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2016届广东省珠海市高三5月学业质量监测(二模)数学理试题


试题类型:B

珠海市 2015-2016 学年度第二学期高三学生学业质量监测 理科数学试题
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的 . 1.已知复数 z1 ? 2 ? i, z2 ? m ? i(m ? R), 若 z1 ? z2 为纯虚数,则 z1 ? z2 = A.

5i 2

B.

5 2

C. ? 2 i

D. -2

2.已知集合 A ? ? x | A.(1,3]
2 2

? ?

x ?1 ? ? 0? , B ? ? x | log 2 ( x ? 1) ? 2? , 则 (CR A) ? B ? x ?3 ?
B.(1,3) C.(?1,5) D.(?1,3]

3.命题“若 x ? y ? 0 ,则 x=y=0”的否定为 A.若 x ? y ? 0 ,则 x ≠0 且 y ≠0
2 2 2 2

B.若 x ? y ? 0 ,则 x≠0 或 y ≠0
2 2 2 2

C.若 x ? y ? 0 ,则 x ≠0 且 y ≠0 D.若 x ? y ? 0 ,则 x≠0 或 y ≠0 4.计生部门为了解群众对中央二胎政策的知晓情况,对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查. 假设四个社区群众的总人数为 N,其中甲社区有群众 960 人,若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取群 众的人数分别为 120,210,250,430,则这四个社区群众的总人数 N 为 A.1010 B.20120 C.12120 D.8080

5.在 ΓABC 中,点 D 在 AB 边上,点 E 在 AC 边上,AD=

??? ? ? ??? ? AE ? b ,则 BC =

??? ? ? 3 2 AB, AE= AC,设 AC ? a , 5 3
D. 2a ? b

A. a ? 2b
? 1 5 ? 1 2

?

?

B.

3? 5? b? a 2 3

C.

3? 5? a? b 2 3

? ?

1 ? 2 cos xdx, ,则实数 a b c, ,的大小关系是 6.若 a ? 2 , b ? 5 , c ? ? 0 2 A.a<b<c B.b<a<c C.c<b<a D.b<c<a ?? ? ? ? ? 7.已知函数 f(x)=asin2x+bcos2x(a,b∈R)的图像过点 ? , 2 ? ,且 ? ? , 0 ? 点是其对称中心, ? 12 ? ? 6 ? ? 将函数 f(x)的图像向右平移 个单位得到函数 y=g(x)的图像,则函数 g(x) 的解析式为 6 ?? ?? ? ? A.g(x)=2sin2x B.g(x)=2cos2x C.g(x) =2sin ? 2 x ? ? D.g(x) =2sin ? 2 x ? ? 6? 6? ? ?
8.执行如图所示的程序框图,输出 S 的值为 A.

19 39

B.

21 43

C.

22 45

D.

20 41

9.已知以原点为中心,实轴在 x 轴上的双曲线的一条渐近线方程为 y =

3 x,焦点到渐近线的距离为 6,则此双曲线的标准方程为 4

A.

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 B. ? ?1 16 9 9 16

C.

x2 y 2 ? ?1 64 36

D.

x2 y 2 ? ?1 36 64

10.若某几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积等于 A.60 B. 50 C.24 D.20 11.已知递减的等比数列{ an },各项为正数,且满足

26 ? a1 ? a2 ? a3 ? ? 9 ? ? 1 1 1 13 ? ? ? ? ? a1 a2 a3 2 ?
则数列{ an }的公比 q 的值为 A.

1 2

B.

1 3

C.

2 3

D.

3 4

12.设点 P 在曲线 y ?

1 x ?e ? 1 上,点 Q 在曲线 y=ln(2x?2)上,则|PQ|的最小值为 2 A.2 ?ln2 B. 2 (2?ln2) C.2+ln2 D. 2 (2+ln2)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知动圆 C 过定点(1,0),且与直线 x=?1 相切,则圆心 C 的轨迹方程为______________ .
2 n 14. ( x ? ) (a ? 0) 展开式中, 若第三项为 28 x , 则此展开式中的第六项为______________ . 3

a x

2

?x ? y ?5 ? 0 ? x?3 15. 已知实数 x,y 满足 ? , 且 z=2x+4y 的最小值为?6,则常数 k 的值为 ?x ? y ? k ? 0 ?
______________ .. 16 . 定 义 max{a,b} 表 示 实 数 a , b 中 的 较 大 的 数 . 已 知 数 列 满 足

{ an } a1 ? a(a ? 0), a2 ? 1, ,若 an ? 2 ?
的值为
___________________________.

