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2014高考数学总复习(人教新课标理科)单元测试:第10章 统计与概率 Word版含解析]


第十章

单元测试

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.每小题中只有一项 符合题目要求) 1.将编号为 1,2,3,4,5 的五个球放入编号为 1,2,3,4,5 的五个盒子,每个盒内 放一个球, 若恰好有三个球的编号与盒子编号相同,则不同的投放方法的种数为 ( A.6 C.20 答案 解析 B 从编号为 1,

2,3,4,5 的五个球中选出三个与盒子编号相同的球的投放 B.10 D.30 )

方法有 C3 5=10 种;另两个球的投放方法有 1 种,所以共有 10 种不同的投放方 法.选择 B. 1 2.(1+x)10(1+x)10 展开式中的常数项为 A.1
1 C.C20 2 B.(C1 10)

(

)

D.C10 20 D 1 1 1 因 为 (1 + x)10(1 + x )10 = [(1 + x)(1 + x )]10 = (2 + x + x )10 = ( x +

答案 解析

1 20 20-r 1 r 10-r ) (x>0),所以 Tr+1=Cr ( ) =Cr ,由 10-r=0,得 r=10,故常 20( x) 20x x x 数项为 T11=C10 20,选 D. 3.如图, 三行三列的方阵中有 9 个数 aij(i=1,2,3; j=1,2,3), 从中任取三个数, 则至少有两个数位于同行或同列的概率是 ( )

3 A.7

4 B.7

13 C.14 答案 解析 C

1 D.14

6 1 1 13 所取三数既不同行也不同列的概率为C3=14, 所求概率为 1-14=14.
9

4.设随机变量 ξ 服从正态分布 N(3,4),若 P(ξ<2a-3)=P(ξ>a+2),则 a 的 值为 7 A.3 C.5 答案 解析 7 =3. 5.在区间[0,π]上随机取一个数 x,则事件“sinx+ 3cosx≤1”发生的概率 为 1 A.4 1 C.2 答案 解析 C 由题意知,此概率符合几何概型所有基本事件包含的区域长度为 π, 1 B.3 2 D.3 ( ) A 由已知 2a-3,与 a+2 关于 3 对称,故(2a-3)+(a+2)=6,解得 a 5 B.3 D.3 ( )

π 1 设 A 表示取出的 x 满足 sinx+ 3cosx≤1 这样的事件, 对条件变形为 sin(x+3)≤2, π 2 1 π 即事件 A 包含的区域长度为2.∴P(A)=π=2. 6.一个坛子里有编号 1,2,?,12 的 12 个大小相同的球,其中 1 到 6 号球 是红球,其余的是黑球,若从中任取两个球,则取到的都是红球,且至少有 1 个球的号码是偶数的概率为 1 A.22 3 C.22 答案 D 1 B.11 2 D.11 ( )

解析

分类:一类是两球号均为偶数且红球,有 C2 3种取法;另一类是两球

1 号码是一奇一偶有 C1 3C3种取法,

因此所求的概率为

1 1 C2 2 3+C3C3 = 2 C12 11.

7.已知实数 x∈[0,8],执行如下图所示的程序框图,则输出的 x 不小于 55 的概率为 ( )

1 A.4 3 C.4 答案 解析 A

1 B.2 4 D.5

程序框图经过 3 次运行后,得到

2[2(2x+1)+1]+1,即 2[2(2x+1)+1]+1≥55. 8-6 1 所以 x≥6,所以 P= 8 =4. 8.体育课的排球发球项目考试的规则是每位学生最多可发球 3 次,一旦发 球成功,则停止发球,否则一直发到 3 次为止.设学生一次发球成功的概率为 p(p≠0),发球次数为 X,若 X 的数学期望 E(X)>1.75,则 p 的取值范围是 A.(0, 7 ) 12 B.( 7 ,1) 12

1 C.(0,2) 答案 解析 C

1 D.(2,1)

发球次数 X 的分布列如下表, X P 1 p 2 (1-p)p 3 (1-p)2

所以期望 E(X)=p+2(1-p)p+3(1-p)2>1.75, 5 1 解得 p>2(舍去)或 p<2,又 p>0,故选 C. 9.连掷两次骰子分别得到点数 m、n,向量 a=(m,n),b=(-1,1)若在△ ABC 中, A B与 a 同向, C B与 b 反向,则∠ABC 是钝角的概率是 5 A.12 3 C.9 答案 解析 A 要使∠ABC 是钝角,必须满足A B· C B<0,即 a· b=n-m>0,连掷两 7 B.12 4 D.9





(

)

→ →

5 次骰子所得点数 m、n 共有 36 种情形,其中 15 种满足条件,故所求概率是12. 10 . 某 计 算 机 程 序 每 运 行 一 次 都 随 机 出 现 一 个 五 位 的 二 进 制 数

其中 A 的各位数中,a1=1,ak(k=2,3,4,5)出现 0 的概率 1 2 为3,出现 1 的概率为3.记 ξ=a1+a2+a3+a4+a5,当程序运行一次时,ξ 的数学 期望 E(ξ)= 8 A.27 11 C. 3 答案 解析 C 1420 1 ξ=1 时,P1=C0 4( ) ( ) = 4, 3 3 3 16 B.81 65 D.81 ( )

