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三角函数计算复习


1. (2016?湖北校级模拟)设 sin10°+cos10°<mcos(﹣215°) ,则 m 的取值范围为(



A.m>1 B. C.m<﹣1 D. 2. (2016?新余校级一模)在△ABC 中,若三个内角 A,B,C 成等差数列且 A<B<C,则 cosAcosC 的取 值范围是( ) A. B. C. (﹣ , ) D. (

﹣ , ) ,则 cosβ 的值为( )

3. (2016?大连校级模拟)已知 α,β 为锐角,且 cos(α+β)= ,sinα= A. B. C. D. )= ,则 cos(2a﹣ )的值是(

4. (2016?汕头模拟)已知 sin(a+ A. B. C.﹣ D.﹣



5. (2011?沈河区校级四模)代数式 A.2 B. C .1 D. ,且 α∈[ D. 或

的值为(



6.若 sin2α= A. B.

,sin(β﹣α)= C. 或

,π],β∈[π,

],则 α+β 的值是(



7. (2015?河南一模)已知 sin( A. B. C. D.

)= ,那么 sin2x 的值为(



8. (2016 春?太原若 α∈(0, A.﹣ B.﹣

) ,β∈(0,π)且 tan(a﹣β)= ,tanβ=﹣ ,则 2α﹣β( π D.﹣



C.﹣

9. (2015?吉林校级模拟)已知 α,β∈( A. B.﹣ C.﹣

,2π) ,满足 tan(α+β)﹣2tanβ=0,则 tanα 的最小值是( D. +x)= ,则 sin2x 的值为( )



10. (2015 春?陕西校级期末)已知 cos( A.﹣ B.﹣ C. D.

11. (2009?大连二模) 已知函数 若|α﹣β|的最小值为 A.2 B.1 C. ,则正数 ω 的值为( D. )

, x∈R, 又



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12. (2014?崇明县一模)对于函数 A. 内是递增的 B.f(x)的图象关于原点对称 D.f(x)的最大值为 1 ) ,且 α∈(

,下列选项中正确的是

C.f(x)的最小正周期为 2π

13. (2016?福州模拟)若 2cos2α=sin(α﹣ A.﹣ B.﹣ C .1 D.

,π) ,则 cos2α 的值为(



14. (2014?河南一模)已知 sinα﹣sinβ= A. B. C. D.

,cosα﹣cosβ=

,则 cos

2

等于(



15. (2014?杭州二模)在△ABC 中,若 3cos A.﹣ B.﹣ C.﹣ D.﹣2

2

+5cos

2

=4,则 tanC 的最大值为(



16.若 0<y<x< A. B.

,且 tan2x=3tan(x﹣y) ,则 x+y 的可能取值是( C. D.



17.已知 α,β 是锐角,sinα=x,cosβ=y,cos(α+β)=﹣ ,则 y 与 x 的函数关系式为( A.﹣ C. + x ( <x<1) B. D. 的值等于( )



18. (2012 春?陕西校级期中)若 2sinx=1+cosx,则 A. B. 或不存在 C .2 D.2 或

19.已知 θ 是三角形中的一个最小内角,且 取值范围是( ) A.a<﹣1 B.a>﹣1 C.a≤﹣3 D.a≥﹣3 20. (2013 春?宜城市校级期中)在△ABC 中,C>90°,则 tanA?tanB 与 1 的关系为( A.tanA+tanB>1 B.tanA?tanB<1 C.tanA?tanB=1 D.不能确定 21. (2015 春?河南校级期中)函数 f(x)= (1)若 x 属于[ , sin2x﹣ ﹣

,则 a 的



],求 f(x)的最值及对应的 x 值;
2

(2)若不等式[f(x)﹣m] <1 在 x

上恒成立,求实数 m 的取值范围.

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2016 年 08 月 05 日 ra655599 的高中数学组卷
参考答案与试题解析

一.选择题(共 20 小题) 1. (2016?湖北校级模拟)设 sin10°+cos10°<mcos(﹣215°) ,则 m 的取值范围为(



A.m>1 B. C.m<﹣1 D. 【考点】两角和与差的余弦函数. 【专题】计算题;转化思想;定义法;三角函数的图像与性质. 【分析】由条件利用诱导公式、两角和差的正弦公式求得 sin(45°+10°)<﹣mcos35°,即 ﹣mcos35°,从而求得 m 的范围. 【解答】解:∵sin10°+cos10°<mcos(﹣215°)=﹣mcos(180+45°)=﹣mcos35°, 即 sin(45°+10°)<﹣mcos35°,即 cos35°<﹣mcos35°,m<﹣ , 故选:D. 【点评】本题主要考查诱导公式、两角和差的正弦公式的应用,属于基础题.
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cos35°<

2. (2016?新余校级一模)在△ABC 中,若三个内角 A,B,C 成等差数列且 A<B<C,则 cosAcosC 的取 值范围是( ) A. B. C. (﹣ , ) D. (﹣ , )
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【考点】两角和与差的余弦函数;等差数列的通项公式. 【专题】三角函数的求值. 【分析】由三角形的知识易得 B= ,C=

﹣A,A∈(0,

) ,进而可得 cosAcosC= sin(2A﹣



﹣ ,由角的范围和三角函数的知识可得. 【解答】解:∵在△ABC 中,若三个内角 A,B,C 成等差数列且 A<B<C, ∴A+B+C=π,2B=A+C,解得 B= ∴cosAcosC=cosAcos( = cos A+
2

,C=

﹣A,A∈(0, cosA+ )﹣ sinA)

) ,

﹣A)=cosA(

sinAcosA= sin(2A﹣ ) ,∴2A )∈( ∈(﹣ ,1) ,

∵A∈(0, ∴sin(2A﹣ ∴ sin(2A﹣



) ,

)﹣ ∈(﹣ , )

故选:C 【点评】本题考查三角函数的取值范围,涉及等差数列和三角形的知识,属基础题.

