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2013届高三人教B版理科数学一轮复习课时作业(38)空间点、直线、平面之间的位置关系)


课时作业(三十八) [第 38 讲

空间点、直线、平面之间的位置关系]

[时间:45 分钟

分值:100 分]

基础热身 1.下面列举的图形一定是平面图形的是( ) A.有一个角是直角的四边形 B.有两个角是直角的四边形 C.有三个角是直角的四边形 D.有四个角是直角的四边形 2.若三个平面两

两相交,且三条交线互相平行,则这三个平面把空间分为( ) A.5 部分 B.6 部分 C.7 部分 D.8 部分 3.[2011· 浙江卷] 若直线 l 不平行于平面 α,且 l?α,则( ) A.α 内的所有直线与 l 异面 B.α 内不存在与 l 平行的直线 C.α 内存在唯一的直线与 l 平行 D.α 内的直线与 l 都相交 4.[2011· 江西重点中学模拟] 已知异面直线 a,b 分别在平面 α,β 内,且 α∩β=c, 那么直线 c 一定( ) A.与 a,b 都相交 B.只能与 a,b 中的一条相交 C.至少与 a,b 中的一条相交 D.与 a,b 都平行 能力提升 5.有一正方体木块 ABCD-A1B1C1D1,为了需要,工人师傅将此木块锯成两块,截痕 经过 AB、AD、B1C1 的中点 P、Q、R,则截面图形是( ) A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形 6.[2011· 湖北重点中学二联] 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 为棱 AB 的中点,则异 面直线 DM 与 D1B 所成角的余弦值为( ) 15 15 15 15 A. B. C. D. 6 5 3 10 7.[2011· 四川卷] l1,l2,l3 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是( ) A.l1⊥l2,l2⊥l3?l1∥l3 B.l1⊥l2,l2∥l3?l1⊥l3 C.l1∥l2∥l3?l1,l2,l3 共面 D.l1,l2,l3 共点?l1,l2,l3 共面 8.三条直线两两垂直,那么在下列四个结论中,正确的结论共有( ) ①这三条直线必共点;②其中必有两条是异面直线;③三条直线不可能共面;④其中必 有两条在同一平面内. A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 9.[2010· 江西卷] 如图 K38-1,过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的顶点 A 作直线 l,使 l 与直线 AB,AD,AA1 所成的角都相等,这样的直线 l 可以作( ) A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条

10.正方体各面所在的平面将空间分成________部分. 11.[2011· 银川一中五测] 如图 K38-2,在正三角形 ABC 中,D,E,F 分别为各边的 中点,G,H 分别为 DE,AF 的中点,将△ABC 沿 DE,EF,DF 折成正四面体 P-DEF, 则四面体中异面直线 PG 与 DH 所成的角的余弦值为________. 12.以下四个命题中,正确命题的序号是________. ①不共面的四点中,任意三点不共线; ②若点 A、B、C、D 共面,点 A、B、C、E 共面,则 A、B、C、D、E 共面; ③若直线 a、b 共面,直线 a、c 共面,则直线 b、c 共面; ④依次首尾相接的四条线段必共面. 13.下列命题中正确的是________(填序号). ①若△ABC 在平面 α 外,它的三条边所在的直线分别交 α 于点 P、Q、R,则 P、Q、R 三点共线; ②若三条直线 a、b、c 互相平行且分别交直线 l 于 A、B、C 三点,则这四条直线共面; ③空间中不共面的五个点一定能确定 10 个平面.

14.如图 K38-3 所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 AB 的中点,F 为 A1A 的 中点, 求证:(1)E、C、D1、F 四点共面; (2)CE、D1F、DA 三线共点.

图 K38-3

15.(13 分)已知:如图 K38-4,空间四边形 ABCD 中,E、H 分别是边 AB、AD 上的 AE AH CF CG 点,F、G 分别是边 BC、CD 上的点,且 = =λ, = =μ(0<λ、μ<1),试判断 FE、 AB AD CB CD GH 与 AC 的位置关系.

