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新课程高中数学第二章圆锥曲线与方程高考真题新人教A选修2-1


第二章

圆锥曲线与方程
本章归纳整合 高考真题

1.(2011·陕西高考)设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x =-2,则抛物线的方程是 ( ). A.y =-8x C.y =8x
2 2

B.y =-4x D.y =4x
2

2

解析 由准线方程为 x=-2,可知抛物线的焦点在 x 轴正半轴上,且 p=4,所以抛物线 的方程为 y =2px=8x. 答案 C 2 . (2011· 安 徽 高 考 ) 双 曲 线 ( ). A.2 C.4 B.2 2 D.4 2 2x
2 2

- y

2

= 8

的 实 轴 长 是

解析 双曲线方程可变形为 - =1,所以 a =4,a=2,从而 2a=4,故选 C. 4 8 答案 C 3.(2011·广东高考)设圆 C 与圆 x +(y-3) =1 外切,与直线 y=0 相切,则 C 的圆心轨迹 为 ( A.抛物线 C.椭圆 B.双曲线 D.圆 ).
2 2

x

2

y

2 2

解析 设圆 C 的半径为 r,则圆心 C 到直线 y=0 的距离为 r.由两圆外切可得,圆心 C 到 点(0, 3)的距离为 r+1, 也就是说, 圆心 C 到点(0, 3)的距离比到直线 y=0 的距离大 1, 故点 C 到点(0,3)的距离和它到直线 y=-1 的距离相等,符合抛物线的特征,故点 C 的 轨迹为抛物线. 答案 A

1

4.(2011·江西高考)若双曲线 - =1 的离心率 e=2,则 m=________. 16 m 解析 由题意知 a =16,即 a=4,又 e=2,所以 c=2a=8,则 m=c -a =48. 答案 48 5.(2011·全国课标卷)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1,F2 在 x 轴上,离心率为 2 .过 F1 的直线 l 交 C 于 A,B 两点,且△ABF2 的周长为 16,那么 C 的 2
2 2 2

y2

x2

方程为__________.

x2 y2 2 c 2 解析 设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0),由 e= 知 = , a b 2 a 2 b2 1 故 2= . a 2
由 于△ABF2 的 周长 为|AB| + |BF2| +|AF2|= |AF1|+ |AF2| + |BF1|+ |BF2|=4a=16,故 a=4. ∴b =8. ∴椭圆 C 的方程为 + =1. 16 8 答案 + =1 16 8
2 2 2

x2

y2

x2

y2

6.(2011·陕西高考) 如图,设 P 是圆 x +y =25 上的动点, 4 点 D 是 P 在 x 轴上的投影, 为 PD 上一点, MD|= |PD|. M 且| 5 (1)当 P 在圆上运动时,求点 M 的轨迹 C 的方程; 4 (2)求过点(3,0)且斜率为 的直线被 C 所截线段的长度. 5 解 (1)设 M 的坐标为(x,y),P 的坐标为(xP,yP),

?xP=x, ? 由已知得? 5 ?yP=4y. ?
∵P 在圆上, 5 2 x y ∴x +( y) =25,即轨迹 C 的方程为 + =1. 4 25 16
2 2 2

4 4 (2)过点(3,0)且斜率为 的直线方程为 y= (x-3), 5 5 设直线与 C 的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2), 4 将直线方程 y= (x-3)代入 C 的方程,得 5
2

+ 25

x2

(x-3) =1, 25

2

即 x -3x-8=0. 3- 41 3+ 41 ∴x1= ,x2= . 2 2 ∴线段 AB 的长度为 |AB|= (x1-x2) +(y1-y2) =
2 2

2

16 2 (1+ )(x1-x2) = 25
2

41 41 ×41= . 25 5

7.(2011·福建高考) 如图,直线 l:y=x+b 与抛物线 C:x = 4y 相切于点 A. (1)求实数 b 的值; (2)求以点 A 为圆心,且与抛物线 C 的准线相切的圆的方程. 解 (1)由?
?y=x+b ? ? ?x =4y
2

得 x -4x-4b=0(*),
2

2

因为直线 l 与抛物线 C 相切,所以 Δ =(-4) -4×(-4b)=0,解得 b=-1. (2)由(1)可知 b=-1,故方程(*)为 x -4x+4=0,解得 x=2, 代入 x =4y,得 y=1,故点 A(2,1). 因为圆 A 与抛物线 C 的准线相切,所以圆 A 的半径 r 就等于圆心 A 到抛物线的准线 y= -1 的距离,即 r=|1-(-1)|=2, 所以圆 A 的方程为(x-2) +(y-1) =4.
2 2 2 2

x2 y2 8.(2011·江西高考)P(x0,y0)(x0≠±a)是双曲线 E: 2- 2=1(a>0,b>0)上一点,M,N a b
1 分别是双曲线 E 的左、右顶点,直线 PM,PN 的斜率之积为 . 5 (1)求双曲线的离心率; (2)过双曲线 E 的右焦点且斜率为 1 的直线交双曲线于 A,B 两点,O 为坐标原点,C 为双 → → → 曲线上一点,满足OC=λ OA+OB,求 λ 的值. 解 (1)点 P(x0,y0)(x0≠±a)在双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)上,有 由题意又有
2 2

x2 y2 a b

x02 y02 - =1. a2 b2

y0 y0 1 · = , x0-a x0+a 5
2 2 2 2 2 2 2

即 x0 -5y0 =a ,可得 a =5b ,c =a +b =6b , 则 e= =

c a

30 . 5

3

(2)联立?

? ?x -5y =5b , ?y=x-c, ?

2

2

2

得 4x -10cx+35b =0,

2

2

设 A(x1,y1),B(x2,y2),

?x +x =52c, ? 则? 35b ? ?x x = 4 .
1 2 2 1 2



→ → → → 设OC=(x3,y3),OC=λ OA+OB, 即?
? ?x3=λ ?y3=λ ?

x1+x2, y1+y2,
2 2 2

又 C 为双曲线上一点,即 x3 -5y3 =5b , 有(λ x1+x2) -5(λ y1+y2) =5b , 化简得 λ (x1 -5y1 )+(x2 -5y2 )+2λ (x1x2-5y1y2)=5b , 又 A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线上,所以 x1 -5y1 =5b ,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2



x22-5y22=5b2.
由①式又有 x1x2-5y1y2=x1x2-5(x1-c)(x2-c) =-4x1x2+5c(x1+x2)-5c =10b , 由②式得 λ +4λ =0,解出 λ =0,或 λ =-4.
2 2 2

4


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