3. (2016?大连校级模拟)已知 α,β 为锐角,且 cos(α+β)= ,sinα=
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,则 cosβ 的值为(



A.

B.

C.

D.
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【考点】两角和与差的余弦函数;同角三角函数基本关系的运用. 【专题】计算题;转化思想;综合法;三角函数的求值. 【分析】根据题意,由 cos(α+β)与 sinα 的值,结合同角三角函数基本关系式计算可得 sin(α+β)与 cosα 的值,进而利用 β=[(α+β)﹣α]可得 cosβ=cos[(α+β)﹣α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα,代入数据 计算可得答案. 【解答】解:根据题意,α,β 为锐角,若 sinα= 若 cos(α+β)= ,则(α+β)也为锐角, 则 sin(α+β)= , 则 cosβ=cos[(α+β)﹣α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα= × + × = , ,则 cosα= ,

故选:A. 【点评】本题考查余弦的和差公式,涉及同角三角函数基本关系式的运用,解题的关键要将 β 看成[(α+β) ﹣α]. 4. (2016?汕头模拟)已知 sin(a+ A. B. C.﹣ D.﹣
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)= ,则 cos(2a﹣

)的值是(



【考点】运用诱导公式化简求值. 【专题】计算题. 【分析】把已知条件根据诱导公式化简,然后把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化简后代入即可求 出值. 【解答】解:sin(a+ 则 cos(2α﹣ )=2 )=sin[ ﹣( ﹣α)]=cos( ﹣1=2× ﹣α)=cos(α﹣ )= ,

﹣1=﹣

故选 D 【点评】考查学生灵活运用诱导公式及二倍角的余弦函数公式化简求值.

5. (2011?沈河区校级四模)代数式 A.2 B. C .1 D.

的值为(



【考点】运用诱导公式化简求值;同角三角函数间的基本关系. 【专题】计算题. 0 0 0 【分析】将 10 拆成 30 ﹣20 .利用差角的余弦求解即可. 【解答】解: 故选 B
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=



【点评】本题主要考查两角差的余弦公式的运用,正确记住公式是关键,属于基础题.

6. (2016?重庆三模)若 sin2α= ( A. ) B. C. 或

,sin(β﹣α)=

,且 α∈[

,π],β∈[π,

],则 α+β 的值是

D.


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【考点】两角和与差的正弦函数;二倍角的正弦. 【专题】三角函数的求值. 【分析】依题意,可求得 α∈[ , ],2α∈[

,π],进一步可知 β﹣α∈[

,π],于是可求得 cos

(β﹣α)与 cos2α 的值,再利用两角和的余弦及余弦函数的单调性即可求得答案. 【解答】解:∵α∈[ ∴2α∈[ 又 sin2α= ∴2α∈[ ,2π], >0, ,π],cos2α=﹣ ,β﹣α∈[ ,π], =﹣ , × (﹣ ) ﹣ × = . =﹣ ; ,π],β∈[π, ],

又 sin(β﹣α)= ∴cos(β﹣α)=﹣

∴cos (α+β) =cos[2α+ (β﹣α) ]=cos2αcos (β﹣α) ﹣sin2αsin (β﹣α) =﹣ 又 α∈[ , ],β∈[π, ,2π], ],

∴(α+β)∈[ ∴α+β= ,

故选:A. 【点评】本题考查同角三角函数间的关系式的应用,着重考查两角和的余弦与二倍角的正弦,考查转化思 想与综合运算能力,属于难题.

7. (2015?河南一模)已知 sin( A. B. C. D.

)= ,那么 sin2x 的值为(



【考点】两角和与差的正弦函数;二倍角的正弦. 【专题】三角函数的求值.

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【分析】利用诱导公式把要求的式子化为 cos(2x﹣

) ,再利用二倍角公式求得它的值.

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【解答】解:∵已知 sin(

)= ,∴sin2x=cos(2x﹣

)=1﹣2

=1﹣2×

=



故选 B. 【点评】本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用,属于中档题.

8. (2016 春?太原校级月考)若 α∈(0, A.﹣ B.﹣ C.﹣
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) ,β∈(0,π)且 tan(a﹣β)= ,tanβ=﹣ ,则 2α﹣β( D.﹣



π

【考点】两角和与差的正切函数. 【专题】三角函数的求值.

【分析】首先,求解 tanα= ,然后,根据 2α﹣β=(α﹣β)+α,求解 tan(2α﹣β)=tan[(α﹣β)+α]=1, 最后,结合 2α﹣β∈(﹣π,0) ,从而确定 2α﹣β 的值.

