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甘肃省武威二中2015-2016学年高二上学期期末数学试卷(理科)


2015-2016 学年甘肃省武威二中高二(上)期末数学试卷(理科)
一.选择题(每小题 5 分,共 50 分) 3 2 1.命题“对任意的 x∈R,x ﹣x +1≤0”的否定是( ) 3 2 3 2 A.不存在 x∈R,x ﹣x +1≤0 B.存在 x∈R,x ﹣x +1≤0 3 2 3 2 C.存在 x∈R,x ﹣x +1>0 D.对任意的 x∈R,x ﹣x +1>

0 2.对于常数 m、n,“mn>0”是“方程 mx +ny =1 的曲线是椭圆”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
2 2



3.双曲线

的渐近线方程是(



A.4x±3y=0 B.16x±9y=0 C.3x±4y=0 D.9x±16y=0 4.抛物线 A. 的准线方程是( B.y=2 C. )

D.y=﹣2

5.向量 =(1,2,﹣2) , =(﹣2,﹣4,4) ,则 与 ( A.相交 B.垂直 C.平行 D.以上都不对



6. 已知△ ABC 的周长为 20, 且顶点 B (0, ﹣4) , C (0, 4) , 则顶点 A 的轨迹方程是 ( A. (x≠0) B. (x≠0)



C.

(x≠0) D.

(x≠0)

7.下列命题中假命题是( ) 2 A.过抛物线 x =﹣2py 焦点的直线被抛物线截得的最短弦长为 2p B.命题“有些自然数是偶数”是特称命题 C.离心率为 的双曲线的两渐近线互相垂直 D.对于空间向量 , , ,则有( ? ) = ( ? )

8.| |=2,| |=3,< , >=60°,则|2 ﹣3 |=(



A.

B.97

C.

D.61

9.若双曲线 A.4 B.5

=1 上一点 P 到左焦点的距离是 3,则点 P 到右焦点的距离为( C.6 D.7



10.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是( A. B. C. D.



二.填空题: (每小题 5 分,共 20 分) 11.点 M 与点 F(4,0)的距离比它到直线 l:x+5=0 的距离小 1,则点 M 的轨迹方程 是 .
2

12.过椭圆

+y =1 的一个焦点 F1 的直线与椭圆交于 A、B 两点,则 A、B 与椭圆的另一 .

焦点 F2 构成的△ ABF2 的周长为
2

13.在抛物线 y =﹣4x 上求一点 P,使其到焦点 F 的距离与到 A(﹣2,1)的距离之和最小, 则该点的坐标是 . 14.如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,M、N 分别是 A1B1 和 BB1 的中点, 那么直线 AM 和 CN 所成角的余弦值为 .

三.解答题: (共 50 分.解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 2 2 15.已知 p:?x∈R,mx +1≤0,q:?x∈R,x +mx+1>0.若 p∨q 为真命题,求实数 m 的取 值范围. 16. (10 分) (2015 秋?武威校级期末)已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,且经过 点(2,0)和点(0,1) (1)求椭圆的标准方程; (2)焦点为 F1,F2,P 为椭圆上的一点,且 ? =0,求△ F1PF2 的面积.

17. (10 分) (2012 秋?定西期末)如图,棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD,PA=AD=2,BD= . (1)求证:BD⊥平面 PAC; (2)求二面角 P﹣CD﹣B 余弦值的大小.

18. (10 分) (2015 秋?武威校级期末)已知抛物线 C 的顶点在原点,焦点在 x 轴上,且抛 物线上有一点 P(4,m)到焦点的距离为 6. (Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)若抛物线 C 与直线 y=kx﹣2 相交于不同的两点 A、B,且 AB 中点横坐标为 2,求 k 的值.

19. (12 分) (2015 秋?武威校级期末)如图,直三棱柱 ABC﹣A1B1C1,底面△ ABC 中, CA=CB=1,∠BCA=90°,棱 AA1=2,M、N 分别是 A1B1,A1A 的中点; (1)求 的长; , >的值;

(2)求 cos<

(3)求证:A1B⊥C1M. (4)求 CB1 与平面 A1ABB1 所成的角的余弦值.