2 max{an ?1 , 2} ( n ? N* ), ,记数列的前项和为 Sn ,则 S2016 an

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知在 ΓABC 中,角 A B C,,的对边分别为 a b c, ,, 且 asinB?bcosA=0. (1)求角 A 的大小; (2)若 a= 2 5 ,b=2,求 ΓABC 的面积. 18. (本小题满分 12 分) 为振兴旅游业,香港计划向内陆地区发行总量为 2000 万张的紫荆卡,其中向内陆人士(广 东户籍除外)发行的是紫荆金卡(简称金卡) ,向广东籍人士发行的是紫荆银卡(简

3 称银卡) 。某旅游公司组织了一个有 36 名内陆游客的旅游团到香港名胜旅游,其中是
非广东籍内陆游客,其余是广东籍游客。在非广东籍游客中有

3 4

1 持金卡,在广东籍游客中有 3

2 持银卡. 3

(1)在该团中随机采访 3 名游客,求恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人的概率; (2) 在该团的广东籍游客中随机采访 3 名游客, 设其中持银卡人数为随机变量 ξ, 求 ξ 的 分布列及数学期望 Eξ. 19. (本小题满分 12 分) 如图, 在四棱锥 Ρ?ΑΒCD 中, 底面 ΑΒCD 为直角梯形, ΑD// CΒ,∠ΑDC=90, 平面 ΡΑD

⊥底面 ΑΒCD,Q 为的中点,M 是棱上的点,ΡΑ = ΡD=2,ΒC=
(1)求证:平面 ΡQΒ ⊥平面 ΡΑD; (2)若异面直线 ΑΡ 与 ΒΜ 所成角的余弦值为

1 ΑD=1,CD = 3 . o 2

2 PM 7, 求 的值。 7 PC

20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆:

x2 25 (tan 2 a ? 1) 2

?

y2 ? ? 1(0 ? a ? ) ,当椭圆形状最圆时为椭圆 C. 9 tan a 2

(1)求 C 的方程; (2)设过椭圆 C 左焦点的两条弦 MN、PQ 斜率分别为 k1 、 k2 ,当 k1 k2 =1 时,是否存在 t ≥1 使

1 1 ? ? t 成立,若存在,求出满足条件的 t;若不存在,请说明理由. | MN | | PQ |
21. (本小题满分 12 分) 关于 x 的函数 f ( x) ? ln x ?

a ? ax 2 。 x

(1)若 f (x)为单调函数,试求实数 a 的取值范围; (2)讨论 f (x)的零点个数. 请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做第一个题目计分,做答时,请 用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,圆 O 是等腰三角形 ABC 的外接圆,AB =AC,延长 BC 到点 D, 使 CD =AC,连接 AD 交圆 O 于点 E, 接连 BE 与 AC 交于点 F. (1)判断 BE 是否平分∠ABC,并说明理由; (2)若 AE=, 6BE=8,求 EF 的长.

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程. 在平面直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线 l 的极坐 标方程为 θ=

?
4

(ρ∈R),曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? cos ? (? 为参数) ? y ? sin ?

(1)写出直线 l 与曲线 C 的直角坐标方程; | MB | =3,求点 M 轨 (2)过点 M 平行于直线 的直线与曲线 lC 交于 A、B 两点,若 | MA |? 迹的直角坐标方程. 24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|2x?a|+|2x+3|,g(x)=|x?1|+2. (1)解不等式|g(x)|<5; (2)若对任意的 x1 ∈R,都有 x2 ∈R,使得 f ( x1 ) ? g ( x1 ) 成立,求实数 a 的取值范围.