【解答】解:∵tanα=tan[(α﹣β)+β]=

=

= ,

∴tanα= .

∵tan(2α﹣β)=tan[(α﹣β)+α]=

=

=1.

∵α∈(0,

) ,β∈(0,π)

∵tanβ=﹣ <0, ∴β∈( ,π)

∴2α﹣β∈(﹣π,0) , ∴2α﹣β=﹣ .

故选:D. 【点评】本题重点考查了两角和与差的正切公式,掌握公式的运用是解题的关键,属于中档题.

9. (2015?吉林校级模拟)已知 α,β∈( A. B.﹣ C.﹣
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,2π) ,满足 tan(α+β)﹣2tanβ=0,则 tanα 的最小值是( D.



【考点】两角和与差的正切函数. 【专题】三角函数的求值. 【分析】利用两角和的正切将 tan(α+β)=4tanβ 转化,整理为关于 tanβ 的一元二次方程,利用题意,结合 韦达定理即可求得答案 【解答】解:∵tan(α+β)﹣2tanβ=0,
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∴tan(α+β)=2tanβ, ∴
2

=2tanβ,

∴2tanαtan β﹣tanβ+tanα=0,① ∴α,β∈( ,2π) ,

∴方程①有两负根,tanα<0, 2 ∴△=1﹣8tan α≥0, ∴tan α≤ , ∴tanα≥﹣ ∴tanα 的最小值是﹣ ,
2

故选:B. 【点评】本题考查两角和与差的正切函数,考查一元二次方程中韦达定理的应用,考查转化思想与方程思 想,属于中档题

10. (2015 春?陕西校级期末)已知 cos( A.﹣ B.﹣ C. D.

+x)= ,则 sin2x 的值为(



【考点】二倍角的正弦;诱导公式的作用. 【专题】三角函数的求值. 【分析】由 cos( 的值. 【解答】解:由已知 cos( 即﹣sin2x=﹣ ,∴sin2x=

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+x)= 利用二倍角公式可得 cos(

+2x)=﹣

,即﹣sin2x=﹣

,由此可得 sin2x

+x)= 可得 cos( ,

+2x)=2

﹣1=2×

﹣1=﹣



故选 D. 【点评】本题主要考查二倍角公式、诱导公式的应用,属于中档题.

11. (2009?大连二模) 已知函数 若|α﹣β|的最小值为 A.2 B.1 C. ,则正数 ω 的值为( D.
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, x∈R, 又 )



【考点】二倍角的正弦;两角和与差的余弦函数;二倍角的余弦. 【专题】计算题.

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【分析】先利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简整理,进而 f(α) ,f(β)求得 2ωα﹣ 2ωβ﹣ ,进而二者相减求得 2ωα﹣2ωβ 的表达式,进而根据|α﹣β|的最小值为



代入,根据 ω 为

正整数,则可取 k1=k2=1,求得答案. 【解答】解: = ﹣ cos2ωx+ =cos(2ωx﹣ f(α)=﹣ ∴cos(2ωα﹣ ∴2ωα﹣ ∵f(β)= ∴cos(2ωβ﹣ ∴2ωβ﹣ )=0; ; ; ; )=﹣1; sin2ωx )+

=(2k1+1)π;

=k2π+

∴2ωα﹣2ωβ=(2k1﹣k2)π+ ∴2ω?|α﹣β|=(2k1﹣k2) π+ ∵|α﹣β|≥ ∴2ω≤ ,则 [(2k1﹣k2)π+

]= [4(2k1﹣k2)+2]

ω≤ [2(2k1﹣k2)+1] 取 k1=k2=1, 则可知 ω= 故选 D. 【点评】本题主要考查了两角和公式和二倍角公式的化简求值.考查了学生综合分析问题和基本的运算能 力.

12. (2014?崇明县一模) 对于函数 A. 内是递增的 B.f(x)的图象关于原点对称 D.f(x)的最大值为 1
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, 下列选项中正确的是 (



C.f(x)的最小正周期为 2π

【考点】二倍角的余弦;两角和与差的正弦函数;二倍角的正弦;三角函数的周期性及其求法;正弦函数 的单调性;正弦函数的对称性. 【专题】三角函数的图像与性质. 【分析】函数 f(x)解析式前两项利用二倍角的余弦函数公式化简,整理后得到一个角的正弦函数,利用 正弦函数的单调性,对称性,周期性,以及值域,即可做出判断.
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【解答】解:函数 f(x)= [1+cos(2x﹣ = ( cos2x+ sin2x﹣ cos2x+ sin2x)

)+1﹣cos(2x+

)]﹣1

= sin2x, 令﹣ +2kπ≤2x≤ +2kπ,k∈Z,得到﹣ +kπ, +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z,

∴f(x)的递增区间为[﹣ 当 x∈( ,

+kπ],k∈Z,

)时,2x∈(

,π ) ,此时函数为减函数,选项 A 错误;

当 x=0 时,f(x)=0,且正弦函数关于原点对称,选项 B 正确; ∵ω=2,∴最小正周期 T= ∵﹣1≤sin2x≤1, ∴f(x)= sin2x 的最大值为 ,选项 D 错误, 故选:B. 【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式,两角和与差的正弦函数公式,三角函数的周期性及其求法, 正弦函数的单调性,以及正弦函数的对称性,熟练掌握公式是解本题的关键. =π,选项 C 错误;

13. (2016?福州模拟)若 2cos2α=sin(α﹣ A.﹣ B.﹣ C .1 D.

