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几何概型案例


《几何概型》教学案例
教学目标 一、知识与技能目标 (1)通过学生对几个几何概型的实验和观察,了解几何概型的两个特点。 (2)能识别实际问题中概率模型是否为几何概型。 (3)会利用几何概型公式对简单的几何概型问题进行计算。 二、过程与方法 让学生通过对几个试验的观察分析, 提炼它们共同的本质的东西, 从而亲历几何概型的 建构过程,并在解决问题中,给学生寻找发现、讨论交流、合作分享的机会。 教学重点 几何概型的特点,几何概型的识别,几何概型的概率公式。 教学难点 建立合理的几何模型求解概率。 教学过程 一、创设情境 引入新课 师: 上节课我们共同学习了概率当中的古典概型, 请同学们回想一下其中所包含的主要内容, 并依据此举一个生活当中的古典概型的例子。 生甲:掷一颗骰子,观察掷出的点数,求掷得奇数点的概率。 师:请同学们判断这个例子是古典概型吗?你判断的依据是什么? 生乙:是古典概型,因为此试验包含的基本事件的个数是有限个,并且每个基本事件发生的 可能性相等。 师:非常好,下面允许老师也举一个例子,请同学们作以判断。

如图:把一块木板平均分成四部分,小球随机的掉到木板上, 求小球 掉在阴影区 域内的概率。 生丙:此试验不是古典概型,因为此试验包含的基本事件的个数有无数多个。 师:非常好,此试验不是古典概型,由此我们可以看到,在我们的生活中确实 存在着诸如这样的不是古典概型的实际问题, 因此我们有必要对这样的问题作进一步更加深 入的学习和研究。 今天这节课我们在学习了古典概型的基础上再来学习几何概型。 那到底什

么是几何概型, 它和古典概型有联系吗?在数学里又是怎样定义的呢?为此, 我们接着来看 刚才这个试验。 试验一 师:请同学们根据我们的生活经验回答此试验发生的概率是多少? 生丁:四分之一 师:很好,那你是怎样得到这个答案的呢? 生丁:就是用阴影的面积比上总面积。 师: 非常好, 下面我们再来看图中的右边这种情形, 现在阴影的面积仍是总面积的四分之一, 只不过阴影的形状及其位置发生了变化,那么此时小球落在阴影区域内的概率又是多少?

生丁:仍是四分之一,还是用阴影的面积比上总面积。 师:非常好,请坐。我们梳理一下我们刚才的发现。首先此试验所包含的基本事件的个数为 无数多个, 并且每个基本事件发生的可能性相等, 而所求的概率就是用阴影的面积比上总面 积,所以此概率仅与阴影的面及有关系,而与阴影的形状和位置并无关系。 试验二 在 500ml 的水中有一只草履虫,现从中随机取出2ml 水样放到显微镜下观察,求发现草履 虫的概率.

师:首先请同学们观察这个试验跟刚才那个试验有没有共同本质的东西。 生戊:此试验所包含基本事件的个数仍是无限多个,每个基本事件发生的可能行都相等。 师:所求的概率是多少?

生戊:就是用取出的水样的体积比上总体积,答案是五百分之二。 试验三 取一根长为 60 厘米的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长都不少于 20 厘米的概 率有多大?

请同学首先思考讨论,老师作以分析如下: 首先此试验所包含的基本事件的个数仍是无限多个,并且每个基本事件发生的可能性都相 等。 现在把这根绳子抽象为一条线段, 因此每做一次随机试验就可以理解为在对应这条线段 上取一个点, 也就是说一次随机试验就可以理解为线段上的一个点, 那基本事件空间就可以 理解为这条线段,因此此试验的本质就是在此线段上取一个点,能够使得事件 A 发生,所以 现在问题的关键是线段上找到可以使事件 A 发生的点。 老师通过实物的演示帮助学生在线段上找到可以使事件 A 发生的点。
A 20cm B

20cm

师:通过刚才的演示我们可以发现,当取到的点在 A、B 之间的时候能够使得事件 A 发生,因 此这个问题又可以理解为:在此线段上取一点当这个点在 A、B 之间的时候的概率是多少? 生己:就是用线段 AB 的长度比上总长度,答案是三分之一。 老师对此问题作以小结: 在剪刀剪的次数可以是无限多次的情况下,通过建立等量替代关系,在“每剪一次→绳子上 一点”对应基础上,顺次建立“无数次随即剪→线段上所有点”,“剪数量→线段长度”对 应关系,在“数(次数)→形(点)→数(长度)” 转换过程中,解决无限性无法计算的 问题。这样对应是内在的,逻辑的,因此建立的度量公式是合理的。 二、几何概型的建构 1、想一想 ⑴以上三个试验共同点: ①所有基本事件的个数都是无限多个。 ②每个基本事件发生的可能性都相等。

⑵三个试验的概率是怎样求得的? 师:简单的说所求概率就是它们的面积之比、体积之比和长度之比,具体的说,就是把基本 事件空间理解为一个区域,不妨记为Ω ,而事件 A 可以理解为它的一个子区域,而所求的概 率就是用子区域 A 的几何度量(长度、面积、体积)比上区域Ω 的几何度量。 ⑶我们把满足上述条件的试验称为几何概型,参照上述三个试验请给出几何概型的定义。 2、几何概型的定义 事件 A 理解为区域 ? 的某一子区域 A,A 的概率只与子区域 A 的几何度量(长度、面积或体 积)成正比,而与 A 的位置和形状无关。满足以上条件的试验称为几何概型。 在几何概型中,事件A的概率定义为

P ( A) ?