132 8 ξ=2 时,P2=C1 4( ) ·= 4, 3 3 3 1 2 2 24 ξ=3 时,P3=C2 (3)2· (3) = 34 , 4· 1 2 3 32 ξ=4 时,P4=C3 4( )· 3 (3) = 34 , 2 4 16 ξ=5 时,P5=C4 4( ) = 4 , 3 3

1 8 24 32 16 11 E(ξ)=1×34+2×34+3× 34 +4× 34 +5× 34 = 3 . 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,把答案填在题中横线 上) 11.将一个骰子连续抛掷三次,它落地时向上的点数依次 成等差数列的概率 .. 为________. 答案 解析 1 12 将一个骰子连抛三次,共有 n=63 种不同情形.其中,落地时向上的

点数依次成等差数列的有: ①公差 d=± 1 的有 4×2=8(种); ②公差为± 2 的有 2×2 =4(种);③公差 d=0 的有 6 种,共有 m=8+4+6=18(种),故所求概率为 P= m 18 1 n = 63 =12. 12.

用茎叶图记录甲、乙两人在 5 次体能综合测评中的成绩(成绩为两位整数), 现乙还有一次不小于 90 分的成绩未记录,则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的 概率为________. 答案 解析 8 4 为10=5. 1 13.(2012· 广东)(x2+ x)6 的展开式中 x3 的系数为______.(用数字作答) 答案 解析 20 1 2 6 -r 1 r 12-3r 由(x2+ x)6 的展开式的通项为 Tr+1=Cr (x ) =Cr .令 12-3r 6(x ) 6x 6×5×4 =20. 1×2×3 4 5 由题意,得基本事件总数为 10,满足要求的有 8 个,所以所求概率

=3,得 r=3,所以展开式中 x3 的系数为 C3 6=

14.(2012· 上海)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择 其中两个项目,则有且仅有两人选择项目完全相同的概率是 ________(结果用最

简分数表示). 答案 解析 2 3 根据条件求出基本事件的个数,再利用古典概型的概率计算公式求

3 解.因为每人都从三个项目中选择两个,有(C2 3) 种选法,其中“有且仅有两人

选择的项目完全相同”的基本事件有

1 1 C2 3C3C2 2 2 1 1 C3C3C2个,故所求概率为 3 = . 3 ?C2 3?

15.袋中有 3 个黑球,1 个红球.从中任取 2 个,取到一个黑球得 0 分,取 到一个红球得 2 分,则所得分数 ξ 的数学期望 E(ξ)=________. 答案 解析 1 由题得 ξ 所取得的值为 0 或 2,其中 ξ=0 表示取得的球为两个黑球,

C2 C1 3 1 3 1 ξ=2 表示取得的球为一黑一红,所以 P(ξ=0)=C2=2,P(ξ=2)=C2=2,故 E(ξ) 4 4 1 1 =0×2+2×2=1. 16. 为落实素质教育,衡水重点中学拟从 4 个重点研究性课题和 6 个一般研 究性课题中各选 2 个课题作为本年度该校启动的课题项目,若重点课题 A 和一 般课题 B 至少有一个被选中的不同选法种数是 k, 则二项式(1+kx2)6 的展开式中, x4 的系数为________. 答案 解析 54 000
1 1 2 2 1 4 2 用直接法:k=C1 3C5+C3C5+C3C5=15+30+15=60,x 的系数为 C6

k2=15×3 600=54 000. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)为备战 2013 年天津东亚运动会,射击队努力拼博, 科学备战.现对一位射击选手 100 发子弹的射击结果统计如下: 环数 频数 10 环 20 9环 35 8环 25 7环 13 6环 5 5 环以下 (含 5 环) 2

试根据以上统计数据估算: (1)该选手一次射击命中 8 环以上(含 8 环)的概率;

(2)该选手射击 2 发子弹取得 19 环以上(含 19 环)成绩的概率. 解析 以该选手射击的频率近似估算概率.

(1)射击一次击中 8 环以上的概率约为 P= 20+35+25 =0.8. 100

(2)记一次射击命中 10 环为事件 p1,则 p1=0.2, 一次射击命中 9 环为事件 p2,则 p2=0.35, 于是两次射击均命中 10 环的概率约为 P(A)=(p1)2=0.04. 两次射击一次命中 10 环,一次命中 9 环的概率约为
1 P(B)=C2 p1p2=0.14,

即该选手射击 2 发子弹取得 19 环以上(含 19 环)成绩的概率约为 0.18. 18.(本小题满分 12 分)甲、乙两人各进行 3 次射击,甲每次击中目标的概 1 2 率为2,乙每次击中目标的概率为3. (1)记甲击中目标的次数为 ξ,求 ξ 的概率分布及数学期望 E(ξ); (2)求乙至多击中目标 2 次的概率; (3)求甲恰好比乙多击中目标 2 次的概率. 解析 13 1 3 3 1 1 3 2 1 3 (1)P(ξ=0)=C0 3( ) = ; 2 8 P(ξ=1)=C3(2) =8;P(ξ=2)=C3(2) =8;P(ξ

13 1 =3)=C3 3( ) = . 2 8 ξ 的概率分布如下表 ξ P 0 1 8 1 3 8 2 3 8 3 1 8

1 3 3 1 E(ξ)=0× +1× +2× +3× =1.5. 8 8 8 8 19 3 2 3 (2)乙至多击中目标 2 次的概率为 1-C3 (3) =27. (3)设“甲恰比乙多击中目标 2 次”为事件 A, “甲恰击中目标 2 次且乙恰击 中目标 0 次”为事件 B1, “甲恰击中目标 3 次且乙恰击中目标 1 次”为事件 B2, 则 A=B1+B2,B1,B2 为互斥事件.