) ,且 α∈(

,π) ,则 cos2α 的值为(



【考点】二倍角的余弦;三角函数的化简求值. 【专题】计算题;方程思想;综合法;三角函数的求值.
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【分析】法一、由已知推导出 cosα+sinα= 用二倍角的余弦求得 cos2α 的值.

,cosα﹣sinα=﹣

,解得 cosα=

,由此利

法二、利用诱导公式及倍角公式把已知变形,求出 cos( 围,进一步求得 sin( 【解答】解:法一、 ∵α∈( ,π) ,∴sinα>0,cosα<0, ) ,
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α)=﹣ ,由 α 得范围求出

的范

α) ,再由倍角公式得答案.

∵2cos2α=sin(α﹣

∴2(cos α﹣sin α)= ∴cosα+sinα= ,①

2

2

(sinα﹣cosα) ,

∴1+2sinαcosα= ,则 2sinαcosα=﹣ , (cosα﹣sinα) =1﹣2sinαcosα=1+ ∴cosα﹣sinα= ,② , ) ﹣1=
2 2



联立①②,解得 cosα= ∴cos2α=2cos α﹣1=2( 法二、 由 2cos2α=sin(α﹣ 得 2sin( 则 4sin( ∴cos( ∵α∈( ∴ 则 sin( 则 cos2α=sin( ) ,
2



)=sin(α﹣ )cos( α)=﹣ , ,π) , ∈( )=﹣ )=2sin(

) , α)=sin(α﹣ ) ,

) , , )cos( α)=2× .

故选:D. 【点评】本题考查三角函数值的求法,注意同角三角函数关系式、二倍角公式的合理运用,是中档题.
2

14. (2014?河南一模)已知 sinα﹣sinβ= A. B. C.
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,cosα﹣cosβ=

,则 cos

等于(



D.

【考点】二倍角的余弦. 【专题】三角函数的求值. 【分析】将已知中的两等式分别平方后相加,可求得 cos(α﹣β)= ,利用二倍角的余弦即可求得 cos
2

的值.

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【解答】解:∵(sinα﹣sinβ) = , (cosα﹣cosβ) = , 两式相加得:2﹣2sinαsinβ﹣2cosαcosβ=1, ∴cos(α﹣β)= , ∴cos
2

2

2

=

= .

故选:A. 【点评】本题考查三角函数间的平方关系式的应用,逆用两角差的余弦,突出考查二倍角的余弦,属于中 档题.
2 2

15. (2014?杭州二模)在△ABC 中,若 3cos A.﹣ B.﹣ C.﹣ D.﹣2

+5cos

=4,则 tanC 的最大值为(



【考点】二倍角的余弦;两角和与差的余弦函数. 【专题】解三角形.

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【分析】 在△ABC 中, 化简条件可得 3cos (A﹣B) +5cosC=0, tanAtanB= , 再利用基本不等式求得 tanA+tanB 的最小值.求得﹣tanC=tan(A+B)的最小值,可得 tanC 的最大值. 【解答】解:在△ABC 中,∵3cos
2

+5cos

2

=4,即 3×

+5×

=4,

化简可得 3cos(A﹣B)+5cosC=0, ∴(3cosAcosB+3sinAsinB)﹣(5cosAcosB﹣5sinAsinB)=0, ∴﹣2cosAcosB+8sinAsinB=0, ∴4sinAsinB=cosAcosB, ∴tanAtanB= . 很明显,tanA、tanB 同号,又 tanA、tanB 最多有一者小于 0, ∴tanA、tanB 均为正数, ∴tanA+tanB≥2 =1, 又 tanC=﹣tan(A+B) , ∴﹣tanC=tan(A+B)= ≥ = ,

∴tanC≤﹣ , ∴tanC 的最大值为﹣ , 故选:B. 【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换、同角三角函数的基本关系、两角和差的三角函数,基本不等 式的应用,属于中档题.

16. (2013 秋?遂川县校级月考)若 0<y<x<

,且 tan2x=3tan(x﹣y) ,则 x+y 的可能取值是(



第 11 页(共 23 页)

A.

B.

C.

D.
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【考点】二倍角的正切;两角和与差的正弦函数;两角和与差的正切函数. 【专题】三角函数的求值. 【分析】由两角和的正切公式变形已知可得 tan(x+y)=

,由基本不等式可得

其取值范围,结合选项可得答案. 【解答】解:∵tan2x=3tan(x﹣y) , ∴tan[(x+y)+(x﹣y)]=3tan(x﹣y) , 由两角和的正切公式可得 =3tan(x﹣y) ,
2

变形可得 tan(x+y)+tan(x﹣y)=3tan(x﹣y)﹣3tan (x﹣y)tan(x+y) , 2 即[1+3tan (x﹣y)]tan(x+y)=2tan(x﹣y) , ∴tan(x+y)= = ,

∵0<y<x< ∴0<x﹣y<

, ,

∴tan(x﹣y)>0, ∴由基本不等式可得 tan(x+y)= ≤ =

当且仅当 tan(x﹣y)=

时取等号, ,或 <x+y<π,

结合 0<x+y<π 可得 x+y≤

四个选项只有 A 符合, 故选:A 【点评】本题考查两角和与差的正切公式,以及基本不等式的应用,属中档题.