珠海市 2016 届第二学期高三学生学业质量监测 数学(理科)参考答案
一、选择题答案
题号 答案 1 A 2 A 3 B 4 D 5 B 6 D 7 A 8 D 9 C 10 C 11 B 12 B

z 2 m ? i 2m ? 1 m ? 2 z 5i 1 z ? ? ? i ,因为 2 为纯虚数,所以 m ? , 2 ? 2 z1 z1 z1 2 ? i 5 5 2 2. 解 : 选 A, 由 已 知 A ? { x | x ? ?1或 x ? 3} , CR A ? {x | ?1 ? x ? 3} B ? {x | 0 ? x ? 1 ? 4} ? {x |1 ? x ? 5} ,所以 (CR A) ? B ? ( x |1 ? x ? 3} ,故选 A.
1.解:选 A 考点:集合的运算.
2 2 2 2



3.解:选 B,命题“若 x ? y ? 0 ,则 x ? y ? 0 ”的否定是“若 x ? y ? 0 ,则 x ? 0 或 y ? 0 ”.故选 B. 考点:四种命题. 4.解:选 D 考点:分层抽样 5.解:选 B

BC ? AC ? AB ?

3 5 3 5 AE ? AD ? b ? a 2 3 2 3

考点:向量的运算

1 1 ? 1 6.解:选 D, c ? (sin x) 2 ? (sin ? sin 0) ? , a ? c ? b ,故选 D. 2 2 2 2 0
考点:比较大小,定积分. 7.选 A. 考点:三角函数的图像与性质. 8.D 考点:裂项求和 9.C 考点:双曲线的标准方程 10.C 考点:三视图 11.B 考点:等比数列运算 12 B 考点:指对数的图像与性质 13. y ? 4 x 考点:抛物线的定义
2

?

14.

56 x3

考点:二项式定理的计算 15.0 考点:含参数的线性规划问题

4 ,当 a ? 2 时, a4 ? 4 , a5 ? 2a , a6 ? a , a7 ? 1 ,因此 {an } 是周期数列, a 8 周 期 为 5 , 所 以 a2015 ? a5 ? 2a ? 4a , 不 合 题 意 , 当 a ? 2 时 , a4 ? , a5 ? 4 , a6 ? a , a a7 ? 1 , 同 理 {an } 是 周 期 数 列 , 周 期 为 5 , 所 以 a2015 ? a5 ? 4 ? 4a , a ? 1 ,
16.解:由题意 a3 ?

a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? 18 , S2016 ? 403 ?18 ? 1 ? 7255 .
考点:周期数列.

【总结】本题考查新定义问题,考查周期数列的知识,解决此类问题常采取从特殊到一般的方 法,可先按新定义求出数列的前几项(象本题由 a1 , a2 依次求出 a3 , a4 , a5 , a6 , a7 ) ,从中发现周期性 的规律,本题求解中还要注意由新定义要对参数 a 进行分类讨论.解决新定义问题考查的学生的阅 读理解能力,转化与化归的数学思想,即把新定义的“知识”、“运算”等用我们已学过的知识表示出 来,用已学过的方法解决新的问题. 17.解:(1) A ?

?
4

; (2) S = 4 .

试题分析: ( 1 ) 根 据 正 弦 定 理 , a ? 2 R sin A , b ? 2 R sin B , 代 入 原 式 , 整 理 为 sin A ? cos A ? 0 ,再公共辅助角公式化简,根据 A ? (0, ? ) ,计算角 A ; ( 2 )因为知道 a, b, A 代入余弦定理, a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ? cos A ,得到 c ,最后代入面积公式

1 S ? bc sin A ,计算面积. 2
试题解析: 解:(1)在△ ABC 中,由正弦定理得 sin A sin B ? sin B cos A ? 0 , 即 sin B(sin A ? cos A) ? 0 ,………………..2 分 又角 B 为三角形内角, sin B ? 0 ……………..3 分 所以 sin A ? cos A ? 0 ,即 2 sin( A ? 又因为 A ? (0, ? ) ,所以 A ?

