2n , a3n ,?, ann 成等差数列。 若取 d1 ? 1, d2 ? 3 。 (1)求数列 {dm } 的通项公式; (2)数列 {dm } 分组如下:

(d1 ), (d2 , d3 , d4 ), (d5 , d6 , d7 , d8 , d9 ),? (每组数的个数构成等差数列)
设前 m 组中所有数之和为 cm ,求数列 {2
4

cm

dm} 的前 n 项和 Sn 。

4

2015-2016 学年(下)半期 高 2018 级数学试题(理)参考答案 一、选择题: (本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) ACCDC CCBDA DB 二、 填空题: (本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 7 15. [0, 3]

21 2 7 ?2 16. a7 ? 2 ? 3 ? 486
14.

三 、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分) 17. (本小题满分 10 分)

已知向量 OA ? (3, ?4), OB ? (6, ?3), OC ? (5 ? x, ?3 ? y) , OD ? (4,1) 。 (1)若四边形 ABCD 是平行四边形,求 x , y 的值; (2)若 ?ABC 为等腰直角三角形,且 ?B 为直角,求 x , y 的值。 解: (1) AD ? (1,5) , BC ? (?1 ? x, ? y) ,由 AD ? BC 得 x=-2,y=-5。………………5 分 (2)? AB ? (3,1), BC ? (? x ?1, ? y) , 若 ? B 为直角,则 AB ? BC , ∴ 3(? x ? 1) ? y ? 0 , 又 | AB |?| BC | ,∴ ( x ? 1) ? y ? 10 ,再由 y ? 3(? x ?1) ,
2 2

??? ?

??? ?

??? ?

????

????

??? ?

????

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

解得 ?

?x ? 0 ? x ? ?2 或? .………………10 分 y ? ? 3 y ? 3 ? ?

18. (本小题满分 12 分)

已知数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 3n ? 1 ,前 n 项和记为 Sn 。 (1)求证:数列 ?an ? 是等差数列; (2)若 bn ?

1 1 1 Sn ? ?? ? ,求 n b1b2 b2b3 bn ?1bn

? n ? 2?



(1)证明:∵ an?1 ? an ? [3(n ? 1) ?1] ? (3n ?1)] =3 是常数, ∴ ?an ? 是等差数列。……………………4 分

(2) Sn ? na1 ?

n(n ? 1) n(n ? 1) 3n2 ? n d ? 2n ? ?3 ? .………………8 分 2 2 2 S 3n ? 1 ∴ bn ? n ? n 2 1 1 1 ? ?? ? ∴ b1b2 b2b3 bn ?1bn n ?1 4 1 1 1 1 1 1 。 …………12 分 ? [( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? 3n ? 1 3 4 7 7 10 3n ? 2 3n ? 1

5

19. (本小题满分 12 分)

(1)已知 a ? 4 , b ? 5 ,且 a 与 b 的夹角为 60°,求 2a ? 3b 的值; (2)在矩形 ABCD 中, AB ?

?

?

?

?

?

?

2,BC ? 2 ,点 E 为 BC 的中点,点 F 在 CD 边上,若

AB ? AF ? 2 ,求 AE ? BF 的值。 ? ? ? ?2 ? 2 ?2 ? ? 解:(1) 2a ? 3b ? 4a ? 9b ? 12a ? b =169,得 2a ? 3b ? 13 ;………6 分 ??? ? ???? (2)矩形 ABCD 中, AB ? AD ? 0 ???? ???? ??? ? ∵点 F 在边 CD 上,∴设 DF ? x ? DC ? x ? AB ??? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ?2 2 …………9 分 ? AB ? AF ? AB ? ( AD ? x ? AB) ? 0 ? x ? AB ? 2 x ,? x ? 2 ? ??? ? ??? ? ???? ? ? ??? ? ??? ? 1 ???? ??? 2 ? ??? ? AE ? AB ? AD , BF ? BC ? CF ? AD ? ?1 ? AB ? ? 2 2 ? ? ?
??? ? ??? ? 1 ???? 2 ? ?2 ? 2 ? ??? 2? ? AE ? BF ? AD ? ? 1 ? AB ? 2?? 1? ? ??2 ? 2 ? ? ? 2 2 ? 2 ? ? ? ?
本小题也可建坐标系,用平面向量坐标运算解决。 20.(本小题满分 12 分) 已知锐角 ?ABC 的三内角 A, B, C 所对的边分别是 a , b, c ,且 2c sin A ? 3a 。 (1)求角 C 的大小; …………12 分

15 3 ,求 ?ABC 的 AB 边上中线 CD 的长。 2 (1)由正弦定理得: 2sin C sin A ? 3 sin A ,又 sin A ? 0 ,
(2)若 a=5, S?ABC ?

? sin C ?