17. (2004?黄冈校级模拟)已知 α,β 是锐角,sinα=x,cosβ=y,cos(α+β)=﹣ ,则 y 与 x 的函数关系 式为( A.﹣ C. ) + x ( <x<1) B. D.
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【考点】角的变换、收缩变换;同角三角函数间的基本关系. 【专题】计算题. 【分析】先根据同角三角函数之间的关系求出 cosα 以及 sin(α+β) ,再利用两角差的余弦公式即可得到答 案.

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【解答】解:∵知 α,β 是锐角,sinα=x,cosβ=y,cos(α+β)=﹣ , ∴﹣sinα=cos(α+90°)<cos(α+β)=﹣ ? x> ; ∴cosα= sin(α+β)= = ; = .

∴cosβ=cos[(α+β)﹣α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα =﹣ + x ( <x<1)

故选:A. 【点评】本题主要考查同角三角函数间的基本关系以及角的变换.本题的易错点在于没有找对自变量的取 值范围,从而误选答案.

18. (2012 春?陕西校级期中)若 2sinx=1+cosx,则 A. B. 或不存在 C .2
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的值等于(



D.2 或

【考点】半角的三角函数. 【专题】计算题;三角函数的求值. 【分析】将 x 看成 的二倍,利用倍角公式将已知等式的两边展开,化简整理得 cos =0 或 2sin =cos , 再结合同角三角函数的基本关系,即可算出 【解答】解:∵2sinx=1+cosx, ∴2×2sin cos =1+(2cos 即 4sin cos =2cos
2 2

的值.

﹣1) ,

,可得 cos (2sin ﹣cos )=0

因此,cos =0 或 2sin =cos



=

,∴

= 或

不存在

故选:B 【点评】本题给出关于 x 的三角函数方程,求 的基本关系等知识,属于基础题. 的值,着重考查了二倍角的三角公式和同角三角函数

19.已知 θ 是三角形中的一个最小内角,且 取值范围是( ) A.a<﹣1 B.a>﹣1

,则 a 的

C.a≤﹣3

D.a≥﹣3
第 13 页(共 23 页)

【考点】半角的三角函数. 【专题】计算题.

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【分析】 利用二倍角公式对题设等式化简整理得 推断 θ 的范围,求得 cosθ 的范围,从而求得 【解答】解:∵ ∴ ,

, 进而根据 θ 是三角形中的一个最小的内角, 的范围,解不等式求得 a 的取值范围. ,

又∵θ 是三角形中的一个最小的内角, ∴0°<θ≤60°,∴ ≤cosθ<1,即 ≤ <1,

∴a 的取值范围为 a≤﹣3. 故选 C 【点评】本题主要考查了二倍角公式的化简求值.三角函数基础公式较多,且复杂,平时应注意多积累. 20. (2013 春?宜城市校级期中)在△ABC 中,C>90°,则 tanA?tanB 与 1 的关系为( ) A.tanA+tanB>1 B.tanA?tanB<1 C.tanA?tanB=1 D.不能确定 【考点】弦切互化. 【专题】计算题. 【分析】直接利用钝角三角形的性质,确定 sinA<cosB,利用切化弦化简 tanAtanB,即可得到选项.
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【解答】解:因为三角形是钝三角形,所以 A+B< 同理 sinB<cosA, tanAtanB= <1

;即:

,所以 sinA<cosB,

故选 B 【点评】本题是基础题,考查锐角三角形的性质,切化弦的应用,考查计算能力,常考题型. 二.解答题(共 1 小题) 21. (2015 春?河南校级期中)函数 f(x)= (1)若 x 属于[ , sin2x﹣ ﹣

],求 f(x)的最值及对应的 x 值;
2

(2)若不等式[f(x)﹣m] <1 在 x 【考点】二倍角的正弦;二倍角的余弦. 【专题】综合题;三角函数的图像与性质.
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上恒成立,求实数 m 的取值范围.

【分析】 (1)利用辅助角公式化简,结合 x 属于[



],利用正弦函数的性质,即可求 f(x)的最值

及对应的 x 值; 2 (2)[f(x)﹣m] <1 等价于 m﹣1<f(x)<m+1,利用(1)的结论建立不等式组,即可求实数 m 的取 值范围.

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【解答】解: (1)f(x)= ∵x 属于[ ∴2x﹣ = , ],∴2x﹣ ,即 x=
2

sin2x﹣ ∈[ ,

﹣ =sin(2x﹣ ], =

)﹣1,

时,函数取得最小值﹣ ;2x﹣

,即 x=

时,函数取得最大值 0;

(2)[f(x)﹣m] <1 等价于 m﹣1<f(x)<m+1, ∵不等式[f(x)﹣m] <1 在 x
2

上恒成立,





∴﹣1<m< . 【点评】本题考查辅助角公式的运用,考查三角函数的最值,考查恒成立问题,正确求出函数的最值是关 键.