2015-2016 学年甘肃省武威二中高二(上)期末数学试卷 (理科)
参考答案与试题解析

一.选择题(每小题 5 分,共 50 分) 3 2 1.命题“对任意的 x∈R,x ﹣x +1≤0”的否定是( ) 3 2 3 2 A.不存在 x∈R,x ﹣x +1≤0 B.存在 x∈R,x ﹣x +1≤0 3 2 3 2 C.存在 x∈R,x ﹣x +1>0 D.对任意的 x∈R,x ﹣x +1>0 【考点】命题的否定. 【分析】根据命题“对任意的 x∈R,x ﹣x +1≤0”是全称命题,其否定是对应的特称命题,从 而得出答案. 3 2 【解答】解:∵命题“对任意的 x∈R,x ﹣x +1≤0”是全称命题 3 2 ∴否定命题为:存在 x∈R,x ﹣x +1>0 故选 C. 【点评】本题主要考查全称命题与特称命题的相互转化.要注意两点:1)全称命题变为特 称命题;2)只对结论进行否定. 2.对于常数 m、n,“mn>0”是“方程 mx +ny =1 的曲线是椭圆”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】常规题型.
2 2 2 2 3 2



【分析】先根据 mn>0 看能否得出方程 mx +ny =1 的曲线是椭圆;这里可以利用举出特值 2 2 的方法来验证,再看方程 mx +ny =1 的曲线是椭圆,根据椭圆的方程的定义,可以得出 mn >0,即可得到结论. 2 2 【解答】解:当 mn>0 时,方程 mx +ny =1 的曲线不一定是椭圆, 2 2 例如:当 m=n=1 时,方程 mx +ny =1 的曲线不是椭圆而是圆;或者是 m,n 都是负数,曲 线表示的也不是椭圆; 故前者不是后者的充分条件; 2 2 当方程 mx +ny =1 的曲线是椭圆时,应有 m,n 都大于 0,且两个量不相等,得到 mn>0; 2 2 由上可得:“mn>0”是“方程 mx +ny =1 的曲线是椭圆”的必要不充分条件. 故选 B. 【点评】本题主要考查充分必要条件,考查椭圆的方程,注意对于椭圆的方程中,系数要满 足大于 0 且不相等,本题是一个基础题.

3.双曲线

的渐近线方程是(



A.4x±3y=0 B.16x±9y=0 C.3x±4y=0 D.9x±16y=0 【考点】双曲线的简单性质. 【专题】计算题.

【分析】先根据双曲线的标准方程求出 a,b 的值,因为焦点在 x 轴上的双曲线的渐近线方 程为 y=± ,把 a,b 的值代入即可.

【解答】解:∵双曲线方程为

,∴a=3,b=4, =± x

由∵双曲线的焦点在 x 轴上,∴渐近线方程为 y=±

化简,得,4x±3y=0 故选 A 【点评】本题主要考查双曲线的渐近线方程的求法,关键是求出 a,b 的值. 4.抛物线 A. 的准线方程是( B.y=2 C. )

D.y=﹣2

【考点】抛物线的简单性质. 【专题】计算题. 【分析】先把抛物线 【解答】解:∵
2

转换为标准方程 x =﹣8y,然后再求其准线方程. ,

2

∴x =﹣8y, ∴其准线方程是 y=2. 故选 B. 【点评】本题考查抛物线的基本性质,解题时要认真审题,仔细求解.

5.向量 =(1,2,﹣2) , =(﹣2,﹣4,4) ,则 与 ( A.相交 B.垂直 C.平行 D.以上都不对 【考点】共线向量与共面向量. 【专题】空间向量及应用. 【分析】根据共线向量的定义判断即可. 【解答】解:∵向量 =(1,2,﹣2) , =(﹣2,﹣4,4)=﹣2(1,2,﹣2)=﹣2 , 则 与 平行, 故选:C. 【点评】本题考查了共线向量问题,是一道基础题.