?
4

? ) ? 0 ,……………….4 分 4



……………….5 分

(2)在△ ABC 中,由余弦定理得:

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ? cos A ,则 20 ? 4 ? c 2 ? 4c ? (
即 c 2 ? 2 2c ? 16 ? 0 ,……………….8 分

2 ) ……………….7 分 2

2 解得 c ? ?2 (舍) 或 c ? 4 2 ,……………….10 分
又S ?

1 1 2 bc sin A ,所以 S ? ? 2 ? 4 2 ? ? 4 .……………….12 分 2 2 2

第二问方法二: (2)? a ? 2 5 , b ? 2 ,由(1)知 A ?

? 4

?由

a b ? 得 sin A sin B
2?

2 b sin A 2 ? 1 sin B ? ? a 2 5 10 1 1 ? ? sin A ? sin B ? 10 2 ? B 为锐角 3 ? cos B ? 10 3? 1 1 4 2 (cos B ? sin B) ? ? ? ? sin C ? sin( ? B) ? 4 2 2 10 5 1 1 2 ?4 ? S?ABC ? ab sin C ? ? 2 5 ? 2 ? 2 2 5

请参照方法一给分。 考点:1.正弦定理;2.余弦定理;3.面积公式. 18.解: (Ⅰ)由题意得,省外游客有 27 人,其中 9 人持金卡;省内游客有 9 人,其中 6 人持银 卡。设事件 B 为“采访该团 3 人中,恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人”,………………. 2 分 事件 A1 为“采访该团 3 人中,1 人持金卡,0 人持银卡”, 事件 A2 为“采访该团 3 人中,1 人持金卡,1 人持银卡”。……………….4 分

P( B) ? P( A1 ) ? P( A2 )
1 2 1 1 1 C9 C21 C9 C6C21 ? 3 ? 3 C36 C36

?

9 27 ? 34 170 36 ? 85

所以在该团中随机采访 3 人,恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人的概率是 …………………………………………………………6 分 (Ⅱ) ? 的可能取值为 0,1,2,3 ……………….7 分

36 。 85

P(? ? 0) ?
P(? ? 2) ?
?
P

3 1 2 C6 C3 C3 1 3 , P ( ? ? 1) ? ? ? 3 3 C9 14 C9 84

所以 ? 的分布列为
0

2 1 3 C6 C3 15 C6 5 , P ( ? ? 3 ) ? ? ,……………….10 分 ? 3 3 C9 21 C9 28

1

2

3

1 84

3 14
……………….11 分

15 28

5 21

所以 E? ? 0 ?

1 3 15 5 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 2 , ……………………12 分 84 14 28 21

注:所以即为作答,否则扣 1 分。 19.解: (1)根据面面垂直的性质定理得到 CD ? 平面 PAD ,又因为 BQ // CD ,所以 BQ ? 平面 PAD ,而 BQ ? 平面 PBQ ,所以面面垂直; (2)根据图像以 Q 为原点建立空间直角坐标系, QA, QB, QP 分别为 x, y, z 轴,根据点 C,M,P 三 点 共 线 , 设 PM = t PC 的 坐 标 , 然 后 用 t 表 示 M 坐 标 , 将 异 面 直 线 所 成 角 转 化 为

???? ?

??? ?

cos ? ? cos ? AP, BM ?
1 AD ,Q 为 AD 的中点, 2 ∴四边形 BCDQ 为平行四边形, ∴CD∥ BQ. ∵∠ADC ? 90? , ∴∠AQB ? 90? ,即 QB⊥AD.………………. 2 分 又∵平面 PAD⊥平面 ABCD,且平面 PAD∩平面 ABCD=AD,……………….3 分 ∴BQ⊥平面 PAD. ∵BQ ? 平面 PQB, ∴平面 PQB⊥平面 PAD.……………….4 分 (2)解:∵PA=PD,Q 为 AD 的中点, ∴PQ⊥AD. ∵平面 PAD⊥平面 ABCD,且平面 PAD∩平面 ABCD=AD,

试题解析: (1)证明:∵AD ∥ BC, BC ?