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考点卡片
1.等差数列的通项公式 【知识点的认识】 等差数列是常见数列的一种,数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,已知等差 数列的首项 a1,公差 d,那么第 n 项为 an=a1+(n﹣1)d,或者已知第 m 项为 am,则第 n 项为 an=am+(n ﹣m)d. 【例题解析】 eg1:已知数列{an}的前 n 项和为 Sn=n +1,求数列{an}的通项公式,并判断{an}是不是等差数列 2 解:当 n=1 时,a1=S1=1 +1=2, 2 2 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=n +1﹣(n﹣1) ﹣1=2n﹣1, ∴an= ,
2

把 n=1 代入 2n﹣1 可得 1≠2, ∴{an}不是等差数列 考察了对概念的理解,除掉第一项这个数列是等差数列,但如果把首项放进去的话就不是等差数列, 题中 an 的求法是数列当中常用到的方式,大家可以熟记一下. eg2:已知等差数列{an}的前三项分别为 a﹣1,2a+1,a+7 则这个数列的通项公式为 解:∵等差数列{an}的前三项分别为 a﹣1,2a+1,a+7, ∴2(2a+1)=a﹣1+a+7, 解得 a=2. ∴a1=2﹣1=1,a2=2×2+1=5,a3=2+7=9, ∴数列 an 是以 1 为首项,4 为周期的等差数列, ∴an=1+(n﹣1)×4=4n﹣3. 故答案:4n﹣3. 这个题很好的考察了的呢公差数列的一个重要性质,即等差中项的特点,通过这个性质然后解方程一 样求出首项和公差即可. 【考点点评】 求等差数列的通项公式是一种很常见的题型,这里面往往用的最多的就是等差中项的性质,这也是学 习或者复习时应重点掌握的知识点. 2.同角三角函数间的基本关系 【知识点的认识】 1.同角三角函数的基本关系 2 2 (1)平方关系:sin α+cos α=1. (2)商数关系: =tanα.

2.诱导公式 公式一:sin(α+2kπ)=sinα,cos(α+2kπ)=cos_α,其中 k∈Z. 公式二:sin(π+α)=﹣sin_α,cos(π+α)=﹣cos_α,tan(π+α)=tanα. 公式三:sin(﹣α)=﹣sin_α,cos(﹣α)=cos_α. 公式四:sin(π﹣α)=sinα,cos(π﹣α)=﹣cos_α.
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公式五:sin( 公式六:sin(

﹣α)=cosα,cos( +α)=cosα,cos(

﹣α)=sinα. +α)=﹣sinα

3.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)C(α﹣β) :cos (α﹣β)=cosαcosβ+sinαsinβ; (2)C(α+β) :cos(α+β)=cosαcosβ﹣sinαsinβ; (3)S(α+β) :sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ; (4)S(α﹣β) :sin(α﹣β)=sinαcosβ﹣cosαsinβ; (5)T(α+β) :tan(α+β)= (6)T(α﹣β) :tan(α﹣β)= 4.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S2α:sin 2α=2sin_αcos_α; 2 2 2 2 (2)C2α:cos 2α=cos α﹣sin α=2cos α﹣1=1﹣2sin α; (3)T2α:tan 2α= . . .

【解题方法点拨】 诱导公式记忆口诀: 对于角“ ±α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变,符号看象限”,“奇变偶不变”是指“当 k

为奇数时,正弦变余弦,余弦变正弦;当 k 为偶数时,函数名不变”.“符号看象限”是指“在 α 的三角函数 值前面加上当 α 为锐角时,原函数值的符号”. 3.同角三角函数基本关系的运用 【知识点的知识】 同角三角函数基本关系式及变形公式的应用 2 2 (1)利用 sin α+cos α=1 可以实现角 α 的正弦、余弦的互化,利用=tanα 可以实现角 α 的弦切互化. (2)应用公式时注意方程思想的应用:对于 sinα+cosα,sinαcosα,sinα﹣cosα 这三个式子,利用(sinα± 2 cosα) =1±2sinαcosα,可以知一求二. 2 2 2 2 2 2 (3)注意公式逆用及变形应用:1=sin α+cos α,sin α=1﹣cos α,cos α=1﹣sin α. (4)关于 sinα,cosα 的齐次式,往往转化为关于 tanα 的式子求解. 4.三角函数的化简求值 【知识点的知识】 三角函数式的化简要遵循“三看”原则 (1)一看“角”,这是最重要的一环,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆分,从而正确使用公 式. (2)二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式,常见的有“切化弦”; (3)三看“结构特征”,分析结构特征,可以帮助我们找到变形的方向,常见的有“遇到分式要通分”等. 5.弦切互化
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【知识点的知识】 主要运用公式 tanα= 进行正余弦与正余切之间的互相转化.