6. 已知△ ABC 的周长为 20, 且顶点 B (0, ﹣4) , C (0, 4) , 则顶点 A 的轨迹方程是 (



A.

(x≠0) B.

(x≠0)

C.

(x≠0) D.

(x≠0)

【考点】椭圆的定义. 【专题】计算题. 【分析】根据三角形的周长和定点,得到点 A 到两个定点的距离之和等于定值,得到点 A 的轨迹是椭圆,椭圆的焦点在 y 轴上,写出椭圆的方程,去掉不合题意的点. 【解答】解:∵△ ABC 的周长为 20,顶点 B (0,﹣4) ,C (0,4) , ∴BC=8,AB+AC=20﹣8=12, ∵12>8 ∴点 A 到两个定点的距离之和等于定值, ∴点 A 的轨迹是椭圆, ∵a=6,c=4 ∴b =20, ∴椭圆的方程是 故选 B. 【点评】本题考查椭圆的定义,注意椭圆的定义中要检验两个线段的大小,看能不能构成椭 圆,本题是一个易错题,容易忽略掉不合题意的点. 7.下列命题中假命题是(
2 2



A.过抛物线 x =﹣2py 焦点的直线被抛物线截得的最短弦长为 2p B.命题“有些自然数是偶数”是特称命题 C.离心率为 的双曲线的两渐近线互相垂直 D.对于空间向量 , , ,则有( ? ) = ( ? ) 【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】探究型;简易逻辑;推理和证明. 【分析】根据抛物线的简单性质,特称命题的概念,双曲线的简单性质,数乘向量的几何意 义,分别判断四个命题的真假,可得答案. 2 【解答】解:过抛物线 x =﹣2py 焦点的直线与抛物线的对称轴垂直时,被抛物线截得的最 短,此时弦长为 2p,故 A 是真命题; 命题“有些自然数是偶数”是特称命题,故 B 是真命题; 离心率为 的双曲线方程为: ,渐近线为 y=±x,互相垂直,故 C 是真命题;

对于空间向量 , , , ( ? )? 表示与 平行的向量, ?( ? )表示与 平行的向量, 但 与 不一定平行,故 D 为假命题,

故选:D 【点评】 本题考查的知识点是命题的真假判断与应用, 抛物线的简单性质, 特称命题的概念, 双曲线的简单性质,数乘向量的几何意义,难度中档.

8.| |=2,| |=3,< , >=60°,则|2 ﹣3 |=(



A. B.97 C. D.61 【考点】数量积表示两个向量的夹角. 【专题】计算题;向量法;综合法;平面向量及应用. 【分析】进行数量积的运算可以求出 【解答】 解: 根据条件, ∴ 故选 C. 【点评】考查数量积的运算及计算公式,求 从而求 的方法. . ,从而便可得出 = 的值. =61;

9.若双曲线

=1 上一点 P 到左焦点的距离是 3,则点 P 到右焦点的距离为(



A.4 B.5 C.6 D.7 【考点】双曲线的简单性质. 【专题】计算题;规律型;函数思想;方程思想;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】利用双曲线的定义,即可求得点 P 到双曲线的右焦点的距离. 【解答】解:设点 P 到双曲线的右焦点的距离是 x, ∵双曲线 =1 上一点 P 到左焦点的距离是 3,

∴|x﹣3|=2×2, ∵x>0,∴x=7. 故选:D. 【点评】本题考查双曲线的定义,考查学生的计算能力,属于基础题. 10.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是( A. B. C. D. )

【考点】椭圆的应用;数列的应用. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】先设长轴为 2a,短轴为 2b,焦距为 2c,由题意可知:a+c=2b,由此可以导出该椭 圆的离心率. 【解答】解:设长轴为 2a,短轴为 2b,焦距为 2c, 则 2a+2c=2×2b,