图 K38-4

难点突破 16.(12 分)已知:在四边形 ABCD 中,∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90° ,求证: ABCD 是矩形.

课时作业(三十八) 【基础热身】 1.D [解析] 对于前三个,可以想象出仅有一个直角的平面四边形沿着非直角所在的 对角线翻折;对角为直角的平面四边形沿着非直角所在的对角线翻折;在翻折的过程中,某 个瞬间出现了有三个直角的空间四边形. 2.C [解析] 垂直于交线的截面如图,把空间分为 7 部分.

3.B [解析] 在 α 内存在直线与 l 相交,所以 A 不正确;若 α 内存在直线与 l 平行, 又∵l?α,则有 l∥α,与题设相矛盾,∴B 正确,C 不正确;在 α 内不过 l 与 α 交点的直线与 l 异面,D 不正确. 4.C [解析] 若 c 与 a,b 都不相交,则与 a,b 都平行,根据基本性质 4,则 a∥b, 与 a,b 异面矛盾. 【能力提升】 5.D [解析] 如图,取 C1D1 中点 E,连接 RE,RE 綊 PQ, ∴P、Q、R、E 共面.再取 BB1、DD1 中点 F、G.

∵PF∥AB1∥QR 且 GE∥C1D∥QR.∴E、G、F、P、Q、R 共面. ∴图形为六边形. 6.B [解析] 如图,取 CD 的中点 N,连接 BN,D1N,则 BN∥DM,∠D1BN 就是直 5 线 DM 与 D1B 所成角,设正方体棱长为 1,在△D1BN 中,BD1= 3,BN=D1N= ,由余 2 5 5 ? 3?2+? ?2-? ?2 ?2? ?2? 15 弦定理得 cos∠D1BN= = . 5 5 2× 3× 2

7.B [解析] 对于 A,直线 l1 与 l3 可能异面;对于 C,直线 l1、l2、l3 可能构成三棱柱 三条侧棱所在直线,而不共面;对于 D,直线 l1、l2、l3 相交于同一个点时不一定共面. 所以 选 B. 8. D [解析] (1)三条直线两两垂直时, 它们可能共点(如正方体同一个顶点上的三条棱), 也可能不共点(如正方体 ABCD-A1B1C1D1 中的棱 AA1,AB,BC),故结论①不正确,也说明 必有结论②不正确; 如果三条直线在同一个平面内, 根据平面几何中的垂直于同一条直线的 两条直线平行, 就导出了其中两条直线既平行又垂直的矛盾结论, 故三条直线不可能在同一 个平面内,结论③正确;三条直线两两垂直,这三条直线可能任何两条都不相交,即任意两 条都异面(如正方体 ABCD-A1B1C1D1 中的棱 AA1,BC,D1C1),故结论④不正确.正确选项 D. 9.D [解析] 满足与线段 AB,AD,AA1 成角相等的直线在如图所示的正方体中,就是 其体对角线 AC1 所在的直线.如图所示,将 AD,AB,AA1 所在的线段反向延长,则可得到

三个正方体,在每个正方体中都存在一条体对角线,使其与直线 AB,AD,AA1 所成角相等, 故选 D.

10.27 [解析] 分上、中、下三个部分,每个部分分空间为 9 个部分,共 27 部分. 2 11. [解析] 折成的四面体是正四面体,画出立体图形,根据中点找平行线,把所求的 3 异面直线所成角转化到一个三角形的内角来计算.如图,连接 HE,取 HE 的中点 K,连接 GK,则 GK∥DH,故∠PGK 即为所求的异面直线所成角或者其补角.设这个正四面体的棱 3 7 3 长为 2 ,在△ PGK 中, PG = 3 , GK = , PK = 12+? ?2 = ,故 cos ∠ PGK = 2 2 2 ? ? 3?2 ? 7?2 ? 2 ? 3? + - ?2? ?2? 2 2 = ,即异面直线 PG 与 DH 所成的角的余弦值是 . 3 3 3 2× 3× 2