6.诱导公式的作用 【知识点的知识】 1、公式: 公式一:sin(α+2kπ)=sinα,cos(α+2kπ)=cos_α,其中 k∈Z. 公式二:sin(π+α)=﹣sin_α,cos(π+α)=﹣cos_α,tan(π+α)=tanα. 公式三:sin(﹣α)=﹣sin_α,cos(﹣α)=cos_α. 公式四:sin(π﹣α)=sinα,cos(π﹣α)=﹣cos_α. 公式五:sin=cos_α,cos=sinα. 公式六:sin=cos_α,cos=﹣sin_α 2、诱导公式的记忆口诀为:奇变偶不变,符号看象限. 3、在求值与化简时,常用方法有: (1)弦切互化法:主要利用公式 tanα=
2

化成正、余弦.

(2)和积转换法:利用(sinθ±cosθ) =1±2sinθcosθ 的关系进行变形、转化. 2 2 2 2 (3)巧用“1”的变换:1=sin θ+c os θ=cos θ(1+tan θ)=tan=…. 4、注意: (1)利用诱导公式进行化简求值时,先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数,其步骤:去负→ 脱周→化锐.特别注意函数名称和符号的确定. (2)在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断符号. (3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化. 7.运用诱导公式化简求值 【知识点的认识】 利用诱导公式化简求值的思路 1.“负化正”,运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数. 2.“大化小”,利用公式一将大于 360°的角的三角函数化为 0°到 360°的三角函数,利用公式二将大于 180° 的角的三角函数化为 0°到 180°的三角函数. 3.“小化锐”,利用公式六将大于 90°的角化为 0°到 90°的角的三角函数. 4.“锐求值”,得到 0°到 90°的三角函数后,若是特殊角直接求得,若是非特殊角可由计算器求得. 8.两角和与差的余弦函数 【知识点的认识】 (1)C(α﹣β) :cos (α﹣β)=cosαcosβ+sinαsinβ; (2)C(α+β) :cos(α+β)=cosαcosβ﹣sinαsinβ; (3)S(α+β) :sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ; (4)S(α﹣β) :sin(α﹣β)=sinαcosβ﹣cosαsinβ; (5)T(α+β) :tan(α+β)= (6)T(α﹣β) :tan(α﹣β)= . .

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9.两角和与差的正弦函数 【知识点的认识】 (1)C(α﹣β) :cos (α﹣β)=cosαcosβ+sinαsinβ; (2)C(α+β) :cos(α+β)=cosαcosβ﹣sinαsinβ; (3)S(α+β) :sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ; (4)S(α﹣β) :sin(α﹣β)=sinαcosβ﹣cosαsinβ; (5)T(α+β) :tan(α+β)= (6)T(α﹣β) :tan(α﹣β)= . .

【命题方向】 (1)第一类常考题型: (2)第二类常考题型: 【解题方法点拨】 10.两角和与差的正切函数 【知识点的认识】 (1)C(α﹣β) :cos (α﹣β)=cosαcosβ+sinαsinβ; (2)C(α+β) :cos(α+β)=cosαcosβ﹣sinαsinβ; (3)S(α+β) :sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ; (4)S(α﹣β) :sin(α﹣β)=sinαcosβ﹣cosαsinβ; (5)T(α+β) :tan(α+β)= (6)T(α﹣β) :tan(α﹣β)= . .

【命题方向】 (1)第一类常考题型: (2)第二类常考题型: 【解题方法点拨】 11.二倍角的正弦 【二倍角的正弦】 二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例,即 α=β 的一种特例,其公式为: 2 sin2α=2sinα?cosα;其可拓展为 1+sin2α=(sinα+cosα) . 【例题解析】 2 例:y=sin x+2sinxcosx 的周期是 π . 2 解:∵y=sin x+2sinxcosx = +sin2x

=sin2x﹣ cos2x+ = sin(2x+φ)+ , (tanφ=﹣ )
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∴其周期 T=

=π.

故答案为:π. 这个简单的例题的第二个式子就是一个二倍角的转换,转换过后又使用了和差化积的相关定理,这也 可以看得出三角函数的题一般都涉及到几个公式,而且公式之间具有一定的相似性,所以大家要熟记各种 公式. 【考点点评】 本考点也是一个很重要的考点,在高考中考查的也比较多,这里面需要各位同学多加练习,熟记各种 公式. 12.二倍角的余弦 【二倍角的余弦】 二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例,即 α=β 的一种特例,其公式为: cos2α=cos α﹣sin α=2cos α﹣1=1﹣2sin α. 【例题解析】 例:函数 y=2sinx﹣cos2x 的值域是 .
2 2 2 2

解:由题意可得:y=2sinx﹣cos2x=2sin x+2sinx﹣1= 又 sinx∈[﹣1,1] 当 sinx= 时,函数 f(x)取到最小值为 ,

2



当 sinx=1 时,函数 f(x)取到最大值为 3, 综上函数 f(x)的值域是 故答案为 . .

这个题的第一步就是利用余弦函数二倍角的性质把 cos2x 化成关于 sinx 的函数,最后再用换元法把三 角函数看成是一元二次函数. 【考点点评】 二倍角的余弦也是很重要的一个考点,而且这个公式的变形比较多,大家在熟记的时候也要注意区分 它们的用途,最后多与其他的相似的一些公式作比较. 13.二倍角的正切 【二倍角的正切】 二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例,即 α=β 的一种特例,其公式为: tan2α= .对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可.