∴PQ⊥平面 ABCD.……………….6 分 如 图 2 , 以 Q 为 原 点 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 , 则 Q(0,0,0) , A(1,0,0) , P(0,0, 3) ,
B(0, 3,0) , C (?1, 3,0) ,设 M ? x0,y0,z0 ? ,……………….7 分

??? ? ??? ? ???? ? ∴ AP ? (?1,0, 3),PC ? (?1, 3, ? 3) , PM ? ( x0,y0,z0 ? 3) ……………….8 分
由 M 是 PC 上的点,设 PM = t PC (0 ? t ? 1) ,化简得 M (-t , 3t, - 3t + 3) ……………….9 分 设异面直线 AP 与 BM 所成角为 ? , ??? ? ???? ? ??? ? ???? ? AP?BM 2 ? ???? ? = 则 cos ? ? | cos? AP,BM ? |? ??? ……………….10 分 7 | AP || BM | 7

???? ?

??? ?

1 11 PM 1 11 2 ? 或 ………….12 分 ,故 7 ,计算得 t ? 或t ? 2 14 PC 2 14 2 7t ? 12t ? 6 7 注:若只算出一个答案,扣 1 分;算出两个 t 值即得满分。 考点:1.面面垂直的判定;2.空间向量与立体几何.
∴即
| ?2t ? 3 |
2

?

20.解:(Ⅰ)? (tan2 ? ? 1) ? 9 tan? ?

25 2

25 ? 9 ? 272 ?0 ? tan? ? ? ? 2 ? 25 ? 25

2

?

25 (tan 2 ? ? 1) ? 9 tan ? ………………. 2 分 2

?e ?

c b2 18 tan? 18 ? 1? 2 ? 1? ? 1? 2 a a 25(tan ? ? 1) 25(tan? ?

当且仅当 tan ? ? 1 是等号成立,此时椭圆形状最圆

1 ) tan?

?

4 ……………4 分 5

x2 y 2 ? ? 1 ……………….5 分 25 9 0) (Ⅱ)由题设知, F 1 (?4 ,
故C : 则 MN : y ? k1 ( x ? 4) , PQ : y ? k2 ( x ? 4) 将 MN 与 C 的方程联立消 y 得: (25k12 ? 9) x2 ? 200k12 x ? 400k12 ? 225 ? 0?? “ ?” ……………….7 分 设 M ( x1 ,y1 ) ,N ( x2 ,y2 ) ,则 x1 、x 2 是“*”的二根

? 200k12 x ? x ? ? ? 1 2 25k12 ? 9 ? 则? 2 ? x x ? 400k1 ? 225 1 2 ? 25k12 ? 9 ?
2

……………….8 分

则 | MN |? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? (1 ? k1 )( x1 ? x2 )
2 2

2

? (1 ? k12 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] ? (1 ? k12 ) ?

400k14 ? 4(400k12 ? 225)(25k12 ? 9) (25k12 ? 9) 2

?

90(1 ? k12 ) 25k12 ? 9

……………….9 分
2 90(1 ? k2 ) 2 25k2 ? 9

同理: | PQ |?

……………….10 分

? k1k2 ? 1 1 1 1 1 ? ? ? ? 2 2 ) | MN | | PQ | 90(1 ? k1 ) 90(1 ? k2 2 2 25k1 ? 9 25k2 ? 9

? ? ?

2 2 2 25k12 ? 9 25k2 ? 9 (25k12 ? 9)(1 ? k2 ) ? (25k2 ? 9)(1 ? k12 ) ? ? 2 2 90(1 ? k12 ) 90(1 ? k2 ) 90(1 ? k12 )(1 ? k2 ) 2 2 18 ? 34k12 ? 34k2 ? 50(k1k2 )2 68 ? 34k12 ? 34k2 ? 2 2 90[1 ? k12 ? k2 ? (kk )2 ] 90(2 ? k12 ? k2 )

2 34(2 ? k12 ? k2 ) 17 ? ?[1, ? ?) 2 2 90(2 ? k1 ? k2 ) 45 ?不存在满足题设条件的 t 使题设成立.……………….12 分

21.解:(Ⅰ) f ( x ) 的定义域 (0 , ? ?)

f ?( x) ?


a ? 0 时, f ?( x) ? 0 恒成立,故 f ( x) 为单增函数 ………………. 2 分

1 a ?2ax3 ? x ? a ? ? 2ax ? ……………….1 分 x x2 x2

3 ② a ? 0 时,令 g ( x) ? ?2ax ? x ? a ( x ? 0)

g ?( x) ? ?6ax 2 ? 1 ? ?6a( x ?
当0 ? x ? 当x?