3 1 1 2 1 P(A)=P(B1)+P(B2)=8×27+8×9=24. 1 所以,甲恰好比乙多击中目标 2 次的概率为24. 19.(本小题满分 12 分)某位收藏爱好者鉴定一件物品时,将正品错误地鉴 1 1 定为赝品的概率为3,将赝品错误地鉴定为正品的概率为2.已知一批物品共有 4 件,其中正品 3 件、赝品 1 件. (1)求该收藏爱好者的鉴定结果为正品 2 件、赝品 2 件的概率; (2)求该收藏爱好者的鉴定结果中正品数 X 的分布列及数学期望. 解析 (1)有两种可能使得该收藏爱好者的鉴定结果为正品 2 件、赝品 2 件:

其一是错误地把一件正品鉴定为赝品,其他鉴定正确;其二是错误地把两件正品 鉴定为赝品,把一件赝品鉴定为正品,其他鉴定正确. 1 22 1 12 2 1 1 2 则所求的概率为 C1 3× ×( ) × +C3×( ) × × = . 3 3 2 3 3 2 3 (2)由题意知 X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4. 1 1 1 P(X=0)=(3)3×2=54; 1 2 1 1 1 7 2 P(X=1)=C3 ×(3)2×3×2+(3)3×2=54; 1 P(X=2)=3; 2 1 2 1 1 10 1 P(X=3)=(3)3×2+C3 ×(3)2×3×2=27; 2 1 4 P(X=4)=(3)3×2=27. 故 X 的分布列为 X P 0 1 54 1 7 54 2 1 3 3 10 27 4 4 27

1 7 1 10 4 5 所以 X 的数学期望 E(X)=0×54+1×54+2×3+3×27+4×27=2. 20.(本小题满分 12 分)已知 A1,A2,A3,?,A6 共 6 所高校举行自主招生 1 考试,某同学参加这 6 所高校的考试获得通过的概率均为2.

(1)若这 6 所高校的考试该同学都参加,试求该同学恰好通过 2 所高校自主 招生考试的概率; (2)假设该同学参加每所高校考试所需的报名费用均为 200 元,该同学决定 按 A1,A2,A3,?,A6 的顺序参加考试,一旦通过某所高校的考试,就不再参 加其他高校的考试,试求该同学参加考试所需报名费用 ξ 的分布列及数学期望. 解析 1 (1)因为该同学通过各校考试的概率均为2,所以该同学恰好通过 2 所

12 1 4 15 高校自主招生考试的概率为 P=C2 6( ) (1- ) = . 2 2 64 (2) 设 该 同 学 共 参 加了 i 次 考 试的 概 率为 Pi(1≤i≤6 , i ∈ Z) , 则 Pi = 1 ? ?2i,1≤i≤5,i∈Z, ?1 ? ?25,i=6, 所以该同学参加考试所需报名费用 ξ 的分布列为 ξ P 200 1 2 400 1 22 600 1 23 800 1 24 1 000 1 25 1 200 1 25

1 1 1 1 1 1 64 1 575 E(ξ)=(2×1+22×2+23×3+24×4+25×5+25×6)×200= 25 ×200= 4 . 21.(本小题满分 12 分)李先生家在 H 小区,他在 C 科技园区工作,从家开 车到公司上班有 L1,L2 两条路线(如图),路线 L1 上有 A1,A2,A3 三个路口,各 1 路口遇到红灯的概率均为2;路线 L2 上有 B1,B2 两个路口,各路口遇到红灯的 3 3 概率依次为4,5.

(1)若走路线 L1,求最多遇到 1 次红灯的概率; (2)若走路线 L2,求遇到红灯次数 X 的数学期望; (3)按照“平均遇到红灯的次数最少”的要求,请你帮助李先生分析上述两 条路线中,选择哪条路线上班更好些,并说明理由.

解析

13 (1)设“走路线 L1 最多遇到 1 次红灯”为事件 A,则 P(A)=C0 3×( ) 2

1 12 1 +C1 3× ×( ) = . 2 2 2 1 所以走路线 L1 最多遇到 1 次红灯的概率为2. (2)依题意,X 的可能取值为 0,1,2. 3 3 1 P(X=0)=(1-4)×(1-5)=10, 3 3 3 3 9 P(X=1)=4×(1-5)+(1-4)×5=20, 3 3 9 P(X=2)=4×5=20. 随机变量 X 的分布列为 X P 0 1 10 1 9 20 2 9 20

1 9 9 27 所以 E(X)=10×0+20×1+20×2=20. (3)设选择路线 L1 遇到红灯的次数为 Y,随机变量 Y 服从二项分布,即 Y~ 1 B(3,2), 1 3 所以 E(Y)=3×2=2. 因为 E(X)<E(Y),所以选择路线 L2 上班更好. 22. (本小题满分 12 分)(2012· 湖南)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等 信息, 安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 名顾客的相关数据,如下表 所示. 一次 购物量 顾客 数(人) 结算时间 (分钟/人) x 30 25 y 10 1至4件 5至8件 9至 12 件 13 至 16 件 17 件 及以上

1

1.5

2

2.5

3

已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55%. (1)确定 x,y 的值,并求顾客一次购物的结算时间 X 的分布列与数学期望; (2)若某顾客到达收银台时前面恰有 2 位顾客需结算,且各顾客的结算相互 独立,求该顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟的概率. (注:将频率视为概率) 解析 (1)由已知得 25+y+10=55,x+30=45,所以 x=15,y=20.