3 ? ,又 ?ABC 是锐角三角形, C ? 。…………4 分 3 2 1 (2)由 S ?ABC ? ab sin C 得 b ? 6 ,…………6 分 2 2 2 2 由 c ? a ? b ? 2ab cos C 得 c ? 31 …………8 分
由∠ADC+∠BDC=180?得 cos∠ADC +cos∠BDC =0,设 CD=x

? 31 ? ? 31 ? 2 2 x ?? x2 ? ? ? ?6 ? ?5 91 ? 2 ? ? 2 ? 则 ? ? 0 ,解得: x ? 2 ? 31 ? ? 31 ? 2? x ?? 2? x ?? ? ? ? 2 ? ? 2 ?
2

2

2

∴AB 边上中线 CD 的长为

91 。……………………12 分 2

6

本小题也可用余弦定理求 cos A ?

7 ,再用余弦定理求 CD 的长。 2 31

21. (本小题满分 12 分) 已知 ?ABC 内角 A, B, C 的对边分别是 a , b, c ,且 (1)求角 A;

ac sin A cos A 。 ? 2 2 b ?a ?c cos( A ? C )
2

b ? 取最大值时,求 a 的值。 12 ? ? ac sin A cos A ? (1)由已知得: ,∴ sin 2 A ? 1 ,∴ A ? ……4 分 4 ?2ac cos B ? cos B ? 3? ?B, (2)由 A ? 得 C ? 4 4 ? ? ? ? 5? ? ?sin B ? cos ? C ? ? ? sin B ? cos ? ? B? 12 ? ? ? 6 ? 3? ? 1 3 ?? ? 且B ? …………8 分 ? sin B ? cos B ? sin ? B ? ? ,又 0 ? B ? 4 2 2 2 3? ?
(2)当 sin B ? cos ? C ? ∴当 B ?

? ?

? ?

?
6

时, sin B ? cos ? C ?

? ?

b sin B 2 ? 。……12 分 ? 取最大值 1,此时 ? 12 ? a sin A 2

? ?

22. (本小题满分 12 分) 有 n 个 首 项 都 是 1 的 等 差 数 列 , 第

m 个数列的第 k 项表示为 amk (m, k ? 1, 2,3,?, n, n ≥ 3) ,公差为 d m ,并且 a1n , a2n , a3n ,? , ann 成等差数列,若 取 d1 ? 1, d2 ? 3 。 (1)求数列 {dm } 的通项公式; (2)数列 {dm } 分组如下: (d1 ), (d2 , d3 , d4 ), (d5 , d6 , d7 , d8 , d9 ),? (每组数的个数构成等差数列)
设前 m 组中所有数之和为 cm ,求数列 {2 解: (1)由题意知 amn ? 1 ? (n ? 1)dm .
4

cm

dm} 的前 n 项和 Sn 。

a2n ? a1n ? [1 ? (n ?1)d2 ] ? [1 ? (n ?1)d1 ] ? (n ?1)(d2 ? d1 ) , 同理, a3n ? a2n ? (n ?1)(d3 ? d2 ) , a4n ? a3n ? (n ?1)(d4 ? d3 ) ,…, ann ? a( n?1) n ? (n ?1)(dn ? dn?1 ) .
又因为 a1n , a2n , a3n ,?, ann 成等差数列, 所以 a2n ? a1n ? a3n ? a2n ? ? ? ann ? a( n?1) n . 故 d2 ? d1 ? d3 ? d2 ? ? ? dn ? dn?1 ,即 {dn } 是公差为 d 2 ? d1 的等差数列.

7

* 当 d1 ? 1, d2 ? 3 时, dm ? 2m ?1 (m ? N ) .………………6 分

(2)数列 {dm } 分组如下: (d1 ), (d2 , d3 , d4 ), (d5 , d6 , d7 , d8 , d9 ),? . 按分组规律,第 m 组中有 2m ? 1 个奇数, 所以第 1 组到第 m 组共有 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2m ?1) ? m 个奇数.
2

所以前 m 2 个奇数的和为 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2m ? 1) ?
2
4

m2 (1 ? 2m2 ? 1) ? m4 , 2

即前 m 组中所有数之和为 m 4 ,所以 cm ? m .………………9 分 从而 2
4

cm

dm ? (2m ? 1) ? 2m (m ? N* ) .
2 3 4 n?1

所以 Sn ? 1? 2 ? 3 ? 2 ? 5 ? 2 ? 7 ? 2 ? ?? (2n ? 3) ? 2
2 3 4 n

? (2n ?1) ? 2n .
n?1

2Sn ? 1? 22 ? 3 ? 23 ? 5 ? 24 ? ?? (2n ? 3) ? 2n ? (2n ?1) ? 2n?1 .
故 ?Sn ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ?? 2 ? 2 ? (2n ?1) ? 2

? 2(2 ? 22 ? 23 ? ? ? 2n ) ? 2 ? (2n ?1) ? 2n?1
2(2n ? 1) ? 2? ? 2 ? (2n ? 1) ? 2n ?1 ? (3 ? 2n)2n?1 ? 6 . 2 ?1 n?1 所以 Sn ? (2n ? 3)2 ? 6 .…………………………………12 分

8


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