1 1 )( x ? ) 6a 6a

1 时, g ?( x) ? 0 6a

1 时, g ?( x) ? 0 6a 1 1 , ? ?) 上单减 ? g ( x) 在 (0 , ) 上单增,在 ( 6a 6a 1 为 g ( x) 的极大值点,也是 (0 , ?x ? ? ?) 上的最大值点 6a 3 1 1 1 2 ) ? ?2a ? ? ?a ?0 若 g( 得a ? 3 6a 6a 6a 6a

?a ?

3

? f ( x) 在 (0 , ? ?) 上单减

2 时, g ( x) ? 0 ,则 f ?( x) ? 0 3
3

综上,若 f ( x ) 为单调函数,实数 a 的取值范围是 (?? , 0] ? [ ……………….4 分 若使用变量分离法,参照标准给分。

2 , +?) . 3

(Ⅱ)由题设知, f (1)=0 ① (Ⅰ)知, a ? 0 或 a ?
3

2 时, f ( x ) 单调,故 f ( x ) 只一个零点 3

……………….5 分 ②若 f ?(1) ? 0 得 g (1) ? ?3a ? 1 ? 0 得 a ? 则 g ( x) ? ?

1 3

2 3 1 1 1 1? 3 ?1 ? 3 x ? x ? ? ? (2 x3 ? 3x ? 1) ? ? ( x ? 1)( x ? )( x ? ) 3 3 3 3 3 3 ?1 ? 3 当0 ? x ? 或 x ? 1 时 g ( x) ? 0 ,即 f ?( x) ? 0 3 ?1 ? 3 当 ? x ? 1 时 g ( x) ? 0 ,即 f ?( x) ? 0 3 ?1 ? 3 ?1 ? 3 ? f ( x) 在 (0 , ) 和 (1, , 1) 上单增 ? ?) 上单减,在 ( 3 3 ?1 ? 3 ,极大值点 x ? 1 ? f ( x) 的极小值点 x ? 3 ?1 ? 3 又 f( ) ? f (1) ? 0 3 由根据函数的增长速度, x ? 0 时 f ( x) ? ?? , x ??? 时 f ( x) ? ??

? f ( x) 有两个零点,一个在区间 (0 ,

?1 ? 3 ) ,另一个为 x ? 1 .……………….7 分 3 3 1 1 1 2 )?0 ③0 ? a ? 或 ? a ? 时,有 g ( 3 3 3 6a 1 1 ) 上单增,在 ( , ? ?) 上单减, 又 g ( x) 在 (0 , 6a 6a 3 且 g (0) ? ?a ? 0 , x ??? 时 g ( x) ? ?2ax ? x ? a ? ??
故必存在不为1的 x1 、x2 ,使得 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 0 故 x ? (0 ,x1 ) ? ( x2 , ? ?) 时, g ( x) ? 0 ,则 f ?( x) ? 0

x ? ( x1 ,x2 ) 时, g ( x) ? 0 ,则 f ?( x) ? 0 x1 ) 和 ( x2 , ? ?) 上单减,在 ( x1 , x2 ) 上单增 ……………….9 分 ? f ( x) 在 (0 , 1 1) 0 ? a ? 时, g (1) ? ? 3a ? 1? 0,故 0 ? x1 ? 1 ? x2 ,由 f ( x1 ) ? f (1) ? 0 ? f ( x2 ) 及 x ? 0 时 3 f ( x) ? ?? , x ??? 时 f ( x) ? ?? 知, f ( x) 有三个零点
3 1 2 时, ?a? 3 3 1 a 1 ?e 2 ? ae3 ? a e 2 (a ? e) ? a ? ?0 ? f ( ) ? ?1 ? ? a ? 2 ? 1 e e e2 e2 e 1 g (1) ? ?3a ? 1 ? ?3 ? ? 1 ? 0 ,即 f ?(1) ? 0 3 ?必有 0 ? x1 ? x2 ? 1 且 f ( x1 ) ? 0 , f ( x2 ) ? f (1) ? 0 又 x ? 0 时 f ( x) ? ?? , x ??? 时 f ( x) ? ??