即 a+c=2b?(a+c) =4b =4(a ﹣c ) ,所以 3a ﹣5c =2ac,同除 a , 整理得 5e +2e﹣3=0,∴
2

2

2

2

2

2

2

2

或 e=﹣1(舍去) ,

故选 B. 【点评】本题考查等差数列和椭圆的离心率,难度不大,只需细心运算就行. 二.填空题: (每小题 5 分,共 20 分) 11.点 M 与点 F(4,0)的距离比它到直线 l:x+5=0 的距离小 1,则点 M 的轨迹方程是 2 y =16x . 【考点】抛物线的定义;轨迹方程. 【专题】计算题;转化思想. 【分析】题意转化为点 M 与点 F(4,0)的距离与它到直线 l:x+4=0 的距离相等, 满足抛物线的定义,求解即可. 【解答】解:依题意可知:点 M 与点 F(4,0)的距离比它到直线 l:x+5=0 的距离小 1, 转化为点 M 与点 F(4,0)的距离与它到直线 l:x+4=0 的距离相等, 2 满足抛物线的定义,所以 P=8,点 M 的轨迹方程是 y =16x 2 故答案为:y =16x 【点评】本题考查抛物线的定义,轨迹方程的求法,是基础题.
2

12.过椭圆

+y =1 的一个焦点 F1 的直线与椭圆交于 A、B 两点,则 A、B 与椭圆的另一

焦点 F2 构成的△ ABF2 的周长为 4 . 【考点】椭圆的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】根据题意,此题涉及到了过焦点的三角形问题,所以考虑椭圆的定义,显然 A,B 两点到两个焦点的距离之和都等于椭圆的长轴长,则三角形 ABF2 的周长可求. 【解答】解:由椭圆 +y =1 得:a=
2

,b=1,c=



又 AB 过焦点 F1,所以由椭圆的定义得: , 所以三角形 ABF2 的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4 . 故答案为 . 【点评】本题考查了椭圆的焦点三角形问题,一般考虑用椭圆的第一定义解题. 13.在抛物线 y =﹣4x 上求一点 P,使其到焦点 F 的距离与到 A(﹣2,1)的距离之和最小, 则该点的坐标是 (﹣ ,1) .
2

【考点】抛物线的简单性质. 【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】根据抛物线方程求得抛物线的焦点为 F(﹣1,0) 、准线为 x=1.设点 P 在准线上 的射影为 Q,根据抛物线的定义得|PQ|+|PA|=|PF|+|PA|,利用平面几何知识得当 A、P、Q 三 点共线时,这个距离之和达到最小值,此时 P 点的纵坐标为 1,利用抛物线方程求出 P 的横 坐标,从而可得答案.

【解答】解:由抛物线方程为 y =﹣4x,可得 2p=4, =1, ∴焦点坐标为 F(﹣1,0) ,准线方程为 x=1. 设点 P 在准线上的射影为 Q,连结 PQ, 则根据抛物线的定义得|PF|=|PQ|, 由平面几何知识,可知当 A、P、Q 三点共线时, |PQ|+|PA|达到最小值,此时|PF|+|PA|也达到最小值. ∴|PF|+|PA|取最小值,点 P 的纵坐标为 1, 将 P(x,1)代入抛物线方程,得 1 =﹣4x,解得 x=﹣ , ∴使 P 到 A、F 距离之和最小的点 P 坐标为(﹣ ,1) . 故答案为: (﹣ ,1)
2

2

【点评】 本题主要考查了抛物线的定义, 充分利用了抛物线上的点到准线的距离与点到焦点 的距离相等这一特性,运用了转化思想和数形结合思,本题属于基础题. 14.如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,M、N 分别是 A1B1 和 BB1 的中点, 那么直线 AM 和 CN 所成角的余弦值为 .

【考点】异面直线及其所成的角. 【专题】计算题. 【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点 B1,得到的锐角或直角就是异面直 线所成的角,在三角形中再利用余弦定理求出此角即可.