该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体, 所收集的 100 位顾客一 次购物的结算时间可视为总体的一个容量为 100 的简单随机样本. 将频率视为概 率得 15 3 P(X=1)=100=20, 30 3 P(X=1.5)=100=10, 25 1 P(X=2)=100=4, 20 1 P(X=2.5)=100=5, 10 1 P(X=3)=100=10. X 的分布列为 X P X 的数学期望为 3 3 1 1 1 E(X)=1×20+1.5×10+2×4+2.5×5+3×10=1.9. (2)记 A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟”, Xi(i=1,2)为该 顾客前面第 i 位顾客的结算时间,则 P(A)=P(X1=1 且 X2=1)+P(X1=1 且 X2=1.5)+P(X1=1.5 且 X2=1). 由于各顾客的结算相互独立,且 X1,X2 的分布列都与 X 的分布列相同,所 以 P(A) = P(X1 = 1)×P(X2 = 1) + P(X1 = 1)×P(X2 = 1.5) + P(X1 = 1.5)×P(X2 = 1) 1 3 20 1.5 3 10 2 1 4 2.5 1 5 3 1 10

3 3 3 3 3 3 9 =20×20+20×10+10×20=80. 9 故该顾客结算前的等候时间不超过两分半钟的概率为80.

1.(2012· 唐山一中)4 张卡片上分别写有数字 1,2,3,4,从这 4 张卡片中随机 抽取 2 张,则取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的概率为 1 A.3 2 C.3 答案 解析 C 从 4 张卡片中随机抽取 2 张, 则取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数 1 B.2 3 D.4 ( )

4 2 的概率为C2=3. 4 2.甲、乙、丙 3 人进行擂台赛,每局 2 人进行单打比赛,另 1 人当裁判, 每一局的输方当下一局的裁判,由原来裁判向胜者挑战,比赛结束后,经统计, 甲共打了 5 局,乙共打了 6 局,而丙共当了 2 局裁判,那么整个比赛共进行了 ( A.9 局 C.13 局 答案 解析 A 由题意甲与乙之间进行了两次比赛,剩余赛事为甲与丙或乙与丙进 B.11 局 D.18 局 )

行,因此比赛场数为 5+6-2=9. 3.

某人设计一项单人游戏,规则如下:先将一棋子放在如图所示正方形 ABCD(边长为 3 个单位)的顶点 A 处,然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边 按逆时针方向行走的单位,若掷出的点数为 i(i=1,2,?,6),则棋子就按逆时 针方向行走 i 个单位,一直循环下去.则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点

A 处的所有不同走法共有 A.22 种 C.25 种 答案 解析 C B.24 种 D.36 种

(

)

抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点 A 处是指三次投掷骰子之和为 12,

第一颗骰子点数为 1 时,有 2 种方法;第一颗骰子点数为 2 时,有 3 种方法;第 一颗骰子点数为 3 时,有 4 种方法;第一颗骰子点数为 4 时,有 5 种方法;第一 颗骰子点数 5 时,有 6 种方法;第一颗骰子点数为 6 时,有 5 种方法,共有 2+ 3+4+5+6+5=25(种)方法. 4.(2013· 河南商丘二模)同时随机掷两颗骰子,则至少有一颗骰子向上的点 数小于 4 的概率为 1 A.9 1 C.4 答案 解析 D 共有 36 种情况, 其中至少有一颗骰子向上的点数小于 4 有 27 种情况, 8 B.9 3 D.4 ( )

27 3 所以所求概率为36=4. 5.在三次独立重复试验中,事件 A 在每次试验中发生的概率相同,若事件 63 A 至少发生一次的概率为64,则事件 A 恰好发生一次的概率为 1 A.4 9 C.64 答案 解析 C 63 设事件 A 在每次试验中发生的概率为 x,由题意有 1-(1-x)3=64, 3 B.4 27 D.64 ( )

3 3 9 1 3 得 x=4,则事件 A 恰好发生一次的概率为 C3 ×4×(1-4)2=64. 6.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次,记“硬币正面向上”为事件 A,“骰子向上的点数是 3”为事件 B,则事件 A,B 中至少有一个发生的概率是

( 5 A.12 7 C.12 答案 解析 C 1 B.2 3 D.4

)

1 1 依题意,得 P(A)=2,P(B)=6,事件 A,B 中至少有一个发生的概率

1 5 7 为 1-P( A ·B )=1-P( A )· P( B )=1-2×6=12,故选 C. 7.已知(1+x)+(1+x)2+?+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+?+anxn,且 a1+a2 +?+an-1=29-n,则 n=________. 答案 解析 4 令 x=0,则有 a0=n,令 x=1,则 a0+a1+a2+?+an-1+an=2n+1

