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2007年高考数学解答题专项训练(7)


2007 年高考数学解答题专项训练(7)
1.袋中有 4 个红球,3 个黑球,从中随机取球,设取到一个红球得 2 分,取到一个黑球得 1 分。求: (Ⅰ)今从袋中随机取 4 个球,求得分为 7 分的概率; (Ⅱ)今从袋中每次摸一个球,看清颜色后放回再摸下次,连续进行 4 次,求得分不少于 6 分的概率。 2.已知△ABC 的面积 S ? 3 3 , 且 AB ? BC

? 6 . (Ⅰ)求 AC 长的最小值; (Ⅱ)当 AC 长取最小值时,求 AB 在 AC 上的射影。 3.已知四边形 ABCD 中, ?BAD ? ?BDC ? 90? ,AB ? AD ? 2 2,BC ? 5 ,将 ?ABD 沿对角线 BD 折起,折起后,点 A 的位置记为 A ,使平面 A BD ? 平面 BCD。
/ /

(Ⅰ)求证:平面 A BC ? 平面 A DC ;
/ /

(Ⅱ)求二面角 A ? BC ? D 的正切值;
/

(Ⅲ)求三棱锥 A ? BCD 的体积。
/

4.在 ?ABC 中,已知 A(0, a) , B(0,?a) , AC 、 BC 两边 别与 x 轴交于原点同侧的点 M 、 N ,且满足 OM ? ON ? 4a 2 ( a 为不等于零的常数) . (Ⅰ)求点 C 的轨迹方程;

所在的直线分

(Ⅱ)如果存在直线 l : y ? kx ? 1(k ? 0) ,使 l 与点 C 的轨迹相交于不同的 P 、 Q 两点,且 AP ? AQ , 求 a 的取值范围. 5.已知函数 f ? x ? ? x ? ax ? b 定义在区间 ??1,1? 上,且 f ? 0? ? f (1) 。又 P ? x1 ? y1 ? 、 Q ? x2 ? y2 ? 是其
3

图像上任意两点 ? x1 ? x2 ? 。 (Ⅰ)求证: f ? x ? 的图像关于点 ? 0, b ? 成中心对称图形; (Ⅱ)设直线 PQ 的斜率为 k ,求证: k ? 2 ; (Ⅲ)若 0 ? x1 ? x2 ? 1 ,求证: y1 ? y2 ? 1 。

2007 年高考数学解答题专项训练(7)解答

1、解: (Ⅰ)设从袋中取出得 4 个球中由 x 个红球, y 个黑球,则由 ? 取出了 3 个红球与 1 个黑球,所以得分为 7 分得概率为:

?x ? y ? 4 ?x ? 3 ?? ?2 x ? y ? 7 ? y ? 1

即从袋中

P1 ?

3 1 4 C4 C3 A4 12 ? 4 35 A7

答:从袋中随机取 4 个球,得分为 7 分的概率为

12 。 35 4 , 7

(Ⅱ)从袋中有放回得取球,可以看作是独立重复试验,显然,每次摸一个球,取得红球得概率是 取得黑球得概率是

3 ,仍设从袋中取出得 4 个球中由 x 个红球, y 个黑球,则有 7

?x ? y ? 4 ?x ? 2 ? x ? 3 ? x ? 4 或? 或? ,所以连续进行 4 次,得分不少于 6 分的概率为 ?? ? 2 x ? y ? 6 y ? 2 y ? 1 y ? 0 ? ? ? ?
3 3 1888 2 4 2 3 4 3 4 4 4 P2 ? C 4 ( ) ? ( ) 2 ? C4 ( ) ? ? C4 ( ) ? 或 7 7 7 7 7 2401 3 81 432 1888 0 4 0 3 4 1 4 P2 ? 1 ? C 4 ( ) ( ) ? C4 ? ? ( )3 ? 1 ? ? ? 7 7 7 7 2401 2401 2401
答: 从袋中每次摸一个球, 看清颜色后放回再摸下次, 连续进行 4 次, 得分不少于 6 分的概率为 2、解:(Ⅰ)由题意知, AB ? BC ?| AB || BC | cos ? ? 6 ① ②

1888 。 2401

1 1 | AB || BC | sin(? ? ? ) ? | AB || BC | sin ? ? 3 3 2 2 ? 由①②, 得 tan ? ? 3 ,∵ ? ? (0, ? ) ,∴ ? ? , 3 6 2? | AB || BC |? ? 12 且 ?ABC ? cos? 3 S?

由余弦定理得: | AC | 2 =| AB | 2 ? | BC | 2 ?2 | AB || BC | COS?ABC

? 2 | AB || BC | (1 ? COS

2? 3 ) ? 2 ? 12 ? ? 36 , 3 2

∴ | AC |? 6 ,当且仅当 AB = BC ? 2 3 时取最小值 6。 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,此时 ?ABC 为等腰三角形, ?BAC ?

?
6



AB 在 AC 上的射影为: | AB | cos

?
6

?2 3?