【解答】解:如图,将 AM 平移到 B1E,NC 平移到 B1F,则∠EB1F 为直线 AM 与 CN 所成 角 设边长为 1,则 B1E=B1F= ∴cos∠EB1F= , 故答案为 ,EF=

【点评】 本小题主要考查异面直线所成的角, 考查空间想象能力、 运算能力和推理论证能力, 属于基础题. 三.解答题: (共 50 分.解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15.已知 p:?x∈R,mx +1≤0,q:?x∈R,x +mx+1>0.若 p∨q 为真命题,求实数 m 的取 值范围. 【考点】复合命题的真假. 【专题】函数思想;综合法;简易逻辑. 【分析】分别求出 p,q 为真时的 m 的范围,结合若 p∨q 为真命题,从而求出实数 m 的取 值范围即可. 【解答】解:若 p 为真命题,则 m<0, 若命题 q 是真命题, 2 则有△ =m ﹣4<0, 解得:﹣2<m<2, 若 p∨q 为真命题, 则 p,q 至少有一个为真, ∴m 的范围是:m<2. 【点评】本题考查了复合命题的判断,考查二次函数的性质,是一道基础题. 16. (10 分) (2015 秋?武威校级期末)已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,且经过 点(2,0)和点(0,1) (1)求椭圆的标准方程; (2)焦点为 F1,F2,P 为椭圆上的一点,且 ? =0,求△ F1PF2 的面积.
2 2

【考点】椭圆的标准方程;圆锥曲线的实际背景及作用. 【专题】对应思想;定义法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 (1)根据题意得出椭圆的顶点坐标以及 a、b 的值,写出椭圆的标准方程即可;

(2)根据

?

=0,得出



,利用勾股定理以及椭圆的定义求出|

|?|

|

的值,即得△ F1PF2 的面积. 【解答】解: (1)∵椭圆的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,且经过点(2,0)和点(0,1) , ∴a=2,b=1, ∴椭圆的标准方程为 +y =1; ? =0,
2

(2)焦点为 F1,F2,P 为椭圆上的一点,且 ∴ ∴ 又| ∴ |+| ⊥ + , =(2c) = |=2a=4, +2| |?| |?| |+ |=2, = | |?| |=1. =16②;
2

=12①;

由①、②得,| ∴△F1PF2 的面积为

【点评】 本题主要考查了椭圆的定义与标准方程以及平面向量的数量积的应用问题, 解题的 关键是熟练掌握椭圆标准方程中 a,b 和 c 之间的关系,是基础题目. 17. (10 分) (2012 秋?定西期末)如图,棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD,PA=AD=2,BD= . (1)求证:BD⊥平面 PAC; (2)求二面角 P﹣CD﹣B 余弦值的大小.

【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的判定. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】 (1)由∠BAD=90°,AD=2,BD= .可得 AB=2.于是矩形 ABCD 是正方形, 可得 BD⊥AC.利用线面垂直的性质可得:PA⊥BD,即可证明:BD⊥平面 PAC. (2)由 PA⊥平面 ABCD,CD⊥AD,利用三垂线定理可得:CD⊥PD,于是∠PDA 是二面 角 P﹣CD﹣B 的平面角.利用直角三角形的边角关系即可得出. 【解答】 (1)证明:∵∠BAD=90°,AD=2,BD= .∴ =2.

∴矩形 ABCD 是正方形, ∴BD⊥AC. ∵PA⊥平面 ABCD,BD?平面 ABCD, ∴PA⊥BD,又 PA∩AC=A, ∴BD⊥平面 PAC. (2)解:∵PA⊥平面 ABCD,CD⊥AD,CD?平面 ABCD, ∴CD⊥PD, ∴∠PDA 是二面角 P﹣CD﹣B 的平面角. 在 Rt△ PAD 中,tan∠PDA= ∴∠PDA=45°. ∴二面角 P﹣CD﹣B 的余弦值为 . =1,