-2.又∵Cn 10 · xn=anxn,∴an=1. n· ∴29-n=2n+1-2-1-n,则 n=4. 8.某射击比赛,开始时在距目标 100 米处射击,如果命中记 3 分,且停止 射击;若第一次射击未命中,可以进行第二次射击,但目标已在 150 米处,这时 命中记 2 分,且停止射击;若第二次仍未命中还可以进行第三次射击,但此时目 标已在 200 米处,若第三次命中则记 1 分,并停止射击;第三次都未命中,则记 1 0 分.已知射手在 100 米处命中目标的概率为2,他的命中率与目标距离的平方 成反比,且各次射击都是独立的. (1)求这名射手在射击比赛中命中目标的概率; (2)求这名射手在比赛中得分的数学期望. 解析 记“第一、二、三次射击命中目标”分别为事件 A,B,C,“三次

1 都未命中目标”为事件 D.依题意知 P(A)=2, 设在 x 米处命中目标的概率为 P(x), k 则 P(x)=x2. 1 因为当 x=100 时,P(A)=2, 1 k 5 000 所以2=1002,解得 k=5 000,所以 P(x)= x2 .

5 000 2 5 000 1 1 7 7 则 P(B)= 1502 =9, P(C)= 2002 =8, P(D)=P( A )· P( B )· P( C )=2×9×8= 49 144. (1)记“该射手在射击比赛中命中目标”为事件 E,易知事件 E 的对立事件 49 95 为事件 D,则 P(E)=1-P(D)=1-144=144.故这名射手在射击比赛中命中目标 95 的概率为144. 1 (2)设射手得分为 ξ,则 ξ 的可能取值为 0、1、2、3.则 P(ξ=3)=2,P(ξ=2) 1 2 1 1 7 1 7 1 7 7 49 =2×9=9,P(ξ=1)=2×9×8=144,P(ξ=0)=2×9×8=144. ξ 的分布列为 ξ P 3 1 2 2 1 9 1 7 144 0 49 144

1 1 7 49 85 所以 E(ξ)=3×2+2×9+1×144+0×144=48. 9.“剪刀、石头、布”游戏的规则是:出拳之前双方齐喊口令,然后在话 音刚落时同时出拳.握紧的拳头代表“石头”,食指和中指伸出代表“剪刀”, 五指伸开代表“布”.“石头”胜“剪刀”,“剪刀”胜“布”,而“布”又胜 过“石头”,若所出的拳相同,则为和局.现甲乙二人通过“剪刀、石头、布” 游戏进行比赛. (1)设甲乙二人每局都随机出“剪刀”、“石头”、“布”中的某一个,求 甲胜乙的概率; (2)据专家分析,乙有以下的出拳习惯:①第一局不出“剪刀”;②连续两 局的出拳方法一定不一样, 即如果本局出“剪刀”, 那么下局将不再出“剪刀”, 而是选择“石头”“布”中的某一种.假设专家的分析是正确的,甲根据专家的 分析出拳,保证每一局都不输给乙.在最多 5 局的比赛中,谁胜的局数多,谁获 胜.游戏结果的条件为:一方胜 3 局或赛满 5 局,用 ξ 表示游戏结束时的游戏局 数,求 ξ 的分布列和期望. 解析
1 1 1 1 (1)甲有 C3 种出拳方法,乙也有 C3 种出拳方法,所以总共有 C3 · C3=9

种方法.甲胜乙的情况有:甲出“剪刀”乙出“布”,甲出“石头”乙出“剪 3 1 刀”,甲出“布”乙出“石头”,共 3 种,所以甲胜乙的概率为9=3. (2)第一局乙不出“剪刀”,则乙只能出“石头”或“布”,此时甲应该出 1 “布”,才能保证不输给乙,则甲获胜的概率为2;不妨设乙第一局出的是“石 头”,则乙第二局只能出“剪刀”或“布”,此时甲应该出“剪刀”,才能保证 1 1 不输给乙,则甲获胜的概率为2;同理,第三、四、五局甲获胜的概率也为2. ∵ξ 的可能取值为 3,4,5, 1 1 ∴P(ξ=3)=(2)3=8, 3 2 1 21 1 P(ξ=4)=C3 (2) 2· 2=16, 1 3 11 P(ξ=5)=1-8-16=16. ∴ξ 的分布列为 ξ P 3 1 8 4 3 16 5 11 16

1 3 11 73 ∴期望 E(ξ)=3×8+4×16+5×16=16. 10.某单位实行休年假制度三年以来,50 名职工休年假的次数进行的调查 统计结果如下表所示: 休假次数 人数 根据上表信息解答以下问题: (1)从该单位任选两名职工,用 η 表示这两人休年假次数之和,记“函数 f(x) =x2-ηx-1 在区间(4,6)上有且只有一个零点”为事件 A, 求事件 A 发生的概率 P; (2)从该单位任选两名职工, 用 ξ 表示这两人休年假次数之差的绝对值, 求随 机变量 ξ 的分布列及数学期望 E(ξ). 解析 点, (1)函数 f(x)=x2-ηx-1 过(0,-1)点,在区间(4,6)上有且只有一个零 0 5 1 10 2 20 3 15