2)

故 f ( x ) 有三个零点 ……………….11 分 综上, a ? 0 或 a ?
3

1 1 2 时 , f ( x) 只 一 个 零 点 ; a ? 时 , f ( x) 有 两 个 零 点 ; 0 ? a ? 或 3 3 3

3 1 2 时, f ( x ) 有三个零点.……………….12 分 ?a? 3 3 22.解: (1) BE 平分 ?ABC ,由已知中边的相等,得到 ?CAD ? ?D ,再利用同弧所对的圆周角 相等,可得 ?CAD ? ?D ? ?DBE ,即有 ?ABE ? ?EBD ? ?CAD ? ?D ,利用等量减等量相

等,可得 ?EBD ? ?D ? ?ABE ,故得证; ( 2 ) 有 ( 1 ) 中 的 所 证 条 件 , ?ABE ? ?FAE , 再 加 上 两 个 三 角 形 的 公 共 角 , 可 证 ?BEA ~ ?AEF ,再利用比例线段求 EF 。 试题解析:解:⑴BE 平分∠ABC.∵CD=AC,∴∠D=∠CAD.∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB, ∵∠EBC=∠CAD,∴∠EBC=∠D=∠CAD.∵∠ABC=∠ABE+∠EBC,∠ACB=∠D+∠CAD, ∴∠ABE=∠EBC,即 BE 平分∠ABC ……………….5 分 (2)由(1)知∠CAD=∠EBC =∠ABE. ∵∠AEF=∠AEB,∴△AEF∽△BEA.?

AE EF ? BE AE

AE 2 36 9 ∵AE=6, BE=8. ∴ EF ? ……………….10 分 ? ? BE 8 2
考点:1.圆周角定理;2.三角形相似;3.角平分线定理. 23.解: (1)直线 l 的极坐标方程为 θ= 曲线 C 的参数方程为 ?
2 2

,所以直线斜率为 1,直线 l:y=x; ……….1 分

? x ? cos? (?为参数) ,消去参数 ? ? y ? sin ?
……………….4 分

,可得曲线 C: x ? y ? 1

? ? x ? x0 ? ? (2)设点 M ?x0 . y0 ? 及过点 M 的直线为 L1 : ? ?y ? y ? 0 ? ? 由直线 L1 与曲线 C 相交可得:
t 2 ? 2 ?x0 ? y0 ?t ? x0 ? y0 ? 1 ? 0
2 2

2 t 2 (t为参数) ……………….5 分 2 t 2

……………….6 分 ……………….8 分

因为|MA|?|MB|=3
2 2 所以 x0 ? y0 ? 1 ? 3 ,即: x0 ? y0 ? 4

2

2

?y ? x ? m ? 2 x 2 ? 2m x ? m 2 ? 1 ? 0 ? 2 2 x ? y ? 1 ? 由 ? ? 0 ? ? 2 ? m ? 2 ……………….9 分 2 2 故点 M 的轨迹的直角坐标方程为: x ? y ? 4 (夹在两直线 y ? x? 2 之间的两段圆
弧) ……………….10 分 24.解: (1)由||x﹣1|+2|<5,得﹣5<|x﹣1|+2<5 ∴﹣7<|x﹣1|<3, 得不等式的解为﹣2<x<4 ……………….5 分 (2)因为任意 x1∈R,都有 x2∈R,使得 f(x1)=g(x2)成立, 所以{y|y=f(x)}?{y|y=g(x)}, 又 f(x)=|2x﹣a|+|2x+3|≥|(2x﹣a)﹣(2x+3)|=|a+3|, g(x)=|x﹣1|+2≥2,所以|a+3|≥2,解得 a≥﹣1 或 a≤﹣5,

所以实数 a 的取值范围为 a≥﹣1 或 a≤﹣5. ……………….10 分


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