?A ??

其中 ? ?表示区域 ? 的几何度量, ? A 表示 区域 A 的几何度。 3、古典概型和几何概型的比较 古典概型 几何概型

所有基本事件的个数 每个基本事件发生的可

有限个

无限个

等可能 能性 概率的计算公式 4、怎样求几何概型的概率
P ( A) ? m n

等可能

P ( A) ?

?A ??

对于复杂的实际问题,解题的关键是要建立模型,找出随机事件与所有基本事件相对应的几 何区域,把问题转化为几何概率问题,利用几何概率公式求解. ⑴ 利用几何概型的定义判断该问题能否转化为几何概型求解; ⑵ 把基本事件空间转化为与之对应的区域Ω ; ⑶ 把随机事件 A 转化为与之对应的区域 A; ⑷ 利用几何概型概率公式计算。 三、几何概型的应用 练一练

⑴在面积为 S 的△ABC 边 AB 上任取一点 P,求△PBC 的面积大于

的概率。

S 3

⑵在高产小麦种子 100ml 中混入了一粒带锈病的种子,从中随机取出 3ml,求含有麦锈病种 子的概率是多少? ⑶取一个边长为 2a 的正方形及其内切圆(如图) ,随机向正方形内丢一粒豆子,求豆子落入 圆内的概率。

答案:

2 3

3 100

?
4

试试看 ⑴一海豚在水池中自由游弋,水池长为 30m,宽 20m 的长方形,求此刻海豚嘴尖离岸边不超 过 2m 的概率.

30米
解:事件 A=“海豚嘴尖离岸边不超过 2m

? ? ? 30 ? 20 ? 600 m ?A ??

2

20米
2

? A ? 30 ? 20 ? 26 ? 16 ? 184 m
P ( A) ? ? 184 600 ? 23 75

⑵面上画了一些彼此相距 2a 的平行线,把一枚半径 r<a 的硬币任意掷在这平面上,求硬币 不与任何一条平行线相碰的概率。

2a



a-r

分析: 首先可以判定此试验为几何概型, 我们为了描述每一次随机试验的结果只需要确定硬 币中心 O 的位置即可, 一旦中心位置确定, 只要当中心 O 到其最近平行线的距离大于其半径 时,就满足事件 A,由此不难想到由中心 O 向靠的的最近的平行线引垂线,垂足为 M,显然线 段 OM 长度是介于 0 到 a 之间的一个实数,接下来我们做一条长度为 a 的线段,因此这个实 数在此线段上就对应着一个点, 从而我们每做一次随机试验就可以理解为在此线段上取一个 点,所以这条线段就可以理解为区域Ω ,其长度为 a。接下来我们再来看事件 A 所理解的区 域,首先看一种临界状态,就是当硬币与平行线相切时,此时中心 O 到最近平行线的距离 r,显然只有当中心 O 到最近平行线的距离大于 r 时满足事件 A,所以事件 A 理解的区域其长 度应为 a-r,所以 P ( A ) ? 四、小结 学生自主小结 老师总结 今天我们通过观察分析发生在我们生活中的三个试验,得到了它们共同的本质的东西, 定义了几何概型, ,通过几何模型的建立,从而实现了无限和无限的对接,进而归纳出几何 概型的概率公式, 以此我们可以解决生活中的这类具体问题。 由此我们可以发现我们的数学 本身来源于生活,而又服务于生活,我们的生活是多姿多彩的,我们的数学也同样的多姿多 彩的, 让我们在今后的生活中学会观察和分析, 从我们的生活中去发现和提炼更多的真善美 的东西。 五、作业 1 、分别举出一个生活中的古典概型和几何概型的例子 2 、 P115 1、2
( r , a ]的长度 [ 0 , a ]的长度 ? a?r a









本节课让学生对几个试验亲历感受基本事件的个数为不可数的情形下, 从而 引起思维的困惑,进而引导学生利用数形结合的思想,通过建立等量替代关系, 实现无限和无限之间的对应转化,从而解决了无限性无法计算的问题,让学生理 解这样的对应是内在的,逻辑的,因此建立的度量公式是合理的,这是本节课的 难点,也是学生容易引起误会的地方。 本节课在教学方法上通过让学生亲历实验、观察蕴含在生活当中的几个问 题, 从中体会几何概型特点及其概率计算公式的几何意义, 让学生在动手操作中, 经历概念数学化的过程, 让学生在感性活动基础上,浓墨重彩的勾画概念的建构 过程,激发思维的困惑、迷茫直至清晰、透彻,从而让学生的思维从感性上升到 理性。 本节课以问题为载体, 通过设计活动,让学生参与并让学生成为探索问题的 主体。让学生在讨论中明知,在争论中解惑,在思考中提升。例如,在对教材例 题建模时,着重让学生讨论思考实际问题的模型是一维、二维还是三维。结果因 过程而精彩, 现象因方法而生动, 在运用公式时, 不仅停留在代入数字的层面上, 重点是寻找实际问题中的数学模型,即寻找公式适用的条件是否满足,着力点在 公式前。在这个过程中学生的主体地位得到体现,学生的资源得以充分开发,数 学素养在原有的基础上得以提高和发展。


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