?f?4?<0, ?16-4η-1<0, 则必有? 即? ?f?6?>0, ?36-6η-1>0, 15 35 解得 4 <η< 6 ,所以,η=4 或 η=5.
1 1 C2 68 20+C10C15 当 η=4 时,P1= = 2 C 245, 50 1 C1 20C15 12 当 η=5 时,P2= C2 =49, 50

η=4 与 η=5 为互斥事件,所以有一个发生的概率公式 68 12 128 P=P1+P2=245+49=245. (2)从该单位任选两名职工,用 ξ 表示这两人休年假次数之差的绝对值,则 ξ 的可能取值分别是 0,1,2,3.
2 2 2 C5 +C10 +C2 20+C15 2 于是 P(ξ=0)= =7, 2 C50

P(ξ=1)=

1 1 1 1 1 C5 C10+C1 22 10C20+C15C20 = 2 C50 49,

1 1 1 C5 C20+C1 10C15 10 P(ξ=2)= =49, 2 C50 1 1 C5 C15 3 P(ξ=3)= C2 =49. 50

从而 ξ 的分布列为 ξ P 0 2 7 1 22 49 2 10 49 3 3 49

2 22 10 3 51 ξ 的数学期望 E(ξ)=0×7+1×49+2×49+3×49=49. 11.在上海世博会期间中国馆和美国馆异常火爆,10 月 1 日中国馆内有 2 个广东旅游团和 2 个湖南旅游团,美国馆内有 2 个广东旅游团和 3 个湖南旅游 团. 现从中国馆中的 4 个旅游团选出其中一个旅游团,与从美国馆中的 5 个旅游 团中选出的其中一个旅游团进行互换. (1)求互换后中国馆恰有 2 个广东旅游团的概率; (2)求互换后中国馆内广东旅游团数的期望. 解析 (1)记 A={互换后中国馆恰有 2 个广东旅游团},

①互换的都是广东旅游团,则此时中国馆恰有 2 个广东旅游团为事件 A1 的
1 C1 2C2 1 概率为 P(A1)=C1C1=5. 4 5

②互换的都是湖南旅游团,则此时中国馆恰有 2 个广东旅游团事件 A2 的概
1 C1 3 2C3 率为 P(A2)=C1C1=10. 4 5

1 3 1 又 A=A1∪A2,且 A1,A2 互斥事件,则 P(A)=P(A1)+P(A2)=5+10=2. 1 ∴互换后中国馆恰有 2 个广东旅游团的概率为2. (2)设互换后中国馆内广东旅游团数为 ξ,则 ξ 的取值为 1,2,3.
1 1 1 1 C2 C3 3 1 C2 C2 1 P(ξ=1)=C1C1=10,P(ξ=2)=2,P(ξ=3)=C1C1=5, 4 5 4 5

∴ξ 的分布列为 ξ P 1 3 10 2 1 2 3 1 5

3 1 1 19 ∴E(ξ)=10×1+2×2+5×3=10. 19 ∴互换后中国馆内广东旅游团的期望为10. 12.某班同学利用国庆节进行社会实践,对[25,55]岁的人群随机抽取 n 人进 行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查,若生活习惯符合低碳观念的称为 “低碳族”, 否则称为“非低碳族”,得到如下统计表和各年龄段人数频率分布 直方图: 组数 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 分组 [25,30) [30,35) [35,40) [40,45) [45,50) [50,55] 低碳族的人数 占本组的频率 120 195 100 a 30 15 0.6 p 0.5 0.4 0.3 0.3

(1)补全频率分布直方图,并求 n、a、p 的值; (2)从[40,50)岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取 18 人参加户外低 碳体验活动,其中选取 3 人作为领队,记选取的 3 名领队中年龄在[40,45)岁的人 数为 X,求 X 的分布列和期望 E(X). 解析 (1)第二组的频率为 1-(0.04+0.04+0.03+0.02+0.01)×5=0.3, ∴高

0.3 为 5 =0.06.频率直方图如下:

120 第一组的人数为 0.6 =200,频率为 0.04×5=0.2, 200 ∴n= 0.2 =1 000.由题可知,第二组的频率为 0.06×5=0.3, 195 ∴第二组的人数为 1 000×0.3=300,∴p=300=0.65. 第四组的频率为 0.03×5=0.15,∴第四组的人数为 1 000×0.15=150,∴a =150×0.4=60. (2)∵[40,45)岁年龄段的“低碳族 ”与[45,50)岁年龄段的 “低碳族” 的比值 为 60∶30=2∶1,∴采用分层抽样法抽取 18 人,[40,45)岁中有 12 人,[45,50) 岁中有 6 人. ∵随机变量 X 服从超几何分布,
0 3 2 C12 C6 5 C1 12C6 15 ∴P(X=0)= C3 =204,P(X=1)= C3 =68, 18 18

2 1 0 C12 C6 33 C3 55 12C6 P(X=2)= C3 =68,P(X=3)= C3 =204. 18 18

∴随机变量 X 的分布列为 X P 0 5 204 1 15 68 2 33 68 3 55 204

5 15 33 55 ∴E(X)=0×204+1×68+2×68+3×204=2. 13.四个纪念币 A、B、C、D,投掷时正面向上的概率如下表所示(0<a<1). 纪念币 概率 A 1 2 B 1 2 C a D a