3、 (Ⅰ)证明:∵ 平面 A?BD ? 平面 BCD ,且 CD ? BD ∴ CD ? 平面 A?BD ∴ CD ? A?B (2 分) 又 ∵ A?B ? A?D ∴ A?B ? 平面 A?CD (3 分) ∵ A?B ? 平面 A?BC ∴ 平面 A?BC ? 平面 A?DC (Ⅱ)解:作 A?E ? BD 于 E, ∵ 平面 A?BD ? 平面 BCD ∴ A?E ? 平面 BCD(5 分) 作 EF⊥BC 于 F,连 A?F ,则 A?F ? BC ∴ ?A?FE 为二面角 A? ? BC ? D 的平面角

3 ?3 2

A/

D E B F C

∵ A?B ? A?D ? 2 2

?BA?D ? 90?

∴ A?E ? 2 BD=4 ∵ BC=5, ∴ ?BDC ? 90? , ∴ CD=3. 在 Rt ?BEF 中,∵ BE=2 ∴ EF ? BE sin ?DBC ? 2 ?

3 6 ? 5 5

在 Rt ?A?EF 中, tan ?A?FE ? (Ⅲ)解:∵ V A?? BCD ? VC ? A?BD

5 3 1 1 1 ? ? S ?A?BD ? CD ? ? ? 2 2 ? 2 2 ? 3 ? 4 3 3 2

4、解: (Ⅰ)设点 C ( x, y )( x ? 0) , M ( x M ,0), N ( x N ,0) . 当 y ? a 时, AC // x 轴,当 y ? ?a 时, BC // x 轴,与题意不符,所以 y ? ? a ; 由 A . C . M 三点共线有

a? y a?0 ax ? ,解得 x M ? . 0 ? xM 0 ? x a? y ax . a? y ax ax ? ? 4a 2 , a? y a? y

同理由 B . C . N 三点共线,解得 x N ?

? xM ? x N ? 0 ,

? OM ? ON ? x M ? x N ?

化简得点 C 的轨迹方程为 x 2 ? 4 y 2 ? 4a 2 ( x ? 0) . (Ⅱ)设 PQ 的中点为 R ,

? x 2 ? 4 y 2 ? 4a 2 , ? (1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8kx ? 4 ? 4a 2 ? 0 , ? ? y ? kx ? 1
由 ? ? 64k 2 ? 4(1 ? 4k 2 )(4 ? 4a 2 ) ? 0 ,? 4a k ? a ? 1 ? 0 …①
2 2 2

xR ?

x1 ? x 2 4k ?1 ? , y R ? kx R ? 1 ? . 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2

? AP ? AQ ? AR?PQ ,即 k AR

1 1 ? 4k 2 ? k ? ?1 ? k ? ?1 , ? 4k 0 ? 1 ? 4k 2 a ?



4ak 2 ? a ? 3 ? 0 ,即 k 2 ?

3?a ………② 4a 1 . 3

? k ? 0,? k 2 ? 0 ,

? 0 ? a ? 3 .把②代入①并化简得 3a ? 1 ? 0 ? a ?

当 a ? 1 时,直线 l 过点 B,而曲线 C 不过点 B,所以直线 l 与曲线 C 只有一个公共点.故 a ? 1 舍去;故 a
1 的取值范围是 ? a ? 3 且 a ? 1 . 3

5、解: (Ⅰ)? f ? 0? ? f (1),?b ? 1 ? a ? b, 得 a ? ?1 。 (1 分)

? f ? x ? ? x3 ? x ? b 的图像可由 y ? x3 ? x 的图像向上(或下)平移 b (或 ?b )个单位二得到。又
其图像关于原点成中心对称图形, y ? x3 ? x 是奇函数, ? f ? x ? 的图像关于点 ? 0, b ? 成中心对称图形。 (Ⅱ)? 点 P ? x1 , y1 ? 、 Q ? x2 , y2 ? 在 f ? x ? ? x ? x ? b 的图像上,
3

3 3 y1 ? y2 ? x1 ? x1 ? b ? ? ? x2 ? x2 ? b ? ?k ? ? ? x12 ? x2 2 ? x1 x2 ? 1 。 x1 ? x2 x1 ? x2

又 x1 、 x2 ???1,1? , x1 ? x2 ,?0 ? x12 ? x22 ? x1x2 ? 3 ,从而

?1 ? x12 ? x22 ? x1x2 ?1 ? 2
? k ? x12 ? x2 2 ? x1 x2 ? 1 ? 2
(Ⅲ)? 0 ? x1 ? x2 ? 1,且 y1 ? y2 ? 2 x1 ? x2 ? ?2 ? x1 ? x2 ? , 又 y1 ? y2 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? f ? 0 ? ? f ?1? ? f ? x2 ? 1 ○

? f ? x1 ? ? f ? 0 ? ? f ?1? ? f ? x2 ? ? 2 x1 ? 0 ? 2 x2 ? 1

? 2 ? x1 ? 0? ? 2 ?1? x2 ? ? 2 ? x1 ? x2 ? ? 2
①+②得 2 y1 ? y2 ? 2 ,故 y1 ? y2 ? 1

2 ○


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