【例题解析】 例:已知 cosx+3sinx= 解:∵ (

,求 tan2x. cosx+ sinx)= ,即 cosx+ sinx= ,

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∴sin(x+y)= ∴x+y=2kπ+

(cosy=

,siny=

,tany= ) ,

,k∈Z,即 x=2kπ+

﹣y,

∴tanx=tan(2kπ+

﹣y)=tan(

﹣y)=

=

= ,

则 tan2x=

=

= .

这个例题算是三角函数当中比较难的一个题了,它的解题思想主要还是先求出 tanx 的值,在套用公式 求出最后的解,而要求出 tanx 的值,需先求出 sinx 或者 cosx 的值,题干给出了一种方法,其实也可以通 过正余弦函数的平方和为 1 来求. 【考点点评】 二倍角的正切关键是要掌握二倍角的变换,比方说 α= 该说这个考点还是比较重要的. 14.角的变换、收缩变换 【知识点的知识】 1、代换法是解决数学问题的重要方法,而在三角函数中尤为突出.在三角函数中,角的恒等变(代)换 是一种常用的数学思想.角的变换,一般包括角的分解和角的组合,角的分解即把一个角分成几个角的和 或差,而角的组合即把几个角通过和或差组合成一个角. 2、三角代换中角的变换 (1)α=(α+β)﹣β;β=(α+β)﹣α; (2)2α=(α+β)+(α﹣β) ,2β=(α+β)﹣(α﹣β) ; (3)α= + ,β= ﹣ , ,然后就是要学会利用公式求值、化简.应

(4)α﹣γ=(α﹣β)+(β﹣γ) ,α=(m+1)α﹣mα. 15.半角的三角函数 【半角的三角函数】 半角的三角函数关系主要是指正切函数与正余弦函数之间的关系(正余弦的半角关系其实就是二倍角

关系) ,其公式为:①tan

=

=

=



②tan

=

=

=



【例题解析】

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例:函数 解:∵ =

的最小正周期为 π .

=sinx+tanx(1﹣cosx) =sinx+tanx﹣sinx =tanx ∴T=π 故答案为:π 这个题的解题关键就是正切函数半角的转化,所用的公式就是这里列出来的上面一种,像这个问题 的思路其实是简单的,就是化简,化成一个单独的三角函数,而且只能是把 tanx 化成正余弦函数. 【考点点评】 正切函数与正余弦函数之间的关系大家都比较了解,但半角的正切函数与正余弦关系也很重要,它 是正切函数转化为正余弦函数的一个桥梁,所以大家一定要记住,并清楚它的推导. 16.三角函数的周期性及其求法 【知识点的认识】 周期性 ①一般地,对于函数 f(x) ,如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的每一个值时,都有 f(x+T) =f(x) ,那么函数 f(x)就叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个函数的周期. ②对于一个周期函数 f(x) ,如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做 f(x) 的最小正周期. ③函数 y=Asin(ωx+φ) ,x∈R 及函数 y=Acos(ωx+φ) ;x∈R(其中 A、ω、φ 为常数,且 A≠0,ω>0) 的周期 T= .

【解题方法点拨】 1.一点提醒 求函数 y=Asin(ωx+φ)的单调区间时,应注意 ω 的符号,只有当 ω>0 时,才能把 ωx+φ 看作一个整体, 代入 y=sint 的相应单调区间求解,否则将出现错误. 2.两类点 y=sinx,x∈[0,2π],y=cosx,x∈[0,2π]的五点是:零点和极值点(最值点) . 3.求周期的三种方法 ①利用周期函数的定义.f(x+T)=f(x) ②利用公式:y=Asin(ωx+φ)和 y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为 . ③利用图象.图象重复的 x 的长度. 17.正弦函数的单调性 【知识点的知识】 三角函数的单调性的规律方法
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,y=tan(ωx+φ)的最小正周期为

1.求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时,通常要画出图象,结合图象判定. 2.求形如 y=Asin(ωx+φ)或 y=Acos(ωx+φ) (其中,ω>0)的单调区间时,要视“ωx+φ”为一个整体,通 过解不等式求解.但如果 ω<0,那么一定先借助诱导公式将 ω 化为正数,防止把单调性弄错. 18.正弦函数的对称性 【正弦函数的对称性】 正弦函数是定义域为 R 的奇函数, 既然是奇函数, 那么其图象关于原点对称, 即有 sin (﹣x) =﹣sinx. 另 外,正弦函数具有周期性,其对称轴为 x=kπ+ 【例题解析】 例:函数 y=sin2x+2sin x 的对称轴方程为 x= 解:由于函数 y=sin2x+2sin x=sin2x+1﹣cos2x= 而函数 y=sint 的对称轴为 则
2 2 2

,k∈z.

. ,

,解得

(k∈Z)

则函数 y=sin2x+2sin x 的对称轴方程为 故答案为 . 看

这个题很有代表性,一般三角函数都是先化简,化成一个单独的正弦或者余弦函数,然后把 2x﹣ 成一个整体,最后根据公式把单调性求出来即可. 【考点点评】 这个考点非常重要,也很简单,大家熟记这个公式,并能够理解运用就可以了.

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