这四个纪念币同时投掷一次,设 ξ 表示出现正面向上的个数. (1)求 ξ 的分布列与数学期望; (2)在概率 P(ξ=i)(i=0,1,2,3,4)中,若 P(ξ=2)的值最大,求 a 的取值范围. 解析 为 0,1,2,3,4. 1 0 1 0 P(ξ=0)=C2 (1- )2C2 (1-a)2= (1-a)2, 2 4 1 0 12 1 1 11 2 0 P(ξ=1)=C2 · 2(1-2)C2(1-a) +C2(1-2) C2a(1-a)=2(1-a), 1 1 1 12 2 2 1 2 1 2 0 0 P(ξ=2)=C2 · (2) C2 (1-a)2 +C1 2· (1- )C 2a(1-a)+ C 2 (1- ) C2 a = (1+ 2a 2 2 2 4 -2a2), 1 1 2 2 a 2 1 2 1 P(ξ=3)=C2 (2) C2a(1-a)+C1 2·(1- )C2a = , 2 2 2
2 1 2 2 2 1 2 P(ξ=4)=C2 (2) C2a =4a .

(1)P(ξ)是 ξ 个正面向上,4-ξ 个背面向上的概率.其中 ξ 的可能取值

∴ξ 的分布列为 ξ P 0 1 2 4(1-a) 1 1 2(1-a) 2 1 2 4(1+2a-2a ) 3 a 2 4 1 2 4a

ξ 的数学期望为 1 1 1 a 1 E(ξ)=0× 4(1 -a)2 + 1× 2(1 - a)+ 2× 4×(1 + 2a - 2a2)+ 3× 2 +4× 4 a2 = 2a

+1. (2)∵0<a<1,∴P(ξ=0)<P(ξ=1),P(ξ=4)<P(ξ=3). 1-a 1 则 P(ξ=2)-P(ξ=1)=4(1+2a-2a2)- 2 1 =-4(2a2-4a+1)≥0, 1 a P(ξ=2)-P(ξ=3)=4(1+2a-2a2)-2 1 =-4(2a2-1)≥0,
2 ?2a -4a+1≤0, 2- 2 2- 2 2 2 由? 2 得 2 ≤a≤ 2 ,即 a 的取值范围是[ 2 , 2 ]. ?2a -1≤0,

14.四个大小相同的小球分别标有数字 1、1、2、2,把它们放在一个盒子 里,从中任意摸出两个小球,它们所标有的数字分别为 x,y,记 ξ=x+y. (1)求随机变量 ξ 的分布列及数学期望; (2)设“函数 f(x)=x2-ξx-1 在区间(2,3)上有且只有一个零点”为事件 A, 求 事件 A 发生的概率. 解析 (1)由题知随机变量 ξ 的可能取值为 2,3,4.

从盒子中摸出两个小球的基本事件总数为 C2 4=6. 当 ξ=2 时,摸出的小球所标的数字为 1、1, 1 ∴P(ξ=2)=6. 当 ξ=4 时,摸出的小球所标的数字为 2、2, 1 ∴P(ξ=4)=6. 1 1 2 ∴可知当 ξ=3 时,P(ξ=3)=1-6-6=3. ∴ξ 的分布列为 ξ P 1 2 1 ∴E(ξ)=2×6+3×3+4×6=3. (2)∵函数 f(x)=x2-ξx-1 在区间(2,3)上有且只有一个零点,∴f(2)f(3)<0, 2 1 6 3 2 3 4 1 6

即(3-2ξ)(8-3ξ)<0. 3 8 ∴2<ξ<3,且 ξ 的所有可能取值为 2、3、4. 1 ∴ξ=2,∴P(A)=P(ξ=2)=6. 1 ∴事件 A 发生的概率为6. 15.

要从甲,乙两名运动员中选拔一人参加 2013 年天津东亚运动会跳水项目, 对甲、 乙两人进行培训. 现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机 抽取 6 次,得出成绩茎叶图如图所示. (1)从平均成绩及发挥稳定性的角度考虑,你认为选派哪名运动员更合适? (2)若将频率视为概率,对甲运动员在今后 3 次的比赛成绩进行预测,记这 3 次成绩中高于 80 分的次数为 ξ,求 ξ 的分布列及数学期望. 解析 1 (1) x 甲=6(78+79+81+84+93+95)=85,

1 x 乙=6(75+80+83+85+92+95)=85, 1 2 2 2 2 2 2 s2 甲 = [(78 - 85) + (79 - 85) + (81 - 85) + (84 - 85) + (93 - 85) + (95 - 85) ] 6 133 = 3 , 1 2 2 2 2 2 2 s2 乙 = [(75 - 85) + (80 - 85) + (83 - 85) + (85 - 85) + (92 - 85) + (95 - 85) ] 6 139 = 3 .
2 ∵s2 甲<s乙,∴甲的发挥更稳定,∴选派甲更合适.

2 (2)由题知甲成绩高于 80 分的概率 P=3, ξ 可能取 0,1,2,3. 2? ? 由题意,得 ξ~B?3,3?. ? ?