【点评】本题考查了矩形与正方形的性质、线面垂直的性质与判定定理、三垂线定理、二面 角、直角三角形的边角关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 18. (10 分) (2015 秋?武威校级期末)已知抛物线 C 的顶点在原点,焦点在 x 轴上,且抛 物线上有一点 P(4,m)到焦点的距离为 6. (Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)若抛物线 C 与直线 y=kx﹣2 相交于不同的两点 A、B,且 AB 中点横坐标为 2,求 k 的值. 【考点】抛物线的标准方程;直线与圆锥曲线的关系. 【专题】计算题. 【分析】 (Ⅰ)由题意设:抛物线方程为 y =2px,其准线方程为 x=﹣ ,根据抛物线的大于 可得: 4+ , 进而得到答案. (Ⅱ) 联立直线与抛物线的方程得 k x ﹣ (4k+8) x+4=0,
2 2 2

根据题意可得△ =64(k+1)>0 即 k>﹣1 且 k≠0,再结合韦达定理可得 k 的值. 【解答】解: (Ⅰ)由题意设抛物线方程为 y =2px,其准线方程为 x=﹣ , ∵P(4,m)到焦点的距离等于 A 到其准线的距离, ∴4+ ∴p=4
2 2

∴抛物线 C 的方程为 y =8x (Ⅱ)由 消去 y,得 k x ﹣(4k+8)x+4=0
2 2

∵直线 y=kx﹣2 与抛物线相交于不同两点 A、B,则有 k≠0,△ =64(k+1)>0,解得 k>﹣ 1 且 k≠0, 又 =2,

解得 k=2,或 k=﹣1(舍去) ∴k 的值为 2.

【点评】本题主要考查抛物线的标准方程,以及直线与抛物线的位置关系.

19. (12 分) (2015 秋?武威校级期末)如图,直三棱柱 ABC﹣A1B1C1,底面△ ABC 中, CA=CB=1,∠BCA=90°,棱 AA1=2,M、N 分别是 A1B1,A1A 的中点; (1)求 的长; , >的值;

(2)求 cos<

(3)求证:A1B⊥C1M. (4)求 CB1 与平面 A1ABB1 所成的角的余弦值.

【考点】直线与平面所成的角;异面直线及其所成的角;点、线、面间的距离计算. 【专题】空间位置关系与距离;空间角. 【分析】 (1)建立空间直角坐标系 O﹣xyz.利用向量法能求出| (2) 分别求出 >. (3)由 (4)由 =(﹣1,1,2) , =( =( ,0) ,能证明 A1B⊥C1M. =(0,1,2) ,能求出 CB1 与 = (﹣1, ﹣1,2) , |. ,

=(0, 1, 2) , 利用向量法能求出 cos<

,0)是平面 A1ABB1 的法向量,

平面 A1ABB1 所成的角的余弦值. 【解答】 (1)解:如图,建立空间直角坐标系 O﹣xyz. 依题意得 B(0,1,0) ,N(1,0,1) , ∴| |= .

(2)解:依题意得 A1(1,0,2) ,B(0,1,0) , C(0,0,0) ,B1(0,1,2) , ∴ ? =(﹣1,﹣1,2) , =3,| |= ,| =(0,1,2) , |= ,

∴cos<



>=



(3)证明:依题意,得 C1(0,0,2) ,M( =(﹣1,1,2) , ∴ ∴ ? ⊥ =﹣ =( ,0) .

,2) ,

+0=0,

,∴A1B⊥C1M.

(4)解:∵A1B⊥C1M,AA1⊥C1M, ∴ =( ,0)是平面 A1ABB1 的法向量,

=(0,1,2) , 设 CB1 与平面 A1ABB1 所成的角为 θ, 则 sinθ=|cos< >|=| |= ,

∴cosθ=

=

. .

∴CB1 与平面 A1ABB1 所成的角的余弦值为

【点评】 本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识. 考查空间两向量垂直的充要条件.

2016 年 1 月 21 日


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