12.① [解析] 可以用反证法证明,假设有三点共线,则由直线和直线外一点确定一 个平面,得这四点共面;②从条件看出两平面有三个公共点 A、B、C,但是若 A、B、C 共 线,则结论不正确;③不正确,共面不具有传递性;④不正确,因为此时所得的四边形四条 边可以不在一个平面上. 13.①② [解析] 在①中,因为 P、Q、R 三点既在平面 ABC 内,又在平面 α 内,所以 这三点必在平面 ABC 与 α 的交线上,即 P、Q、R 三点共线,故①正确;在②中,因为 a∥ b,所以 a 与 b 确定一个平面 α,而 l 上有 A、B 两点在该平面上,所以 l?α,即 a、b、l 三 线共面于 α;同理 a、c、l 三线也共面,不妨设为 β,而 α、β 有两条公共的直线 a、l,∴α 与 β 重合,即这些直线共面,故②正确;在③中,不妨设其中有四点共面,则它们最多只能 确定 7 个平面,故③错. 14.[解答] 证明:(1)分别连接 EF、A1B、D1C. ∵E、F 分别是 AB 和 AA1 的中点, 1 ∴EF 綊 A1B. 2 又 A1D1 綊 B1C1 綊 BC, ∴四边形 A1D1CB 为平行四边形. ∴A1B∥CD1,从而 EF∥CD1. ∴EF 与 CD1 确定一个平面. ∴E、F、D1、C 四点共面. 1 (2)∵EF 綊 CD1,∴直线 D1F 和 CE 必相交, 2 设 D1F∩CE=P. ∵P∈D1F 且 D1F?平面 AA1D1D, ∴P∈平面 AA1D1D. 又 P∈EC 且 CE?平面 ABCD,

∴P∈平面 ABCD, 即 P 是平面 ABCD 与平面 AA1D1D 的公共点, 而平面 ABCD∩平面 AA1D1D=AD, ∴P∈AD,∴CE、D1F、DA 三线共点.

AE AH CF CG 15.[解答] ∵ = =λ, = =μ, AB AD CB CD ∴EH∥BD,FG∥BD. ∴EH∥FG,EH=λ· BD,FG=μ· BD, ①当 λ=μ 时,HG∥AC,EH∥FG,且 EH=FG,∴四边形 EFGH 是平行四边形,∴EF ∥GH. 由公理 4 知,EF∥GH∥AC. ②当 λ≠μ 时,EH∥FG 但 EH≠FG, ∴四边形 EFGH 是梯形且 EH、FG 为上、下两底边,∴EF、GH 为梯形的两腰,它们 必交于点 P,P∈直线 EF,P∈直线 HG,又 EF?平面 ABC,HG?平面 ADC, ∴P∈平面 ABC,P∈平面 ADC,∴P 是平面 ABC 和平面 ADC 的公共点. 又∵平面 ABC∩平面 ADC=AC,∴P∈直线 AC, ∴三条直线 EF、GH、AC 交于一点. 综上所述,当 λ=μ 时,三条直线 EF、GH、AC 互相平行; 当 λ≠μ 时,三条直线 EF、GH、AC 交于一点. 【难点突破】 16.[解答] 证明:由已知,若证得四边形 ABCD 是平面图形,则四边形 ABCD 是矩形, 下面用反证法证明:A、B、C、D 四点共面. 假设 A、B、C、D 四点不共面,又设 B、C、D 确定的平面为 α,则 A?α.作 AA1⊥α,垂 足为 A1,连接 A1B、A1D,由已知和三垂线定理的逆定理,可得:∠CBA1=∠CDA1=90° , 从而∠DA1B=90° . 又 A1B<AB,A1D<AD,A1B2+A1D2=BD2, 可得:BD2<AB2+AD2?∠DAB≠90° ,这与∠DAB=90° 矛盾. 所以,A、B、C、D 四点共面,从而四边形 ABCD 是矩形.


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