?2?k?1?3-k P(ξ=k)=Ck ,k=0,1,2,3, 3?3? ?3? ? ?? ? ξ 的分布列为 ξ P 2 E(ξ)=3×3=2. 16.(2012· 大纲全国)乒乓球比赛规则规定:一局比赛,双方比分在 10 平前, 一方连续发球 2 次后,对方再连续发球 2 次,依次轮换.每次发球,胜方得 1 分,负方得 0 分.设在甲、乙的比赛中,每次发球,发球方得 1 分的概率为 0.6, 各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中,甲先发球. (1)求开始第 4 次发球时,甲、乙的比分为 1 比 2 的概率; (2)ξ 表示开始第 4 次发球时乙的得分,求 ξ 的期望. 解析 记 Ai 表示事件:第 1 次和第 2 次这 2 次发球,甲共得 i 分,i=0,1,2; 0 1 27 1 6 27 2 12 27 3 8 27

A 表示事件:第 3 次发球,甲得 1 分; B 表示事件:开始第 4 次发球时,甲、乙的比分为 1 比 2. (1)B=A0· A+A1·A , P(A)=0.4,P(A0)=0.42=0.16,P(A1)=2×0.6×0.4=0.48, P(B)=P(A0· A+A1·A ) =P(A0· A)+P(A1·A ) =P(A0)P(A)+P(A1)P( A ) =0.16×0.4+0.48×(1-0.4)=0.352. (2)P(A2)=0.62=0.36. ξ 的可能取值为 0,1,2,3. P(ξ=0)=P(A2· A)=P(A2)P(A)=0.36×0.4=0.144, P(ξ=2)=P(B)=0.352, P(ξ=3)=P(A0·A )=P(A0)P( A )=0.16×0.6=0.096, P(ξ=1)=1-P(ξ=0)-P(ξ=2)-P(ξ=3) =1-0.144-0.352-0.096=0.408.

E(ξ)=0×P(ξ=0)+1×P(ξ=1)+2×P(ξ=2)+3×P(ξ=3) =0.408+2×0.352+3×0.096=1.400. 17.(2012· 江苏)设 ξ 为随机变量,从棱长为 1 的正方体的 12 条棱中任取两 条,当两条棱相交时,ξ=0;当两条棱平行时,ξ 的值为两条棱之间的距离;当 两条棱异面时,ξ=1. (1)求概率 P(ξ=0); (2)求 ξ 的分布列,并求其数学期望 E(ξ). 解析 (1)若两条棱相交,则交点必为正方体 8 个顶点中的 1 个,过任意 1
12

2 8×3 4 8C3 个顶点恰有 3 条棱,所以共有 8C2 对相交棱,因此 P ( ξ = 0) = = 2 3 C 66 =11.

(2)若两条棱平行,则它们的距离为 1 或 2,其中距离为 2的共有 6 对,故 6 1 P(ξ= 2)=C2 =11. 12 4 1 6 于是 P(ξ=1)=1-P(ξ=0)-P(ξ= 2)=1-11-11=11. 所以随机变量 ξ 的分布列是 ξ P(ξ) 0 4 11 1 6 11 2 1 11

6 1 6+ 2 因此 E(ξ)=1×11+ 2×11= 11 . 18.(2012· 山东)现有甲、乙两个靶,某射手向甲靶射击一次,命中的概率为 3 2 ,命中得 1 分,没有命中得 0 分;向乙靶射击两次,每次命中的概率为 4 3,每命 中一次得 2 分,没有命中得 0 分,该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手 完成以上三次射击. (1)求该射手恰好命中一次的概率; (2)求该射手的总得分 X 的分布列及数学期望 E(X). 解析 (1)记: “该射手恰好命中一次”为事件 A, “该射手射击甲靶命中”

为事件 B,“该射手第一次射击乙靶命中”为事件 C,“该射手第二次射击乙靶 命中”为事件 D, 3 2 由题意知 P(B)=4,P(C)=P(D)=3.

由于 A=B C

D+BC D+B

C D,

根据事件的独立性和互斥性得 P(A)=P(B C =P(B C D+BC D+B C D) C D)

D )+P( B C D )+P( B

2? ? 2? ? 3? 2 ? 2? ? 3? ? 2? 2 7 3 ? =4×?1-3?×?1-3?+?1-4?×3×?1-3?+?1-4?×?1-3?×3=36. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (2)根据题意,X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4,5. 根据事件的独立性和互斥性得 P(X=0)=P( B C D)

=[1-P(B)][1-P(C)][1-P(D)] 3? ? 2? ? 2? 1 ? =?1-4?×?1-3?×?1-3?=36, ? ? ? ? ? ? P(X=1)=P(B C D )=P(B)P( C )P( D )

2? ? 2? 1 3 ? =4×?1-3?×?1-3?=12, ? ? ? ? P(X=2)=P( B C D + B C D)=P( B C D )+P( B C D)

3? 2 ? 2? ? 3? ? 2? 2 ? =?1-4?×3×?1-3?+?1-4?×?1-3?×3 ? ? ? ? ? ? ? ? 1 =9, P(X=3)=P(BC D )+B C D)=P(BC D )+P(B C D) 2? 3 ? 2? 2 1 3 2 ? =4×3×?1-3?+4×?1-3?×3=3, ? ? ? ? 3? 2 2 1 ? P(X=4)=P( B CD)=?1-4?×3×3=9, ? ? 3 2 2 1 P(X=5)=P(BCD)=4×3×3=3. 故 X 的分布列为 X P 0 1 36 1 1 12 2 1 9 3 1 3 4 1 9 5 1 3

1 1 1 1 1 1 41 所以 E(X)=0×36+1×12+2×9+3×3+4×9+5×3=12.


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